Глава VIII

ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ УГЛУБЛЕННОГО

ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

В данной главе рассматриваются вопросы изучения математики в математических классах и школах, на факультативных занятиях, во внеклассной работе. Эта область методики очень обширна. Авторы не ставили задачу дать ее исчерпывающее описание. Основное внимание уделялось содержанию изучаемого материала и методам, которые ис­пользуются при углубленном изучении математики.

§ 1. Особенности преподавания математики в школах и классах с углубленным изучением этого предмета

1.1. Нормативный материал. Математические классы были созда­ны в нашей стране в начале 60-х годов, когда выяснилась необходи­мость подготовки большого количества специалистов, умеющих ис­пользовать прикладные возможности математики: программистов, инженеров-конструкторов, физиков, экономистов и др. Первые итоги работы показали, что эти школы успешно выполняют задачу развития математических способностей учащихся. В дальнейшем сеть таких школ и классов расширялась в плане выполнения постановления ЦК КПСС и Совета Министров СССР от 10 ноября 1966 г. «О мерах по даль­нейшему улучшению работы средней общеобразовательной школы».

В настоящее время среди математических школ и классов (их со­временное официальное название — «школы и классы с углубленным теоретическим и практическим изучением математики») можно выделить два типа. К первому относятся школы и школы-интернаты, созданные при Московском, Ленинградском, Новосибирском, Киевском и ряде других университетов и ведущих технических вузах, таких, напри­мер, как МИФИ. Обучение в них ведется по программам, разработан­ным коллективами ученых и преподавателей соответствующих вузов. Деятельностью такой школы руководит специальный совет, в состав которого входят сотрудники данного вуза. Этот совет наделен широ­кими полномочиями по разработке и совершенствованию системы обу­чения и воспитания учащихся.

Ко второму типу относятся математические школы и классы, соз­данные в общеобразовательных школах по решению районных (город­ских) управлений народного образования. Таких школ значительно больше. Их деятельность регламентируется «Типовым положением о школах и классах с углубленным изучением отдельных предметов», которое утверждено Министерством просвещения СССР в 1974 г. Все последующее изложение относится в основном ко второму типу школ. В настоящее время они включают IX и X классы. Обучение ма­тематике в них ведется по специальным программам [45]. В программу общематематического учебного предмета «Общий курс математики» полностью входит программа массовой школы и, кроме того, ряд дополнительных вопросов, важных для математического и общего развития учащихся. Курс математики в математических классах рас­считан на большее учебное время по сравнению с обычными: за счет факультативных занятий выделяется 2—4 ч в неделю. В настоящее время в соответствии с типовым учебным планом в этих классах изу­чаются три предмета общего курса математики: математический ана­лиз, алгебра, геометрия.

При сравнении программ массовой и математической школы можно отметить, что в курсе геометрии различия между ними невелики: по существу нового материала программа математических классов не со­держит. Алгебраический материал, изучаемый в математических клас­сах, включает темы, отсутствующие в программе массовой школы. Среди них комплексные числа, многочлены от одной и нескольких пере­менных, комбинаторика, теория вероятностей. Изучение математиче­ского анализа предусматривает более глубокое знакомство с теорией пределов и наличие отсутствующей в массовой школе темы «Дифферен­циальные уравнения». В целом курс математики в математической школе ненамного шире, чем в массовой.

В математических школах, которые имеют возможность исполь­зования вычислительной техники, кроме общего курса математики, изучается прикладной учебный предмет. Как правило, это «Програм­мирование и вычислительная математика». Трудовое обучение в таком случае состоит в освоении теоретических основ программирования и практике работы на ЭВМ в качестве операторов и программистов.

Для математических школ изданы и продолжают разрабатываться специальные учебные пособия [1, 12, 13].

1.2. Прием и контингент. В математические классы обычно по­ступают учащиеся, посещающие математические кружки, участвующие в олимпиадах и вообще проявляющие интерес к математике. На­бор в математические классы начинается с апреля. В городах прием производится независимо от района обслуживания школы, поэтому информацию о наборе полезно распространять возможно шире, в частности на районных и городских математических олимпиадах.

Набор производится на основе собеседования. Если количество желающих поступить в математический класс превосходит норму, в процессе собеседования предлагаются задачи. Их сложность зависит от конкретных условий, в частности от количества поступающих и степени их подготовленности. Она может меняться в широком диапа­зоне от заданий, практически не превышающих сложности школьной программы, до трудных олимпиадных задач.

При отборе в математические классы полезно учитывать не только степень математической подготовки, но и сообразительность, остро­умие ответов, явную заинтересованность математикой. Уже во время собеседования учитель может составить представление о степени подготовленности своих будущих учеников.

Ученики математических классов, которые по каким-либо причи­нам не смогли продолжать обучение в них, имеют право переходить в обычные классы. При наличии в математическом классе вакантных мест (если число учеников меньше 35 человек) в течение учебного года в него может производиться дополнительный прием.

1.3. Система работы. Система учебной работы в математическом классе имеет ряд особенностей по сравнению с работой в обычных классах. Это касается многих компонентов учебного процесса. Здесь будут отмечены некоторые из них, имеющие прямое отношение к обу­чению математике.

