Литература

1. Беляев Е. А. и др. Некоторые особенности развития мате­матического знания. — Изд-во МГУ, 1975.

2. Болтянский В. Г. Как устроена теорема? — Математи­ка в школе, 1975, № 5.

3. КолмогоровА. Н. О системе основных понятий и обо­значений для школьного курса математики. — Математика в школе, 1971, № 2.

4. П о й а Д. Математика и правдоподобные рассуждения / Пер. с англ. — М.: 1957.

5. Р у з а в и н Г. И. О природе математического знания. —М.: Мысль, 1976.

6. С о х о р А. М. Логические структуры учебного материала. — М-: Педагогика, 1974.

7. Столяр А. А. Педагогика математики.—Минск: Вышэй-щая школа, 1974.

8. Хи н ч и н А. Я. Педагогические статьи. — М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963.

Глава IV методы обучения математике

Одно из центральных мест в дидактике (общей теории обучения) и в методике преподавания математики (конкретной теории обучения, где учитывается специфика математики как учебного предмета) за­нимают методы обучения. Знание методой обучения математике необходимо для организации эффективного обучения школьников.

Как учебный предмет «математика» обладает многими лишь ей присущими чертами. Главной из них является высокая степень обоб­щенности изучаемых понятий, которая проявляется буквально сразу, при первом же знакомстве с математикой на уроках. В силу этого в процессе обучения необходимо использовать различные методы, отражающие эту особенность и при формировании математических понятий, и при знакомстве с задачами, возникающими при использо­вании этих понятий в практической и учебной деятельности. Суще­ственно отметить, что указанные методы способствуют развитию мыш­ления школьников, повышают их общую культуру, способности к переносу понятий и приемов, сформированных на уроках математики, в процесс изучения других учебных предметов. Это происходит по­тому, что к числу методов обучения математике принадлежат такие важнейшие теоретические методы, как использование наблюдения, сравнения и аналогии, применение индуктивных и дедуктивных умо­заключений, анализ и синтез. В этой главе описаны перечисленные здесь методы, а также рассмотрены специальные методы обучения математике.

§ 1. Проблема методов обучения

1.1. Проблема методов обучения формулируется кратко с по­мощью вопроса как учить?

Для решения вопроса о том, как учить чему-то учащихся, надо, во-первых, выяснить, для чего это изучается, какие знания, умения и навыки должны приобрести учащиеся в результате этого изуче­ния; во-вторых, надо провести логико-дидактический анализ того, что изучается, т. е. выяснить структуру и другие особенности содер­жания обучения, его изложения в школьном учебнике; в-третьих, надо знать объект обучения, т. е. уровень мыслительной деятельности учащихся, какие у них имеются знания, умения и навыки, на которые можно опираться в обучении их данному содержанию.

Только при наличии достаточной информации по вопросам: для чего?, чему? и кого? — мы можем успешно решить и вопрос как?, т. е. вопрос о выборе адекватных методов обучения, наилучшим обра­зом отвечающих целям, содержанию обучения и уровню мыслитель­ной деятельности и знаний учащихся.

Таким образом, проблема методов обучения решается с учетом целей обучения, специфики и структуры содержания (как учебного предмета в целом, так и отдельных его разделов, тем, понятий, ут­верждений) и особенностей мыслительной деятельности учащихся, состояния уже полученных ими в процессе предшествующего обуче­ния знаний, умений и навыков.

1.2. Говоря о методах обучения математике, естественно прежде всего уточнить это понятие.

В дидактической литературе встречаются различные определения или разъяснения понятия «метод обучения», отражающие различные точки зрения на это центральное понятие теории обучения.

Мы не будем обсуждать и сравнивать эти определения и точки" зрения. Мы будем исходить из достаточно широко распространенного и интуитивно ясного представления о методах обучения как об упо­рядоченных способах взаимосвязанной деятельности учителя и уча­щихся, направленных на достижение целей обучения как средства образования и воспитания¹.

Исходя из такого понимания методов обучения, описание каждого метода обучения должно включать: 1) описание обучающей деятель­ности учителя; 2) описание учебной (познавательной) деятельности ученика и 3) связь между ними, или способ, каким обучающая дея­тельность учителя управляет познавательной деятельностью учащих­ся.

1.3. Предметом дидактики являются, однако, лишь общие методы обучения, т. е. методы, обобщающие определенную совокупность си­стем последовательных действий учителя и учащегося во взаимодей­ствии преподавания и учения, не учитывающие специфики отдельных учебных предметов.

Исследование возможностей конкретной реализации разработан­ных дидактикой общих методов в обучении математике путем их мо­дификации с учетом специфики математики и мыслительной деятель­ности учащихся различных возрастных периодов является предметом методики преподавания математики.

Кроме конкретизации и модификации общих методов обучения с учетом специфики математики, предметом методики является также Дополнение этих методов частными (специальными) методами обуче­ния, отражающими основные методы познания, используемые в самой математике.

