1.8. Модели с долями в качестве переменных

В ряде случаев за переменные величины в модели удобно принимать не объемы, а доли. Тогда значения переменных будут задавать не план производства как таковой, а его структуру. Откажемся в модели (1.33)—(1.37) от условий целочисленности переменных и представим ее как обычную линейную модель. Для этого достаточно заменить в ней ограничения вида (1.37) на ограничения неотрицательности переменных

Модель вида (1.33)—(1.36), (1.41) будет представлять собой линейную модель, переменные которой в силу условий (1.36) не могут превзойти по своей величине единицу, а, следовательно, будут дробными величинами, т.е. долями. Итак, в силу (1.36) и (1.37) переменные x_kr будут принимать значения в интервале 0  x_kr  1.

Долями чего же с экономической точки зрения являются интенсивности x_kr ? Судя по ограничениям (1.36), долями единицы. Тогда вопрос следует переформулировать. Что по своему экономическому содержанию представляют собой единицы в правой части ограничений (1.36)? Это — ни что иное, как производственные мощности каждого k-го предприятия, взятые в целом, безотносительно к их материально-вещественному или стоимостному содержанию (часам работы оборудования или персонала, кубическим метрам емкости склада, штукам максимально-возможного выпуска, рублям и т.д.).

В модели (1.33)—(1.36), (1.41) наиболее важными являются ограничения вида (1.36). Они означают, что окончательный план производства формируется как средневзвешенный из заранее заданных r-х вариантов плана. В качестве весов выступают доли. Оптимизация же окончательного плана достигается именно подбором этих весов (долей). Соответственного и любой показатель (выпуск продукции, расход ресурсов, прибыль и т.д.), характеризующий окончательный план, может быть получен как средневзвешенный из одноименных показателей r-х вариантов планов. Это и прослеживается в левых частях ограничений по производственной программе, использованию ресурсов и в критерии оптимальности. Иначе говоря, любые допустимые планы производства получаются “смешиванием” исходных вариантов плана в разных пропорциях.

Подобная постановка задачи предъявляет ряд требований к исходным вариантам плана. Во-первых, эти варианты должны быть составлены заранее, до решения задачи. Во-вторых, они должны быть непротиворечивы, т.е. расхода ресурсов в объеме a_ikr должно хватать для выпуска продукции в объеме a_jkr . В третьих, исходные варианты плана должны быть реальны, реализуемы с точки зрения внутрипроизводственных условий, не представленных в модели (нормы затрат и выпуска, существование различных способов производства, направления и интенсивность потоков ресурсов, полуфабрикатов и продукции между частями и стадиями технологического процесса и т.д.). Суммируя вышесказанное, каждый из исходных вариантов плана сам должен быть допустимым.

Наконец, в-четвертых, их количество должно быть достаточно велико, а сами они разнообразны (с разными пропорциями в затратах ресурсов и в выпусках продукции). Только тогда они достаточно широко представят всю область производственных возможностей, а, следовательно, и область допустимых планов. Это обеспечит большое разнообразие их “смесей”, т.е. допустимых планов задачи, что, в свою очередь, обеспечит большую свободу выбора при поиске оптимального плана. Ведь нет гарантий, что наилучшим решением задачи является один из исходных вариантов или средневзвешенный из них. Возможно, что дополнительная разработка и включение в задачу новых исходных вариантов плана улучшит ее решение. Это является определенным недостатком структурной постановки.

Преимуществом же является существенно меньшая размерность задачи. Число столбцов уменьшается, так как отпадает необходимость отдельно учитывать производство каждой продукции во всех возможных технологиях. Число строк уменьшается за счет абстрагирования от внутрипроизводственных особенностей и внутренней структуры предприятия. Ограничения задаются лишь по внешним его связям — лимитам выделяемых ресурсов и заданиям на выпуск продукции. Все внутренние особенности предприятия как бы абстрагируются в одном структурном ограничении вида (1.36), где единица в правой части представляет собой производственную мощность предприятия в целом. Каждое из неизвестных x_kr является долей производственной мощности, выделяемой для работы по r-му варианту плана. Вся левая часть ограничения показывает, в каких пропорциях производственная мощность предприятия “делится” между исходными планами.

Итак, в ограничениях вида (1.36) прослеживается процесс использования производственной мощности каждого предприятия, ее затрачивания, распределения между различными вариантами производства (т.е. различными вариантами использования производственной мощности).

Однако производственная мощность не обязательно должна быть использована полностью. Отразить это обстоятельство можно, введя в число заданных вариантов вариант с нулевыми значениями a_ikr , a_jkr и p_kr , т.е. вариант “максимальной экономии ресурсов путем отказа от выпуска продукции” (вариант “ничего не делать”). Тогда, если данному варианту в решении соответствует дробное значение х_kr , то мы имеем случай неполного использования производственной мощности. Если же для такого варианта х_kr равен единице, то данное предприятие нецелесообразно использовать. При подобной постановке ограничение вида (1.36) фактически содержит в себе как ограничения вида (1.39), так и (1.40).