1) Учебные материалы. К изучению математики в математиче­ском классе привлекается разнообразная учебная литература. Помимо специальных учебных пособий, используются учебники для массовой школы, экспериментальные учебные пособия, различные сборники задач, книги, освещающие опыт работы в математических классах и содержащие материал обучения [31—34, 40, 51]. Московским город­ским институтом усовершенствования учителей выпущены пособия • для учителей, в которых даются тематическое планирование, тексты самостоятельных и контрольных работ с решениями и ответами [17, 18]. Много полезного материала содержится в журналах «Математика в школе», «Квант», в книгах серий «Популярные лекции по математи­ке», «Библиотечка «Кванта»» и др.

Нередко интенсивность использования этих дополнительных мате­риалов такова, что работа с учебником отходит на задний план. Он используется как источник определений, теорем и стандартных прие­мов в основном в самостоятельной работе учеников и при контроле объема пройденного материала.

Иногда обучение ведется по материалам, разработанным учителем или научными работниками и студентами, работающими в данном классе. Отметим складывающуюся в настоящее время систему так на­зываемых «листков с заданиями». Каждый листок — это система из нескольких задач по одной теме. Листок составляется учителем, по­этому можно в широких пределах варьировать его содержание, под­чиняя достижению целей, выявляющихся иногда лишь в ходе обуче­ния. Необходимо предусмотреть, чтобы каждый ученик имел на уро­ках экземпляр листка. Диапазон использования листков обширен — от эпизодического использования до построения на их основе целых курсов [51, с. 6—76].

Приведем пример листка (для работы по курсу «Математический анализ» в IX классе).

Задание № 1, часть 2. Действительные числа и пределы последовательностей.

1. Доказать, что числорационально.

2. Доказать что число 0,1234567891011121314... иррационально.

3. Доказать, что в любом отрезке числовой прямой содержатся как рациональные, так и иррациональные числа.

4. Найти

5. Исследовать на сходимость последовательности:

6. Доказать, что последовательностьсходится, и найти ее предел с точностью до 0,1.

7. Если последовательность имеет предел А, то: а) последо­вательность, полученная из нее перенумерацией членов, также имеет предел А; б) любая подпоследовательность последовательности (что это такое, дайте определение) также имеет предел А. Доказать.

8.а) Доказать сходимость последовательностей, где

при k 1.

б) Используя факт сходимости данных последовательностей, уста­новить, что предел первой равена второй

в) Привести пример последовательности, не совпадающей с после­довательностью, но имеющей тот же предел.

г) Вычислить с точностью до 0,01, используя задание а). 9*. Доказать формулу Рамануджана

Примечание. Всякий раз, когда требуется вычислить значение любого бесконечного выражения, имеется в виду, что нужно находить предел соответствующей последовательности. В данном случае рассматривают последовательность

. Чаще всего в математике встречаются простейшие бесконечные выраже­ния: бесконечные суммыи бесконечные произведения. Что значит «значение бесконечной суммы»? Приведите определение. Что значит «значение бесконечного произведения»? Приведите определение. Бесконечная сумма называется рядом.

10. Предел последовательности равен 2; все Дока­зать, что предел последовательности равен У2.

11. Доказать, что если существует предел последовательности то существует и причем эти пределы равны. Верно ли обратное утверждение?

12. Задать на прямой систему попарно непересекающихся отрез­ков единичной длины такую, чтобы в каждой бесконечной арифмети­ческой прогрессии нашелся ее член, принадлежащий одному из отрез­ков. *Уточнить формулировку задания.

13. Найти нижнюю грань отношения полной поверхности конуса (прямого кругового) к площади его осевого сечения.

14. Найти верхнюю и нижнюю грани для последовательностей из задачи 5. Примечание. Когда требуется найти грани для неко­торых функций (последовательность — это функция), имеется в виду нахождение граней множества ее значений.

2) Методы обучения и контроля. За время существования мате­матических классов сложился определенный подход к обучению мате­матике в них. Он характеризуется прежде всего интенсивной само­стоятельной работой учеников и использованием некоторых вузовских методов преподавания. Сложились также подходы к дифференциации в обучении и контролю в процессе обучения.

Самостоятельная работа. Интенсивная самостоя­тельная работа — доминирующая черта в обучении математике в любом математическом классе. Формы ее разнообразны: проработка определенных фрагментов учебника (непосредственно на уроке или дома) с последующим выполнением упражнений, подбор упражнений по заданной теме, иногда составление упражнений, подготовка к со­общению на 15—20 мин по дополнительной литературе, указанной учи­телем, и т. п.

Задача учителя при руководстве самостоятельной работой учащих­ся — помочь им в рациональной организации своего труда, привить навык глубокого обдумывания заданий, при котором сочетаются на­стойчивость движения в избранном направлении и гибкость, необхо­димая для выбора нескольких возможных путей выполнения задания.

Одной из перспективных форм организации самостоятельной ра­боты являются уже упоминавшиеся листки с заданиями. Листок, приведенный в п. 3.1, входил в систему заданий, разработанных для самостоятельного выполнения учениками IX класса школы № 57 Москвы. В эту систему входили следующие задания: 1) часть 1 — построение сечений; часть 2 — действительные числа и пределы по­следовательностей; 2) часть 1 — предел функции и производная; часть 2 — задачи по геометрии (нахождение отношений отрезков); 3) применение производной; 4) тригонометрические уравнения и неравенства; 5) свойства дифференцируемых функций; 6) иррацио­нальные уравнения и неравенства; 7) векторный метод решения гео­метрических задач; 8) площади и объемы.

