§ 3. Обучение математике через задачи

Примерно половина уроков математики в средней школе, как уже указывалось, отводится решению математических задач и выполне­нию упражнений. Таким образом, обучение математике осуществ­ляется и при решении задач. В § 2 уже рассмотрена обучающая роль учебных математических задач: при решении математических задач учащиеся усваивают многие математические понятия, овладевают математической символикой, обучаются проведению доказательств у и т. д., т. е. обучаются математике. Но этим не ограничивается обучение математике через задачи. Осуществляя такой путь обучения математике, учитель ставит перед той или иной конкретной задачей дидактические цели, при достижении которых и осуществляется обучение через задачи. Какие же дидактические цели могут быть постав­лены перед математическими задачами?

3.1. Математические задачи могут иметь своей дидактической целью подготовку к изучению теоретических вопросов математики (новых понятий, методов, теорем). Такое назначение имеют, например, задачи, рассмотренные в п. 2.1. Такая же цель ставится перед реше­нием задач, с помощью которых перед изучением новых теоретичес­ких вопросов в памяти и сознании учащихся восстанавливаются те сведения, знание которых необходимо для изучения новых математи­ческих фактов. Эти задачи не должны быть сложными и могут ре­шаться устно. Примеры:

1. Перед изучением свойств степеней с рациональными показате­лями полезны будут упражнения в применении свойств степеней с целыми показателями.

2. Изучению распределительного закона умножения (по отноше­нию к сложению) для рациональных чисел могут предшествовать задачи, при решении которых напоминается применение этого зако­на для целых чисел. Именно так ученики обучаются верному при­менению аналогии.

Решение некоторых задач в IV—VI классах может быть проведено с таким расчетом, что после серии задач (Упражнений) учитель может сформулировать новое предложение (определение, алгоритм и т. д.).

3. Введению определения умножения положительных и отрица­тельных чисел могут предшествовать упражнения в вычислениях с такими числами, выполняемые с помощью модели термометра. Чет­кое выделение характеристик (знака и модуля) произведения, срав­нение их с соответствующими характеристиками множителей позво­ляют заметить закономерности выполнения умножения и сформули­ровать определение (правило).

3.2. Дидактической целью учебных математических задач может быть закрепление только что приобретенных теоретических знаний. Это могут быть задачи для усвоения математических понятий и их определений, для формирования умений (§ 2.1), для закрепления фор­мулировок, аксиом и теорем, для закрепления методов доказательств и т. д. Такие задачи следуют за изучением теоретических сведений.

Примеры:

4. Два угла имеют общую вершину. Могут ли они быть несмеж­ными и невертикальными?

Эта задача предназначена для закрепления у учащихся понятий о смежных и вертикальных углах.

5. Для закрепления формулировки теоремы Виета полезно решать задачи, подобные следующей. В уравненииодин из корней равен — 7. Вычислите другой корень и значение коэффици­ента р.

3.3. Иллюстрация приложений изученного также может быть ди­дактической целью математических задач. С такой целью предлага­ются учащимся практические задачи, иллюстрирующие приложения математики в технике, быту, смежных школьных предметах (см. § 2.3). Такое же назначение имеют задачи на применение тождествен­ных преобразований к упрощению вычислений.

Пример 6. Вычислите значение выражения при

Непосредственное вычисление здесь достаточно громоздко. Если же предварительно выполнить тождественные преобразования, то и значение правой части вычисляется устно.

Весьма полезно предлагать задачи на приложение алгебры к ре­шению геометрических задач.

Пример 7. Докажите, что сумма двух диагоналей выпуклого четырехугольника меньше его периметра, но больше полупериметра. При решении этой задачи применяются свойство расстояний (так на­зываемая «аксиома треугольника») и свойства неравенств.

Задачи на приложения могут быть предложены после изучения теории, при формировании умений и навыков, а могут и предшество­вать изучению теории с целью создания проблемной ситуации.

3.4. Дидактической целью задач и упражнений может быть фор­мирование умений и навыков.

