§ 10. Специальные методы обучения математике

10.1. Мы уже разъяснили (§ 1), что имеется в виду под специаль­ными методами обучения математике. Это адаптированные для обу­чения основные методы познания, применяемые в самой математике, характерные для математики методы изучения действительности (по­строение математических моделей, способы абстрагирования, исполь­зуемые при построении таких моделей, аксиоматический метод).

Рассматривая в § 2—9 различные общие методы обучения, конкре­тизированные с учетом специфики математики, мы по существу уже рассмотрели на конкретных примерах и специальные методы обуче­ния математике. Так, в связи с рассмотрением метода дедукции (§ 6) мы показали на конкретном примере (6.2.2) возможность привлече­ния учащихся к построению «маленьких теорий» (или «дедуктивных островков»), что, естественно, с одной стороны, представляет собой конкретизацию метода дедукции с учетом специфики математики, с другой — специальный метод обучения математике, использующий дедукцию и отражающий метод аксиоматизации в самой математике.

В связи с рассмотрением методов анализа и синтеза (§ 7) был описан подход к решению задач, известный под названием «Сведение задачи к совокупности подзадач». На конкретном примере показан поиск доказательства с использованием И/ИЛИ - графа. Это также является специальным методом обучения математике, учитывая ту роль, которую играет в ней доказательство.

При рассмотрении методов проблемного обучения (§ 8) на при­мере показана возможность приближения процесса обучения матема­тике к процессу исследования в самой математике.

Как видно, в предшествующем изложении, и особенно в иллюстра­тивном материале, общие методы переплетаются со специальными методами обучения математике,, что соответствует реальному процессу обучения.

Нам осталось выделить и рассмотреть в общем виде уже иллюст­рированные на примерах специальные методы обучения математике..

10.2. Одним из наиболее плодотворных методов математического познания действительности является метод построения математичес­ких моделей изучаемых реальных объектов, или объектов, уже описанных в других областях знаний, с целью их более глубокого изу­чения и решения всех возникающих в этих реальных ситуациях задач с помощью математического аппарата.

Математическая модель — это приближенное описание какого-ни­будь класса явлений, выраженное на языке какой-нибудь математи­ческой теории, с помощью системы алгебраических уравнений или неравенств, дифференциальных или интегральных уравнений, функ­ций, системы геометрических предложений или других математиче­ских объектов.

Через понятие математической модели раскрывается двойная связь математики с реальным миром. С одной стороны, математика служит практике по изучению и освоению объектов окружающего нас реального мира, с другой — сама жизнь, практика способствует дальнейшему развитию математики.

Если в какой-нибудь области знаний вне математики возникает задача, которую пытаются решить математическими методами, то прежде всего ведется поиск языка и средств для перевода этой за­дачи в математическую, т. е. для построения ее математической мо­дели (ММ). Возможны два исхода поиска: такой язык и такие сред­ства имеются и удается построить модель исходной задачи или же такого языка и таких средств в математике пока нет и в этом случае потребность в решении поставленной задачи вызывает потребность в дальнейшем развитии самой математики, в разработке языка и со­ответствующего аппарата. Так было, в частности, с задачами механи­ки, под влиянием которых возникло понятие производной, был раз­работан язык и аппарат дифференциального исчисления.

После того как построена математическая модель задачи (или ситуации), также возможны два случая: полученная конкретная мо­дель принадлежит уже изученному в математике классу моделей и тогда математическая задача решается уже известными методами или же эта модель не укладывается ни в одну из известных схем (ни в один из известных классов) моделей, разработанных в математике. В последнем случае возникает уже внутриматематическая проблема исследования нового класса моделей, что приводит к дальнейшему развитию одной из существующих математических теорий или же к появлению новой.

Это развитие математических теорий находит затем применение к изучению той области знаний, в которой возникла исходная задача, а также и других объектов реального мира, приводящих к математи­ческим моделям того же класса.

Процесс обучения математике должен в какой-то мере имитиро­вать описанный процесс исследования в самой математике, раскры­вать ее связи с реальным миром, с другими областями знаний, в ко­торых она находит все новые и новые приложения.

С этой точки зрения обучение, как правило, должно начинаться с рассмотрения реальных ситуаций и возникающих в них задач, с поиска средств для их математического описания, построения соот­ветствующих математических моделей. Затем объектом изучения должны стать уже сами эти модели, их исследование, приводящее к расширению теоретических знаний учащихся. После того как соот­ветствующая теория построена (с участием самих учащихся), ее аппа­рат применяется к решению исходной задачи, а также других задач, связанных с другими областями явлений, но приводящих к моделям этого же класса.

Исходя из подлежащего изучению материала, размышляя в об­ратном направлении, от этого материала к тем реальным ситуациям и задачам, в описании которых он используется, учитель выбирает надлежащим образом эти ситуации и задачи для мотивирования изу­чения нового материала. Если, например, нам нужно приступить к изучению квадратичной функции, мы можем выбрать какое-нибудь из физических явлений, описываемых этой функцией (равномерно-пе­ременное движение, в частности свободное падение, центробежная сила, электрическое напряжение). В этом случае исследование моде­ли сводится к изучению нового класса моделей, функций у = ах² + + Ьх + с. После этого исследования мы уже можем использовать новые теоретические знания для изучения любого из перечисленных выше и других физических (и не только физических) явлений, опи­сываемых моделью этого класса.