По мнению учителей, разработавших эту систему заданий (Б. П. Гейдман, П. И. Массарская), в нее вошли темы, требующие мак­симума самостоятельной работы учащихся. Многие задачи были заим­ствованы из различных сборников. В принципе учащиеся могли разы­скать их, разобраться в готовом решении или прочесть указания. Не следует считать это недостатком, поскольку таким образом уча­щиеся привыкают к работе с математической литературой.

Задания обычно выполняются учащимися в отдельных тетрадях и проверяются студентами, работающими с данным классом.

Лекционные курсы математики. При обучении математике в математических классах полезно использовать лекцион­ную форму изложения учебного материала, дополненную занятиями, построенными по образцу семинаров. В некоторых школах циклы лекций читают преподаватели пединститутов и университетов, а семи­нарские занятия ведут студенты иод руководством учителя. Некоторые разделы курса излагать в лекционной форме удобнее всего. Так об­стоит дело, например, с действительными числами, потому что нужно сразу представить всю систему свойств, определяющих понятие дей­ствительного числа, а на лекции информация сообщается в компакт­ном виде. Целесообразно использовать лекции и на уроках повторения.

К числу наиболее популярных циклов лекций относятся, напри­мер, элементы теории групп и дифференциальные уравнения. Следует подчеркнуть, что ученики смогут извлечь пользу практически из любого лекционного курса, хотя на практике получили наибольшее распространение темы, близкие к разработанным для факультативных занятий. В ряде математических школ читается курс теории чисел. Как правило, он ограничивается изучением элементарной теории де­лимости, но могут быть затронуты и более продвинутые разделы, такие, как решение целочисленных уравнений.

В методической и научно-популярной литературе имеется немало книг, которые можно использовать в качестве основы для лекционных курсов. К ним относятся, например, книги серии «Популярные лекции по математике» и «Библиотека «Кванта»».

Дифференциация в обучении. Как в любом классе, ученики математических классов различаются по своим способностям и интересам, следовательно, для успешности обучения необходимо обе­спечить каждому ученику нагрузку, соответствующую его индиви­дуальным возможностям. Это достигается различными способами: дифференцированными домашними заданиями, необязательными зада­ниями, дополнительными индивидуальными заданиями. Этой же цели служит индивидуализированный контроль.

При всем разнообразии форм дифференциации, которые исполь­зуются при обучении в математических классах, ее основой является различие в тех заданиях, которые выходят за пределы обязательного минимума и ориентированы на разных учеников класса.

Контроль усвоения знаний. Методика проведения текущего контроля, проверочных, самостоятельных и контрольных работ имеет много общего с аналогичной работой в обычных классах. Особенностью контроля в математическом классе является привлечение студентов к проверке усвоения учебного материала: 3—4 студента могут обеспечить на уроке проверку заданий у всех учащихся.

При проведении контрольных работ, если имеется возможность, целесообразно пользоваться официальными источниками [например, 17, 18] и аналогичными им. В эти материалы учитель может вносить изменения или дополнения с учетом конкретных условий; полезно да­вать 1—2 дополнительных задания повышенной сложности.

Для контроля усвоения больших разделов учебного материала проводится зачет. Основное требование к нему связано с необходимо­стью совмещения контроля и обучающих функций. На зачет могут быть вынесены избранные теоретические вопросы, наиболее характер­ные для данной темы, задачи из основного курса и дополнительные

задания. Можно предлагать всему классу задания одинаковой слож­ности, а можно давать задания с учетом способностей учащихся.

В качестве примера дадим краткое описание зачета, в который вошло задание, приведенное в п. 3.1. Каждый ученик отвечал на два вопроса: один — из текста задания, другой — из списка дополнитель­ных вопросов, который был дан заранее.

Дополнительные вопросы.

1. Известно, что при k > 1 между k и 2k содержится простое чис­ло. Используя этот результат, найти какую-нибудь верхнюю границу множества чисел видагде— n-е простое число.

2. Доказать, что существует иррациональное число, записанное только нулями и единицами в виде бесконечной десятичной дроби.

3. Найти верхнюю грань множества чисел, меньших единицы и за­писанных в виде бесконечной десятичной дроби с помощью цифр 0, 1,2.

4. а) Найти

б) Доказать, что последовательность сходится.

5.Доказать, что последовательность где сходится. Доказать, что ее предел равен

6.Доказать сходимость последовательности где = 1

и вычислить ее предел с точностью доU,2.

7.Найти предел последовательности

8. Доказать, что последовательностьсходится.

9. Построить график функции: а) Распределение вопросов по сложности:

Тетради с выполненными заданиями до зачета были сданы учителю. На зачете учащимся предлагались задачи из числа верно решенных ими в сданных тетрадях.

Зачет такого рода может проводиться письменно, если учитель ра­ботает с классом без помощников, и устно, если ему помогают сту­денты.

На выпускном экзамене учащиеся математических классов, как и в массовой школе, выполняют письменную работу по математике. Как правило, сложность экзаменационных заданий в математическом клас­се превосходит сложность задач аналогичного содержания в обычных классах. Усложнение заметно как в отношении большей технической оснащенности, требуемой для решения, так и гибкости мышления, которую необходимо проявить в процессе решения задач и осмысления ответов.

Для сравнения приведем из вариантов выпускных экзаменов 1982 г. задачи на вычисление площадей фигур. Фигура, предложенная для обычных классов, была ограничена линиями и у = х - 3,

а для математических — линиямиипричем здесь дополнительно указывалось, что абсциссы их точек пере­сечения являются целыми числами.