1) Цель формирования умений обычно ставится при решении первых задач, выполнении первых упражнений по овладению новым приемом, алгоритмом, методом решения некоторого класса задач, а также задач, показывающих практическую ценность изучаемых способа, приема, метода. Это должны быть задачи, при решении ко­торых учащиеся приучаются оперировать вновь изученным, применять общий способ, алгоритм, метод в конкретной ситуации. Такие задачи не должны быть сложными, в них должно отчетливо проявляться вновь изучаемое, лишь постепенно в задачи могут вводиться услож­нения, так чтобы вновь формируемое умение включалось в уже имею­щуюся систему математических умений и навыков учащихся. Первые такие задачи следует решать с подробным объяснением со стороны учащихся всех новых деталей решения., с подробными записями на доске. Это помогает осмысленному формированию умений, осмыслен­ные же умения формируются быстрей и дольше сохраняются.

Прим.ер8. В первых упражнениях в умножении дробных чисел полезно выполнить подробные записи и объяснить их:

Так отрабатывается алгоритм умножения дробей. Но уже после ре­шения 3—4 таких задач полезно опускать вторую запись(или третью Это экономит время записи и закрепляет умение

применять алгоритм умножения дробных чисел путем «свертывания» промежуточных операций.

2) Формирование математических навыков может быть дидактиче­ской целью не отдельной задачи, а системы задач и упражнений.

Умение оперировать многими приемами, способами и методами решения математических задач должно быть автоматизировано, до­ведено до навыка, чтобы при решении задач техническая сторона не отвлекала мышление решающего задачу, а помогала решению. Уча­щиеся должны владеть прочными и стойкими навыками вычислений, тождественных преобразований, решения уравнений, неравенств и их систем, геометрических построений и др.

Навыки формируются на основе осмысленных знаний и умений путем многократного повторения операций, действий, приемов, алго­ритмов, составляющих предмет изучения. Поэтому для формиро­вания навыков нужна тщательно продуманная система упражнений и задач. В такой системе должна быть правильно установлена после­довательность упражнений с учетом индивидуальных особенностей и возможностей учащихся и принципа «от простого к сложному». Сле­дует соблюдать разумное разнообразие упражнений и задач в системе. При этом знания учащихся по математике должны совершенствова­ться с решением каждой новой задачи. Следует добиваться, чтобы осознанные умения и навыки ученики получали при наименьших затратах времени.

Прочные, стойкие и гибкие навыки формируются тогда, когда они применяются совместно с ранее сформированными умениями и навы­ками в выполнении других действий. Именно таким образом вновь формируемые навыки включаются в систему знаний человека. К тому же решение задач, требующих применения и ранее полученных на­выков, существенно помогает подкреплению очень важного умения применять полученные знания, умения и навыки в различных ситуа­циях. Сказанное иллюстрируют следующие примеры.

Пример 9. При изучении разложения на множители с помо­щью формул сокращенного умножения после первых упражнений в не­посредственном применении формул желательно включать такие уп­ражнения, в которых формулы могут быть применены после вынесения множителя за скобки:

Пример 10. При изучении интегралов полезно включить их вычисление в систему других действий. 1) Решите уравнения

2) Решите неравенство

Решение указанных и аналогичных задач формирует у учащихся гибкость умений и навыков.

3.5. Дидактической целью математических задач является и пов­торение ранее изученного. При решении большинства задач учащиеся применяют ранее полученные знания, умения, навыки. Такова осо­бенность математики, заключающаяся в тесной взаимосвязи и взаимо- обусловленности ее разделов. Таким образом, независимо от целей, поставленных учителем перед решением конкретной задачи, при ее решении происходит повторение изученного ранее. Но повторение изученного может быть и специальным назначением задач, предло­женных учителем. Например, решение задач на завершающих уроках по той или иной теме имеет своей дидактической целью повторение, систематизацию и уточнение знаний, полученных при изучении этой темы, и закрепление сформированных умений и навыков, что также требует повторения. Таково же назначение задач, решаемых при по­вторении математики в конце учебных четвертей года.

3.6. Контроль за усвоением математических знаний — одна из дидактических целей математических задач и упражнений. Каждая задача практически имеет своим назначением текущий контроль или самоконтроль. Задачи, решаемые фронтально с воспроизведением решения учащимися на доске, предназначаются и для выяснения затруднений учащихся, пробелов в их знаниях, степени усвоения новых теоретических знаний, изучаемых методов решения задач, прочности, стойкости и гибкости ранее приобретенных знаний, умений и навыков. Такое же предназначение имеется и у самостоятельно ре­шаемых задач.

В проверочных и контрольных работах главным назначением решаемых задач является итоговый контроль за тем, насколько верно учитель учил, а ученики обучались по тем или иным разделам мате­матики.