Постановка проблемы отражения методов науки в обучении вполне правомерна. Во-первых, цели обучения включают усвоение не только определенной совокупности научных фактов, но и методов добывания этих фактов, используемых в самой науке. Во-вторых, методы науч­ных исследований — это методы приобретения новых знаний в нау­ке, методы обучения — это методы приобретения новых знаний в учебной (познавательной) деятельности. Поэтому вполне естественно, чтобы методы обучения отражали методы познания, используемые в данной науке, разумеется, в определенной, приспособленной для обучения форме, чтобы процесс обучения был в какой-то мере подо­бен процессу исследования.

Специальные методы обучения, отражающие методы самой мате­матики, имеют наибольшее влияние на формирование и развитие ма­тематического мышления учащихся (т. е. мышление, стиль и структу­ра которого специфичны для математики). Такое мышление, с одной стороны, необходимо для успешного усвоения математики, с другой — само развивается в результате целенаправленной постановки обуче­ния, в котором используются наряду с общими и специальные методы обучения.

Таким образом, система методов обучения математике состоит из общих методов обучения, разработанных дидактикой, адаптирован­ных к обучению математике, и из частных (специальных) методов обучения математике, отражающих основные методы познания, ис­пользуемые в математике.

1.4. Одна из задач, поставленных Коммунистической партией Советского Союза перед народным образованием, состоит в приве­дении самих методов обучения в соответствие с требованиями жизни.

Что это означает?

В отчетном докладе ЦК КПСС XXV съезду говорится: «...в совре­менных условиях, когда объем необходимых для человека знаний резко и быстро возрастает, уже невозможно делать главную ставку на усвоение определенной суммы фактов. Важно прививать умение самостоятельно пополнять свои знания, ориентироваться в стреми­тельном потоке научной и политической информации»¹.

Таким образом, задача овладения учащимися прочными знания­ми, умениями и навыками дополняется задачей приобретения ими значительного интеллектуального потенциала, необходимого для са­мостоятельного отбора и переработки нужной информации, важней­шим элементом которого является умение творчески мыслить.

В чем же несоответствие нередко применяемых в практике обуче­ния методов требованиям современной жизни, вызвавшее постановку указанной выше задачи?

Применяемые методы обучения часто ориентированы главным образом на обучение готовым знаниям. Внешне эти методы прояв­ляются в хорошо известной форме, когда учитель излагает, объяс­няет, разъясняет учебный материал, привлекая различные средства наглядности и другие дидактические средства, а ученики восприни­мают адресованную им учебную информацию, затем заучивают ее и по требованию учителя воспроизводят. При этом, как правило, остается невыясненным, переработал ли ученик своим собственным умом эту информацию. Учебная деятельность ученика является в основном репродуктивной, а главным результатом такого обучения является в лучшем случае усвоение суммы фактов, причем не очень глубокое, а чаще всего и непрочное. Развивающий эффект таких методов обу­чения весьма низок, так как они не вызывают активной мыслительной деятельности ученика.

Естественно, во всякие времена существовали, а в наше время тем более имеется немало учителей, которые не ограничивают свою обу­чающую деятельность применением указанных выше методов обуче­ния. Однако правомерно говорить об этих методах, так как они до­вольно широко применяются в практике обучения.

Приведение методов обучения в соответствие с требованиями жиз­ни означает дополнение, развитие и целесообразное сочетание оправ­давших себя в практике традиционных методов с методами, главным образом ориентированными на обучение не готовым знаниям, а дея­тельности по самостоятельному приобретению новых знаний, т. е. познавательной деятельности.

Эти методы, которые можно (разумеется, условно) именовать «со­временными» (в том смысле, что они соответствуют требованиям со­временной жизни), не противопоставляются устано­вившимся в практике обучения методам,, которые можно (в такой же мере условно) именовать «традиционными». Те и другие обучают гото­вым знаниям и познавательной деятельности, но одни главным обра­зом ориентированы на обучение готовым знаниям, другие — на обу­чение познавательной деятельности. Речь идет не об отбрасывании одних и замене их другими, а о необходимости дидактически целесо­образного сочетания в обучении «традиционных» и «современных» методов, исходя из целей, специфики содержания обучения и уровня мыслительной деятельности учащихся.

1.5. Ставя задачу обучения познавательной деятельности в обла­сти математики, мы должны прежде всего проанализировать то, что обычно называют «познавательной деятельностью».

Осуществленный психологами анализ подобной деятельности вы­являет три основных компонента:

а) набор общих логических приемов мышления;

б) набор специальных (в данном случае для математики) приемов мыслительной деятельности;

в) система знаний.

К общим логическим приемам мышления относятся индукция и Дедукция, анализ и синтез, аналогия, обобщение и абстрагирование, конкретизация, классификация. Эти приемы могут быть описаны и Усвоены на любом содержании. Однако применение их в обучении тематике существенно отличается от применения в других областях знаний. Оно отражает, с одной стороны, логику школьной математи­ки, с другой — приемы ее усвоения, т. е. устанавливает связь между Сдержанней и методами обучения.