Наряду с материалом общей школьной программы на экзамен в ма­тематических классах выносятся задания по материалу, изучаемому только в них. Например, часто предлагаются задания, связанные с комплексными числами.

1.4. Профессиональная ориентация учащихся. В качестве дисцип­лины цикла трудового обучения в математических классах обычно пре­подается программирование. Иногда обучение программированию организовано непосредственно в школе с выходом на ЭВМ в организа­ции, предоставляющие машинное время по договоренности с руко­водством школы. Иногда же обучение производится в условиях учеб­но-производственных комбинатов. По результатам этого обучения не­которым ученикам присваивается квалификация программиста-вы­числителя с выдачей соответствующего удостоверения. Как правило, трудовое обучение в математическом классе мало затрагивает учителя математики; оно ведется другим преподавателем.

Однако не во всех математических классах изучается программи­рование. Независимо от этого курс математики предоставляет учителю широкие возможности для раскрытия прикладных аспектов математи­ческого знания, учета межпредметных связей и в конечном итоге по­могает профессиональной ориентации учащихся.

Основную роль здесь играет понятие математической модели, т. е. тех математических средств, которые привлекаются к решению опре­деленной научной или производственной задачи. Ученики знакомятся с достаточным запасом математических моделей, главным образом моделей экстремального характера и дифференциальных уравнений. Материал, находящийся в распоряжении учеников, настолько об­ширен, что у учителя появляется вполне обоснованная возможность ввести и обобщающее понятие математической модели. В нем заложен четко выраженный мировоззренческий аспект — указание места ма­тематики в процессе познания и в практической деятельности.

Значительную роль в профессиональной ориентации учащихся выполняет и понятие алгоритма. Многие процедуры и даже понятия школьного курса математики имеют алгоритмическую или «квазиал­горитмическую» природу. Поэтому понятие алгоритма наиболее целе­сообразно рассмотреть именно в курсе математики, имея в виду и его прикладные возможности.

1.5. Методические особенности углубленного курса математики.

1) Совместимость углубленного изучения математики и общеобра­зовательного курса. Из предыдущего изложения можно заключить, что курс математики в математических классах обширнее и глубже, чем в массовой школе. Это может служить ориентиром для работы учителя в математическом классе, однако необходимо учитывать идей­ную общность этих курсов. Она выражается в том, что эти курсы обла­дают по существу: 1) единой системой содержательно-методических линий, вокруг которых концентрируется изложение материала (ли­ния изучения числовых систем, функциональная линия и т. д.); 2) единой понятийной основой; 3) близкими приемами изложения ма­териала обучения; 4) одинаковым упором на формирование представ­лений о прикладных возможностях математики; 5) тождественной си­стемой межпредметных связей; 6) единой установкой на формирование тех компонентов материалистического мировоззрения, которые могут быть особенно эффективно развиты на материале математики.

Наличие указанных черт общности выражает один из основных принципов советской педагогики — единый подход к обучению во всех типах школ.

2) Роль задач. Задачи выполняют весьма существенную роль при изучении математики, которая еще более повышается при ее углублен­ном изучении. Здесь можно отметить несколько специфических особен­ностей. Наиболее заметной является использование задач при изуче­нии нового материала, вводимого нередко в виде серии задач, на которых он отрабатывается. Выше уже говорилось о том, что в виде цик­лов задач могут быть построены даже целые курсы или их значитель­ные части.

Приведем пример иного типа. Понятие подпоследовательности не настолько существенно, чтобы выделять его в нормативном материале. Однако оно достаточно полезно для усвоения понятия предела после­довательности, поэтому ему можно посвятить несколько задач, в од­ной из которых оно и будет определено. Более того, можно лишь опи­сать это понятие, а в качестве задания предложить привести строгое определение (см. упр. 7 в п. 3.1).

При углубленном изучении математики большое количество задач направлено на установление взаимосвязи различных изученных раз­делов математики. Целью при этом служит воспитание у учеников сме­лости и находчивости в поиске способов решения задачи не только в ближайшем окружении условия, но и в более широкой, иногда даже не­ожиданной области.

Пример. Решить уравнениеСтандартный путь освобождения от иррациональности приводит к весьма сложным выкладкам. Обратимся к чертежу. Рассмотрим систему

как фрагмент теории, затем рассмотреть разнообразные приложения как к задачам, так и к организации теоретического материала. Этот под­ход весьма уместен, например, при изложении основных свойств объе­ма и вычислении объемов с помощью интегрирования.

Часто используется обобщение некоторой задачи либо метода ее решения. Например, в курсе алгебры необходимо сформировать у уче­ников «функциональное видение» уравнения, т. е. привычку при реше­нии уравнения представлять, а если нужно, и исследовать его график. Такая привычка, естественно, может возникнуть лишь в ходе анализа нескольких примеров, которые были удачно решены с помощью этого приема.

Для выделения ведущих идей иногда удобно использовать задания, в которых нужная идея скрыта за внешне «несерьезным» фоном. При­ведем пример: «Альпинист совершил восхождение на гору за 12 ч, начав его в 8 ч. На следующий день в 8 ч он начал спуск и затратил на него также 12 ч. Доказать, что в оба дня он хотя бы один раз побывал в одно и то же время суток на одной и той же высоте».