Если рассматриваемый класс явлений приводит к новому, пока не изученному типу уравнений, то исследование модели состоит в поис­ке общего метода (алгоритма) решения нового класса уравнений.

Если рассматриваемая исходная ситуация описывается с помощью геометрических предложений, то возникает необходимость в поиске минимального множества предложений, описывающих данную ситуа­цию, и в выводе следствий из них (что уже было показано выше на конкретных примерах). Этот вид исследования модели (логическая организация математического материала) приводит к построению маленькой теории.

Как видно, описанная выше схема обучения математике обеспечи­вает вполне естественное осуществление межпредметных связей.

10.3. В математике чаще всего применяется следующий метод установления истинности предложений, получивший название «аксио­матический метод». Некоторые предложения принимаются за исход­ные предложения (их называют аксиомами), истинность же других предложений, не входящих в список аксиом (называемых теоремами), Устанавливается с. помощью логического доказательства, в котором (обычно неявно) используются правила логического следования (вы­вода), гарантирующие истинность заключения при истинности посы­лок. Явное использование этих правил вывода (дедукции) превращает таким образом построенную математическую теорию в дедуктивную (аксиоматическую) систему.

Аксиоматический метод — широко применяемый в математике ме­тод построения теорий. В каком же виде аксиоматический метод, свойственный математике, может быть адаптирован как метод обуче­ния математике?

Исходя из принципа активности учения, сразу же становится яс­но, что речь должна идти не об изучении готовой, уже построенной аксиоматической теории (что чаще всего наблюдается в обучении геометрии), а об обучении аксиоматизации, т. е. о посильном при­влечении учащихся к самому построению такой теории. В этом и состоит специфическое для математики осуществление принципа ак­тивности в обучении.

Аксиоматизация может осуществляться на двух существенно раз­личных уровнях: а) глобально, т. е. в рамках всей теории, и б) ло­кально, т. е. в рамках небольшой темы, когда строится «маленькая теория» внутри большой. Глобальный уровень аксиоматизации не­реализуем, недостижим ни на каком этапе школьного обучения. Воз­можность и целесообразность осуществления обучения локальной аксиоматизации (или локальной логической организации математи­ческого материала) подтверждена рядом экспериментов.

Мы уже показали и общую схему, и пример такого обучения (п. 6.2.).

Однако аксиоматизация не ограничивается логической организа­цией множества предложений, т. е. выделением исходных и доказа­тельством на их базе остальных. Аксиоматизация означает, кроме того, еще и отвлечение от конкретной природы объектов и смысла отношений, операций, т. е. переход к более высокой ступени абстрак­ции. Этот второй аспект аксиоматизации намного реже осуществим в обучении, чем первый (логическая организация). Однако представ­ляется целесообразным, в том числе с методологической точки зре­ния, ознакомить с ним учащихся старших классов на хорошо подоб­ранных для этой цели примерах.

В качестве примера можно отметить общность свойств арифметиче­ских операций в различных числовых системах. Явное выделение таких свойств приводит к понятию коммутативного кольца. На фа­культативных занятиях в старших классах выделенные аксиомы мо­гут подвергнуться изучению с целью обобщения знаний о числовой системе. Здесь найдут свое раскрытие многие математически сущест­венные и познавательно интересные факты (правило знаков, причина, по которой опускаются скобки в выражениях вида а + b + с), а также появляется возможность изучить с позиции аксиоматического метода различные интерпретации построенной теории: числовые си­стемы, кольца многочленов, кольца вычетов по mod n и т. д.

10.4. Предметом многолетней дискуссии в методической литера­туре являются два аспекта проблемы отражения аксиоматического метода в школьном обучении математике: А) в какой мере аксиомати­ческий метод может быть использован как способ построения школь­ного курса математики или отдельных его разделов и Б) в каком ви­де и на каком конкретном материале, на каком этапе обучения воз­можно ознакомление учащихся с самим аксиоматическим методом.

Не менее важным является третий аспект, являющийся предметом нашего рассмотрения: В) в какой форме и в какой мере аксиоматиче­ский метод может быть адаптирован в качестве метода обучения.

Исходя из функций аксиоматического метода в самой математике как метода построения математических теорий, можно заключить о возможности его использования в качестве метода обучения, если

I B процессе обучения привлекав самих учащихся к построению «ма­леньких теорий», постепенно расширяющих изучаемую теорию, в которую они включаются. Конкретные примеры такого метода обу­чения уже приведены выше (6.2.2). Аксиоматический метод как метод обучения служит для систематизации знаний учащихся, выяснения того, «что из чего следует», для установления истинности предложе­ний специфическим для математики способом, для вывода новых зна­ний из уже имеющихся.