Чаще используется другой прием: ограничения вида (1.36) заменяются на (1.38). Это позволяет в явном виде отразить возможности неполного использования производственной мощности. Разумеется, в этом случае среди вариантов отсутствует вариант “ничего не делать”. Ограничения вида (1.38) относятся к типу обычных ограничений по использованию ресурсов, с той однако особенностью, что объемы ресурсов даны не в абсолютных величинах, а в относительной.

В окончательном виде модель с долями в качестве переменных будет состоять из выражений (1.33)—(1.35), (1.38), (1.41).

В этой модели ищется оптимальное значение не объемов, а структуры. От нее, в свою очередь, с помощью величин a_ikr , a_jkr и p_kr переходим к объемам использования ресурсов, выпуска продукции и полученной прибыли.

Правомерна, однако, и постановка задачи оптимизации лишь структуры, безотносительно к объемам. К подобным задачам относится одна из двух разновидностей так называемой “задачи о смесях”.

Пусть осуществляется переработка многих видов сырья, каждый из которых обладает набором полезных (вредных) свойств, необходимых (нежелательных) для конечной продукции. Задача состоит в определении наиболее дешевого набора сырья, укладывающегося однако в ограничения по “качеству” смеси. Подобные задачи типичны для нефтепереработки, металлургии, животноводства.

Введем обозначения:

j — индекс сырья ( j = 1,2,..., n);

i — индекс полезных (вредных) веществ или качеств, содержащихся в единице сырья;

I — множество индексов таких веществ или качеств (iI);

I₁ — множество индексов полезных веществ или качеств (I₁ I);

I₂ — множество индексов вредных веществ или качеств ( I₂ I);

b_i — минимально (для iI₁) или максимально (для iI₂) допустимое содержание i-го вещества или качества в единице“ смеси”;

a_ij — cодержание i-го вещества или качества в единице j-го сырья;

c_j — cтоимость единицы j-го сырья;

x_j — доля j-го сырья в единице “смеси”,

В принятых обозначениях модель задачи будет выглядеть так.

Найти переменные x_j , минимизирующие целевую функцию вида

при выполнении ограничений на качество смеси

по формированию структуры “смеси”

и неотрицательности переменных

x_j  0 (j=1,2,...,n) . (1.46)

В данной задаче минимизируется стоимость единицы (т, м² и т.д.) смеси. Очевидно, что при любых объемах переработки сырья и выпуска готовой продукции, оптимальному плану будет соответствовать одна и та же структура “смеси”, т.е. соотношение в ней отдельных составных частей — видов сырья.

Представление производственной мощности в целом как единицы весьма плодотворно.

С одной стороны, это позволяет вводить ограничения по производственным мощностям и в тех случаях, когда выпускается существенно разнородная, трудно соизмеримая продукция и производственную мощность невозможно выразить в явном виде единым показателем. Или, что то же самое, в случае недостатка необходимой информации. Например, пусть имеется производство трех видов продукции, измеряемой в штуках, тоннах и погонных метрах. Использование в качестве единого измерителя для производственной мощности времени работы оборудования невозможно из-за многочисленности и разнородности его видов. Стоимостное выражение производственной мощности (максимум выпуска в рублях) неоднозначно при различных вариантах выпуска. Естественным выходом в этом случае является представление производственной мощности обобщенно, как безразмерной величины равной единице в правой части соответствующего ограничения, а также использование долей в качестве переменных.

С другой стороны, обобщенно представленная производственная мощность способна аккумулировать в себе все факторы производства, влияющие на выпуск продукции, и позволяет агрегированно описать всю область производственных возможностей (область допустимых планов) данного экономического объекта.

При детализированном, подробном описании область допустимых планов формируется на основе совокупности всех ограничений по использованию ресурсов и выполнению производственной программы для данного объекта. Для этого требуется знать как наличные объемы всех ресурсов, размеры заданий по выпуску, так и все нормы затрат и выпуска по всем возможным технологическим способам.

В случае агрегированного представления производственной мощности возможен и иной способ построения области допустимых планов. В данном случае нам требуется набор линейно независимых (с различной структурой выпуска) исходных планов (вариантов). Тогда любой допустимый план можно получить как линейную комбинацию исходных планов, путем их взвешивания с долями в качестве весов. Это позволяет компактно, одним ограничением представить объект, без описания его внутренних подробностей. Последнее дает существенные преимущества при моделировании взаимоотношений экономических объектов различных уровней. Подробнее это будет рассмотрено в части III настоящего пособия.