Ясно, что ведущим мотивом решения является рассмотрение двух функций, одна из которых выражает зависимость высоты нахождения альпиниста от времени суток при подъеме, а другая — при спуске. Существенно, что эти функции непрерывны на отрезке [8; 20], так что на этом отрезке к их разности применима теорема Коши — Больцано, откуда и следует доказываемое утверждение.

4) Прикладной аспект обучения математике. При изучении мате­матики в математических классах вопросы приложений математики должны занимать, как и в массовой школе, центральное место в курсе. Возможности углубленного курса математики позволяют исследовать задачи прикладного содержания, требующие для своего решения до­статочно сложных математических средств.

Прикладной аспект обучения математике можно рассматривать в двух планах. Во-первых, в связи с развитием теории, развертываемой в тесном единстве с определенным полем приложений. Во-вторых, на задачах или циклах задач прикладного характера, использующих «не­специфические» математические приемы.

К первому относится, например, понятие о линейном программиро­вании, которое в математических классах может быть развито довольно глубоко (см. [51], с. 16—186), вплоть до написания программ для ЭВМ, реализующих один из методов решения основной задачи линей­ного программирования. Ко второму можно отнести отступления (или, наоборот, мотивировки) в отдельных местах курса математики: гар­монические колебания при изучении тригонометрических функций, составление и исследование дифференциальных уравнений (с исполь­зованием законов Ньютона, при рассмотрении вынужденных колеба­ний и резонанса и т. д.).

В качестве примера приведем задачу, разобранную в [12]: «Матери­альная точка массы т движется по прямой под действием постоянной силы F. Сопротивление среды пропорционально скорости движения с коэффициентом пропорциональности k. Найти закон изменения скоро­сти, если начальная скорость равна нулю».

(рис. 75), а затем ее следствие(рис. 76). Заметив, что уравнения второй системы задают взаимно обратные соответствия, и учитывая, что графики взаимно обратных соответствий симметричны относительно прямой у=х, легко найти два решения этой системы, которые лежат на прямой у = х. Это значительно упростит решение исходного уравнения.

Приведенный пример относится к числу задач, которые можно было бы назвать нестандартными. Необходимо отметить, что при уг­лубленном изучении математики роль стандартных задач, основная цель которых — отработка навыков использования нормативного ма­териала, также весьма значительна, так как задачи, подобные приве­денной, могут базироваться только на достаточно высоком уровне вла­дения техникой алгебраических преобразований. Иначе учащиеся не смогут оценить метод решения и применить его в сходной ситуации.

Наконец, отметим, что при использовании задач в качестве моти­вировки введения нового математического понятия или метода особен­но полезны содержательные задачи. Одним из важных этапов их реше­ния является составление соответствующих математических моделей, которые служат далее предметом изучения.

3) Выделение важнейших математических понятий, идей, фактов и методов. При изучении каждой из математических дисциплин школь­ники знакомятся с огромным количеством новой для них информа­ции. Обилие рассматриваемого материала не должно скрывать от них наличия в каждом курсе ведущих идей, методов, приемов, которые наи­более важны для усвоения. Для выделения и специального направлен­ного изучения наиболее важного материала используется весь комплекс методических средств, находящихся в распоряжении учителя. К указа­нию роли и значения такого материала следует неоднократно воз­вращаться.

На основе второго закона Ньютона для решения задачи составля­ется дифференциальное уравнениеОтвет, полученный при решении дифференциального уравнения, подвергается дальней­шему исследованию — находится предел скорости на бесконечности: она стремится к постоянному значению Однако этим решение не ограничивается; ставится вопрос, какому реальному процессу со­ответствуют условие и качественный результат задачи, и дается один из возможных ответов — свободное падение парашютиста.

Для этого процесса приведенное дифференциальное уравнение яв­ляется его математической моделью. В связи с установлением такого соответствия учитель должен обратить внимание учеников на не­сколько типичных моментов, существенных для правильной оценки полученного решения как функции, описывающей процесс свободного падения: качественное совпадение поведения функции и поведения процесса (известно, что скорость парашютиста постепенно стабилизи­руется), возможность опытной проверки предположения о влиянии среды на движение и др.

На этом примере видно, какое значение имеет понятие математиче­ской модели в аспекте приложений математики. В силу своей сложно­сти это понятие, по-видимому, не может являться предметом изучения в школе. Но крайне важно, чтобы оно было проиллюстрировано на развернутом примере. Этой цели может служить, например, курс диф­ференциальных уравнений, ориентированный на какое-нибудь одно поле приложений, и развитие теории в направлении качественного ана­лиза процессов (задачи биологического характера; задачи, опирающиеся на законы Ньютона, и т. п.) (см. [57]).

5) Строгость при изучении математики. Углубленный курс ма­тематики, как и обычный, не может быть построен с «максимальной» строгостью изложения материала. Вместе с тем следует добиваться осознанного отношения учеников математических классов к прове­дению доказательств и в более широком плане ясности понимания ими структуры математической теории, роли доказательств в ней. Этого можно добиваться различными способами, причем наиболее целесо­образно использовать их совместно.

а) При изучении каждой достаточно обширной темы необходимо несколько утверждений приводить с возможно более развернутыми, полными доказательствами, например: в теме «Пределы последователь­ностей» — сходимость последовательности, определяющей число е, в теме «Первообразная и интеграл» — теорему о множестве перво­образных функции, непрерывной на промежутке.

Сказанное относится преимущественно к курсу математического анализа. В курсе алгебры доказательства, как правило, «сами собой» получаются достаточно строгими, если только основные свойства ариф­метических операций явно сформулировать как аксиомы. Это обстоя­тельство необходимо четко отметить в преподавании.