Специальные для математики приемы мыслительной деятельности лежат в основе используемых в математике методов познания действительности: метод построения математических моделей изучаемых явлений, процессов (один из наиболее плодотворных методов позна­ния внешнего мира, прогнозирования и управления различными про­цессами); различные, характерные для математики способы абстраги­рования, используемые, в частности, при построении математических моделей; аксиоматический метод, ставший одним из основных при построении математических моделей действительности, характери­зующий принятый в математике способ установления истинности предложений и открывший возможность широкого применения одной математической теории в разнообразных областях явлений.

Как видно, все используемые в математике методы познания в конечном итоге как бы интегрируются в методе построения матема­тических моделей изучаемых объектов действительности. Это вполне правомерно, так как конечная цель математики — изучение действи­тельного мира (разумеется, свойственными ей методами и средства­ми). Метод математического моделирования находит в настоящее время широкое применение в различных областях знаний, и именно через него математика находит все новые и новые приложения.

Система знаний является и важной составной частью познава­тельной деятельности, и ее результатом. Это объясняется тем, что формирование и развитие системы знаний происходит путем постепен­ного наращивания уже имеющихся знаний в процессе учебной дея­тельности с помощью общелогических и специальных приемов мы­шления, а также тех знаний, которые уже получены в предшествую­щем обучении. На голом месте, без всяких исходных знаний невозмож­на никакая познавательная деятельность. Это обстоятельство еще раз подтверждает необходимость целесообразного сочетания методов обу­чения готовым знаниям с методами обучения деятельности по приобре­тению новых знаний.

Выбор и правильное сочетание различных методов обучения в различных конкретных учебных ситуациях — сложная педагогичес­кая проблема, решение которой требует знаний, умений и педагоги­ческого мастерства. Нет и принципиально невозможен универсальный метод обучения, который, если только его строго придерживаться, гарантирует успех независимо от специфики содержания обучения, уровня умственной деятельности учащихся, умений и педагогического мастерства учителя.

1.6. Общеизвестна роль задач в обучении математике и развитии математического мышления учащихся. Усвоение математических зна­ний и уровень математического развития учащихся всегда проверя­лись, проверяются и, по-видимому, будут проверяться с помощью ре­шения задач. Поэтому проблема методов обучения математике вклю­чает и проблему методов обучения решению задач.

Как научить учащихся решать задачи? Это одна из наиболее слож­ных и важных педагогических проблем. Ей посвящена специальная глава. Здесь мы рассмотрим лишь подготовку учащихся к решению разного рода задач. Школьная математика, особенно алгебра, полна разного рода алгоритмов для решения стандартных задач разнооб­разных классов, от задачи сложения многозначных чисел («в столбик») до задач дифференцирования и интегрирования определенных клас­сов функций. Как изучать эти алгоритмы, составляющие важную часть учебного материала? Можно, разумеется, разъяснять учащимся эти алгоритмы в готовом виде. Это, однако, малоэффективная методи­ка. Методы обучения, ориентированные главным образом на развитие активной познавательной деятельности учащихся, требуют научить учащихся отыскивать и описывать общие методы (алгоритмы) решения классов однотипных задач с помощью анализа и обобщения способов решения частных задач, принадлежащих этим классам.

В школьной математике имеется и большое разнообразие нестан­дартных задач (на доказательство, преобразование алгебраических выражений, решение некоторых уравнений, неравенств, систем урав­нений и т. д.). Нестандартные задачи часто сводятся к некоторым стандартным задачам, и возникает необходимость в использовании соответствующих алгоритмов. Таким образом, знание алгоритмов необходимо для решения не только стандартных, но и нестандартных задач.

1.7. Методы обучения используются во взаимной связи. Трудно обнаружить в процессе преподавания (при изучении достаточно со­держательного фрагмента учебного материала) применение одного только метода в чистом виде. Универсального метода обучения не существует, и вряд ли можно жестко регламентировать выбор того или иного метода обучения. В основе выбора и сочетания различных методов обучения лежат как объективные факторы (цели и содержа­ние обучения), так и субъективные (учитель, учащиеся).

Цели и содержание обучения не определяют однозначно методы обучения. Одно и то же содержание может быть изучено различными методами, причем так, чтобы во всех случаях достигались цели обу­чения. С другой стороны, одни и те же методы обучения, применяемые разными учителями, могут дать различные результаты, так как пре­подавание не только наука, но и искусство.

В последующих параграфах этой главы приводятся краткие ха­рактеристики важнейших методов обучения математике, как общих (конкретизированных и адаптированных к обучению математике), так и специальных, отражающих методы самой математики. При этом мы будем рассматривать каждый метод изолированно от других с целью его изучения, а также в сочетании с другими на конкретном содер­жании различных тем школьного курса математики.

Мы также выскажем некоторые суждения о целесообразном выборе и сочетании различных методов обучения в зависимости от це­лей, специфики и структуры содержания обучения. Однако эти суж­дения не носят категорический характер и являются лишь рекомен­дациями.