1.7. Модель вариантной производственной задачи

Рассмотрим одну из целочисленных моделей. Предельным проявлением целочисленности является использование в модели булевых переменных — единицы и нуля. Логически это соответствует выбору между “да” и “нет”. Это, в свою очередь, требует заранее сформулировать те варианты производственной программы, варианты развития производственных мощностей, варианты стратегии экономического поведения, которые и будут в дальнейшем подвергнуты анализу и отбору. Таким образом, содержание задачи в данном случае состоит в следующем: принять или отвергнуть варианты из их заранее известного, сформированного набора. Причем целиком принять или целиком отвергнуть (частичные решения запрещены) каждый из них. Соответствующую модель принято называть вариантной, ибо она построена на основе заранее известных, заданных вариантов и ее содержанием будет являться сортировка таких вариантов на эффективные, принятые в оптимальный план, и неэффективные, т.е. отвергнутые.

Введем следующие обозначения:

i — индекс ресурсов (i = 1,2,..., m);

j — индекс продукции ( j = 1,2,..., n);

k — индекс предприятия, входящего в данное объединение, фирму (k = 1,2,..., l);

r — индекс варианта плана производства на k-м предприятии ( r = 1,2,..., s_k);

b_i — наличие i-го ресурса;

b_j — план выпуска j-ой продукции;

a_ikr — общий объем потребления i-го ресурса на k-м предприятии при его работе целиком по r-му варианту;

a_jkr — общие размеры выпуска j-й продукции на k-м предприятии при его работе целиком по r-му варианту;

p_kr — общее количество прибыли k-го предприятия при его работе целиком по r-му варианту;

x_kr — интенсивность использования r-го варианта на k-м предприятии.

Таким образом, набор известных величин a_ikr , a_jkr и p_kr однозначно определит любой из вариантов на каждом предприятии. Следует подчеркнуть, что в отличие от предыдущих моделей, величины a_ikr , a_jkr и p_kr не являются удельными величинами. Они характеризуют расход ресурсов, выпуск продукции и прибыль при реализации на k-м предприятии r-го варианта в полном его объеме. Кроме того, сразу оговорим, что критерием оптимальности может быть не обязательно максимум прибыли, а любой из рассмотренных выше.

В принятых обозначениях модель вариантной производственной задачи запишется следующим образом.

Найти значения переменных x_kr , максимизирующих целевую функцию вид

(т.е. максимизировать совокупный объем прибыли всего объединения, фирмы) при выполнении ограничений на использование ресурсов

по выполнению производственной программы

по выбору вариантов

и целочисленности переменных

Ограничения вида (1.37) показывают, что интенсивность использования любого из вариантов может принимать лишь два значения, соответственно которым он может быть либо принят (в случае x_kr =1), либо отвергнут (в случае x_kr =0). Ограничения вида (1.36) обеспечивают на каждом предприятии выбор только одного из всех возможных на нем вариантов. Левая часть должна представлять собой сумму одной единицы и нулей, иначе равенство в (1.36) нарушится. Таким образом, на одном предприятии нельзя выбрать как сразу несколько вариантов, так и ни одного. В левой части ограничений (1.34) и (1.35) каждое предприятие фактически будет представлено не суммарным по всем вариантам использованием ресурсов и выпуском продукции, а лишь теми показателями, которые описывают использование ресурсов и выпуск продукции по выбранному варианту работы данного предприятия. В силу (1.36) и (1.37)

где q есть индекс того варианта работы k-го предприятия, который вошел в план (не обязательно оптимальный, но допустимый) и для которого х_kq =1 (r=q). Таким образом, все прочие, отвергнутые варианты как бы пропадают и не участвуют как в использовании ресурсов, так и в выпуске продукции. Аналогично и общая прибыль по объединению, фирме будет фактически формироваться исключительно как сумма прибыли от вошедших в план вариантов.

Условие (1.36) может быть сформулировано и менее жестко, если предположить, что для каждого предприятия ( в случае его меньшей выгодности по сравнению с другими) могут быть отвергнуты все предложенные варианты. Здесь мы будем иметь случай уже не только отбора того или иного варианта на предприятии, но и отбора среди самих предприятий, сортировки их на эффективные, вошедшие в план, и неэффективные, отвергнутые. Для такой ситуации ограничения вида (1.36) будут модифицированы следующим образом:

Зачастую возникает и промежуточная ситуация, когда для части предприятий выбор одного из возможных вариантов обязателен. Введем обозначения:

K — множество индексов предприятий (kK);

K₁ — множество индексов предприятий, участие которых в плане не обязательно, т.е., которые могут быть закрыты, перепрофилированы и т.д. (K₁K);

K₂ — множество индексов предприятий, участие которых в плане обязательно, т.е. не подлежащих закрытию, перепрофилированию и т.п. (K₂K).

С учетом этих обозначений вместо ограничений вида (1.36) в модели вариантной задачи появятся ограничения двух видов:

В ограничениях вида (1.39) допускаются нулевые значения всех x_kr , а, следовательно, и нулевые значения левой части в целом. Это будет свидетельствовать о невыгодности ни одного из вариантов работы данного предприятия, а следовательно, и о его невыгодности в целом. Выполнение условия (1.38) как строгого неравенства может свидетельствовать либо о целесообразности закрытия, перепрофилирования соответствующего предприятия, либо о недостаточном качестве набора вариантов и необходимости нахождения для него более эффективных вариантов.

Здесь отчетливо проявляется одна из основных проблем, возникающих при выборе хозяйственных решений. А именно: проблема существования и подготовки качественной исходной информации для последующего выбора на ее основе тех или иных решений.