б) Знакомство с аксиоматическим методом входит в число програм­мных требований к изучению математики. Традиционно это знаком­ство связано с курсом геометрии. При изучении первых разделов сте­реометрии (свойства прямых, плоскостей, параллельность и перпендикулярность в пространстве) проводится не просто строгое доказатель­ство отдельных теорем, но аксиоматически строится значительная часть курса стереометрии. Важно, чтобы при изучении этого материала был усвоен и принцип такого построения теории. Этому целесообразно посвятить целый урок, на котором учитель может синтезировать способ организации материала.

Здесь же, по нашему мнению, следует сообщить, что подобный, вполне строгий способ изложения теории далеко не всегда удобен для изучения. В дальнейшем учителю необходимо систематически отме­чать неполноту рассуждений в тех случаях, когда это представляется методически целесообразным. В частности, очень полезно предъявлять контрпримеры, показывающие значение той или иной посылки. На­пример, в доказательстве теоремы о множестве первообразных непре­рывной функции, заданной на промежутке, довольно малозаметным выглядит условие, что область определения функции — именно про­межуток, а не более сложное числовое множество. Желательно пред­ложить ученикам вопрос, где именно в доказательстве было исполь­зовано это предположение, а далее привести пример, показывающий, что без него утверждение перестает быть верным.

Простейший пример такого рода доставляет функция у = \/х на естественной области определения. Можно проверить, что множество ее первообразных состоит из функций вида

где— производные константы. Таким образом, это множество зависит не от одного, а от двух параметров.

Хороший набор контрпримеров к различным свойствам функций, изучаемым в курсе математического анализа, имеется в [48].

в) Исключительно большое значение в формировании правильного представления о математической строгости имеет сопоставление стро­гих доказательств с рассуждениями, использующими геометрическую наглядность или физическую интерпретацию математических понятий.

Например, в математическом классе, по-видимому, теорему Ла-гранжа полезно вывести в стандартной последовательности: теорема Больцано — Вейерштрасса — теорема Ролля — теорема Коши — тео­рема Лагранжа (это поучительный цикл задач, его следует задать для решения в классе и разобрать). Однако познавательная ценность I доказательства будет невелика, если не интерпретировать теорему Лагранжа физически (с использованием понятия мгновенной скорости) и геометрически (с использованием понятия касательной).

Точно так же при изучении алгебры неравенство Коши — Буня-ковского совершенно необходимо сопоставить с соответствующим свой­ством скалярного произведения.

г) Приведенный пример аксиоматического построения начал сте­реометрии (б) не единственный, который может быть использован в математическом классе. Накоплен некоторый опыт аксиоматического изложения первых свойств действительных чисел (см. [51], с. 15—19). Следует отметить, что при чтении курсов лекций во многих случаях

предоставляется возможность первые свой­ства изучаемой теории вывести строго из аксиом. Это относится, в частности, к таким темам, как теория групп или понятие мет­рического пространства.

д) Следует сказать также несколько слов о требованиях, которые нужно предъявлять к выполнению учениками задач и упражне­ний. Записи должны быть логичными, четки­ми, как и речь. Не следует допускать зло­употребления символикой. Необходимо фор­мировать в учениках чувство формы и меры. Здесь в значительной степени могут проявляться воспитывающие функции курса математики.

6) Внутрипредметные связи дисциплин математического цикла. Общей чертой изучения математики в массовой и математической школах является тесная взаимосвязь ведущих линий курса математики. В качестве конкретных примеров можно привести взаимосвязи, в зна­чительной мере определяющие стиль изучения следующих тем: графи­ки функций — геометрические преобразования, неравенства — геоме­трическое содержание неравенств, площадь — интеграл.

В математических классах к связям такого рода добавляется не­значительное число новых. Примерами могут служить связи дифферен­циальных уравнений с геометрией (через понятие касательной), ком­плексных чисел с тригонометрией и решением уравнений, комбина­торики с теорией вероятностей.

Можно отметить, что при углубленном изучении математики вну­трипредметные связи ориентированы на формирование приемов реше­ний задач. Рассмотрим несколько примеров.

Задача I. Все изображенные на чертеже (рис. 77) отрезки яв­ляются хордами окружностиНайти величину угла если

Решение. Обозначим дугисоответственно и .

Тогда будем иметь: , , откуда . По теореме синусов получаем равенства= 2R. Отсюда легко перейти к тригонометрическому уравнению отно­сительно а и найти искомую величину угла ( = arccos).

Очевидно, что составление уравнения — ведущая идея в решении задачи, геометрической по постановке. Однако прийти к такой мысли, по-видимому, непросто.

Задача 2. Доказать, что если0, то уравнение имеет корень на интервале

Решение. Рассмотрим левую часть уравнения как функцию от х:f (х) = Со + + С₁х + . . . + C_kx^k. Эта функция непре­рывна. Интегрируя ее в пределах от 0 до 1 и используя условие, получаем:

Отсюда следует, что на интервале ]0; 1[ функ­ция / (х) не может сохранять знак, поэтому она должна иметь на нем корень.

На этом примере мы сталкиваемся с ха­рактерной особенностью методики использо­вания задач при углубленном изучении ма­тематики — привлечением к решению средств, которые далеки от области, в которой сфор­мулирована исходная задача.

Задача 3. Доказать равносильность уравнений и

Решение. Прежде всего ясно, что числа 2 и 4 — корни данных уравнений. Рассмотрим функции, стоящие в левых частях уравнений. Легко проверить, что обе они выпуклые (рис. 78). Но график выпуклой функции пересекает любую прямую, в частности интересующую нас прямую у = х, не более чем в двух точках (если только он не содер­жит никакого отрезка, чего в данном случае нет). Следовательно, мно­жества корней данных уравнений совпадают с {2 ; 4}, т. е. уравнения равносильны.

Здесь к исследованию алгебраического вопроса приходится при­влекать «тонкое» аналитическое свойство функции — выпуклость.

Задача 4. Указать большее из чисел log₇ 8 и log₈ 9.

Решение. Представим данные числа как значения функции y=log_x(x+1). Очевидно, что log₇8 = у (7), log₈9 = у (8). Иссле­дование введенной функции с помощью производной (кстати, очень по­учительное) показывает, что она убывает. Следовательно, первое из данных чисел больше.

Этот пример иллюстрирует возможность применения исследования свойств функции к изучению числовой системы.

Приведенные примеры могут быть ориентированы на непосредствен­ное установление связей конкретных тем, что характерно для началь­ных этапов формирования представлений об этих связях. Последующие этапы требуют несколько иных типов учебных заданий, прежде всего сравнения различных методов решения одной и той же задачи, на­правленного поиска нескольких решений и сравнения их между собой.

Пример. Доказать, что сумма всех векторов с началом в центре правильного треугольника и концами в его вершинах равна нулю.

1-е решение. Повернем данный многоугольник на 2/k paдиан вокруг его центра. Сумма рассматриваемых векторов, с одной стороны, не изменится (потому что при таком повороте правильный многоугольник совместится сам с собой), а с другой — преобразуется в вектор той же длины, что и исходный, но повернутый относительно него на те же 2/k радиан. Следовательно, эта сумма равна нулю.

2-е решение. Оно состоит в доказательстве того, что рассмат­риваемые векторы можно переместить и составить из них контур но­вого (правильного) треугольника. Сумма векторов при этом будет рав­на нулю, потому что вдоль них совершается обход контура.

3-е решение. При соответствующем выборе системы коорди­нат данные векторы будут изображать корни k-й степени из единицы (относительно геометрического изображения поля комплексных чисел). Их сумма будет равна нулю как сумма корней уравнения по теореме Виета.

Легко видеть, что сопоставление первых двух решений влечет за собой организацию вокруг данной задачи обширного материала, свя­занного с перемещениями. Сопоставление первого и второго решений с третьим обнаруживает неожиданные связи комплексных чисел с гео­метрией. Теорема Виета получает на этом примере еще одно, геометри­ческое, применение.

Все приведенные примеры достаточно сложны. Не следует ду­мать, что связи разных тем и курсов надо выявлять лишь на таких примерах. На них они могут лишь закрепиться, превратившись в один из полезных методов анализа и решения задач. В процессе формирова­ния связей нужно, разумеется, рассматривать и простые упражнения. При этом основа рассмотрения связей может состоять в выяснении того, какие из решений в том или ином отношении проще.

Пример. Найти наибольшее значение функции у = х/2 + + cos²х на отрезке

1-е решение. Оба слагаемых в аналитическом выражении данной функции возрастают на области определения, следовательно, и их сумма возрастает и принимает наибольшее значение в точке х=.

2-е решение. Стандартное использование процедуры поиска наибольшего значения функции с помощью производной.

Ясно, что первое решение значительно рациональнее, но означает ли это, что оно проще? Оно основано на наблюдении, которое может и не сразу броситься в глаза. Когда же на решение отведено ограничен­ное время, то нет больших оснований искать такого рода остроумный подход, если заведомо известен метод, приводящий к успеху.

Сравнение различных решений задачи особенно уместно при за­ключительном повторении и подготовке к экзамену. Обычно оно проводится при разборе вариантов вступительных работ в вузы.

7) Отражение истории и методологии математики. Математика имеет богатую историю и продолжает интенсивно развиваться. В про­цессе изучения математики это нужно в достаточной мере учитывать. Рассмотрение отдельных вопросов истории, указание на принципиаль­ные компоненты структуры и приложений изучаемых понятий очень оживляют уроки и выполняют важные воспитательные функции, фор­мируя мировоззрение учащихся.

Мы говорим только об отдельных вопросах не случайно. По-види­мому, организация более или менее обширной системы изучения историко-методологического материала не даст положительного эффек­та. Для нее курс математики, в математических классах недостаточно глубок, в нем по понятным причинам уделяется большее внимание изучению конкретных понятий, методов, приемов, нежели их историко-методологическому осмыслению.

Наиболее целесообразно в этой связи освещать те вопросы, которые естественно напрашиваются при изучении материала. Подобных мест в курсе очень много. Инициатива в выделении тех из них, с которыми можно связать историко-методологические отступления, всецело при­надлежит учителю. Однако мимо некоторых вопросов нельзя пройти ни при каких условиях. К их числу принадлежат, например, проис­хождение аксиоматического метода и его роль в математике, связь между математикой и естествознанием, происхождение основных ма­тематических понятий (функция, алгебраическая операция, отдель­ные числовые системы, некоторые классы функций, предел, непрерыв­ность, дифференцирование и интегрирование и т. д.).

Источники, из которых учитель может заимствовать подобный ма­териал, многочисленны и разнообразны: статьи в журналах «Матема­тика в школе» и «Квант», посвященные истории математики и общим вопросам, курсы истории математики, наконец, книги по популярной математике, классическим образцом которых является «Что такое математика» Р. Куранта и Г. Роббинса, выпущенные к настоящему времени 5 томов «Энциклопедии элементарной математики» и многие другие.

8) Специфика системы учебных заданий. Система учебных заданий при углубленном изучении математики была уже в основном охаракте­ризована выше (см. п. 1.3, с. 301—306). Необходимо отметить, что особую роль выполняют задания для развития творческих способно­стей ребят. Работа в этом направлении связана с преодолением значи­тельных трудностей, так как общая математическая культура школь­ников все же недостаточно высока. Следует всячески поощрять стрем­ление учеников к творчеству, возникающее в результате напряжен­ного изучения тех вопросов, которые вызвали у них повышенный интерес.

Наибольшие трудности связаны с отбором заданий, которые были бы одновременно посильны ученикам и требовали бы от них по-настоя­щему творческого подхода к выполнению, т. е. были бы в каком-то отношении новыми. Нередко сами ученики задают вопросы, на кото­рые учителю трудно ответить сразу, но которые заключают в себе возможности поиска. В таких случаях уместно поощрять учеников к са­мостоятельному исследованию. Одна из стандартных ситуаций, в ко­торых возникают подобные вопросы, — рассмотрение свойств и при­знаков в их взаимной связи. Часто, например, свойство доказывается несложными рассуждениями, а признак может оказаться трудно доказуемым. Например, известно такое свойство дуги окружности: если пересечь ее парой параллельных прямых, то дуги, заключенные между этими прямыми, будут равны (рис. 79). В связи с этим утверждением естественно возникает такой во­прос: пусть Г — ограниченная выпуклая линия, в каждой точке которой существу­ет касательная. Пусть выполняется свой­ство: «Части кривой Г, заключенные меж­ду любой парой параллельных прямых, равны по длине». Верно ли, что Г— дуга окружности?

Это очень трудная задача. К ней уча­щиеся могут прийти и самостоятельно, и под руководством учителя. Поиск решения предполагает прочное владение понятием производной и ее геометрическим смыслом. Приведем набросок решения. Заметим, что дуга окружности обладает следую­щим характеристическим свойством: «Углы, образованные хордой и касательными к ду­ге в точках, служащих концами хорды, равны» (рис. 80). Можно показать, что в условиях задачи это свойство выполняет­ся. Действительно, пусть АВ—хорда Г и r— прямая, параллельная (АВ). Рассмотрим касательные к Г в точках А и В. Они наклонены к (АВ) под одним и тем же углом, потому что длины отрезков касательных и соответствующих дуг АС и BD — экви­валентные бесконечно малые при р ((АВ), г), стремящемся к нулю. Ценным источником творческих заданий могут служить задачи, систематически публикуемые в журнале «Квант». Много полезного учитель сможет почерпнуть из раздела задач журнала «Математика в школе». Но следует подчеркнуть, что для развития творческих спо­собностей учащихся, привития смелости в обращении с материалом наиболее ценны, по-видимому, задачи, которые возникают естествен­ным образом в процессе изучения математики в классе или при само­стоятельных занятиях.

Может сложиться впечатление, что первостепенную роль следует придавать только тем формам работы, которые развивают математи­ческие способности учащихся и углубляют владение материалом. В действительности это не так. Акцентирование указанных форм ра­боты может даже пагубно сказаться на успешности обучения в ма­тематическом классе. Не меньшее значение должно придаваться при­витию ученикам прочных навыков выполнения преобразования ал­гебраических выражений, аккуратной записи решений уравнений и различных задач, например стереометрических задач на вычисление. Необходима работа и по формированию навыков вычислений с доста­точно громоздкими числовыми данными.

Из опыта работы в математических классах известно, что значи­тельная часть ошибок допускается учащимися по невнимательности при выполнении вычислительной части задания: даже сильный ученик может неверно вычислить, например, значение интеграла или не­верно записать множество решений простейшего тригонометрического уравнения. Поэтому важно объяснять ученикам, что лишь твердое владение вычислительными процедурами может обеспечить дальней­шее продвижение в математике. Необходимо указывать и на соответ­ствующие требования, предъявляемые на вступительных экзаменах в вузы.

Рассмотренные в этом очерке вопросы обучения математике в математических классах — небольшая часть проблем, с которыми учи­тель столкнется, приступая к работе в таком классе. В заключение мы хотим предостеречь начинающего учителя от распространенной пе­дагогической ошибки, которая может существенно осложнить его ра­боту. Первые уроки во вновь набранном классе нередко приводят к представлению о значительно более высоком уровне математического развития учеников, чем это выясняется в дальнейшем. Под влиянием этого впечатления учитель рискует взять слишком высокий темп изучения материала или предъявить к ученикам слишком высокие тре­бования. Надо сказать, что ученики и сами подчас дают повод для такого мнения — многим подросткам свойственно преувеличивать свои возможности. В этих условиях учитель не должен идти на поводу у учеников. Следует доказать им необходимость достаточно медленного (с их точки зрения) продвижения — убедить на примерах тех оши­бок, которые допускаются ими в работах. Для тех же учащихся, ко­торые показывают действительно хорошее знание предмета, целесо­образно разработать индивидуальные задания, не снижая вместе с тем требовательности к ним в выполнении всего комплекса учебной работы.