1.3. Модель задачи на минимум затрат

Введем новое обозначение:

с_j - себестоимость единицы j-й продукции.

Запишем самую простую модель с критерием оптимальности — минимум затрат на весь объем выпуска:

_n

 c_j x_j  min ;

^j=1

_n

 a_ij x_j  b_i (i = 1,2,...,m);

^j=1

x_j  0 (j = 1,2,...,n).

Поиск оптимального решения в этом случае очень прост - им является тривиальное (все неизвестные равны нулю) решение. Действительно, при x_j = 0 ( j =1,2,...,n) все ограничения выполняются, т.е. данное решение допустимо. А из всех допустимых решений оно дает наименьшее значение критерия оптимальности, т.е. затраты в данном случае равны нулю (очевидно, что отрицательными они быть не могут).

Такое математически правильное решение с экономической точки зрения абсурдно, ибо представляет собой план “максимальной экономии ресурсов”, в соответствии с которым ничего не производится и все ресурсы остаются целиком неиспользованными.

Ничего не изменит и запись модели, усложненная за счет введения различных технологических способов производства одноименной продукции, где c_j^s - себестоимость единицы продукции j-го вида, произведенной по s -му способу.

Чтобы значение критерия оптимальности не “скатывалось” до нуля, необходимо ограничить снизу (т.е. ввести ограничение вида ) решение. Такими условиями, как мы уже знаем, являются условия по выполнению директивно заданного плана производства.

Экономическая деятельность как один из видов человеческой деятельности целенаправленна и предполагает достижение определенных результатов производства, что, в свою очередь, связано с осуществлением затрат. Одной из основных задач экономики (как науки, так и практики) является сопоставление затрат и результатов. Как правило, существуют несколько вариантов получения заранее заданного (планируемого, желаемого, предполагаемого), фиксированного результата. Также существует несколько вариантов использования известного (имеющегося), фиксированного количества ресурсов. Правильный выбор наилучшего варианта из нескольких допустимых возможен при следующих постановках задачи:

— максимизация результата (эффекта) при фиксированном уровне затрат (ресурсов);

— минимизация затрат при фиксированном уровне результатов.

Сам отбор наилучшего варианта решения (плана производства) по минимуму затрат возможен вследствие эквивалентности результатов по всем вариантам. В случае же различной величины результатов вариант с меньшими затратами может быть и не лучшим (просто с меньшими затратами мы достигаем и меньшего результата). Именно это имело место выше. “Лучшее”, нулевое решение давало наименьший (выпуск равен нулю) результат.

Рассмотрим модель задачи на минимум затрат при фиксированных планах производства, предположив, что каждый вид продукции производится лишь одним технологическим способом: _{n n}

 c_j x_j  min ;

^j=1

_n

 a_ij x_j  b_i (i = 1,2,...,m);

^j=1

x_j  b_j  0 (j = 1,2,...,n).

Любой сверхплановый выпуск, даже самых скромных размеров, увеличит значение критерия оптимальности. Ясно, что наименьший уровень затрат возможен лишь при строгом выполнении плановых заданий, т.е. при x_j = b_j . Тем самым данная модель теряет смысл, так как в подобной задаче нечего искать. Оптимальный план известен: он задается числами b_j .

Однако это не значит, что при отсутствии нескольких способов производства одноименной продукции постановка задачи на минимум затрат бессмысленна. Нужно лишь задать результат с меньшей степенью подробности, нежели искомые величины:

В модели (1.16) - (1.19) переменные x_j^s детализированы и по видам продукции j и по способам производства s, а плановые задания b_j лишь по продукции. Поэтому оптимизация осуществляется подбором разных величин x_j^s в рамках единой фиксированной величины b_j , т.е. подбором сочетания различных технологий для выпуска данной j- й продукции.

Рассмотрим еще один подход, позволяющий ограничить решение снизу в задаче на минимум затрат. Обозначим в данном случае через p_j цены на продукцию j-го вида, а через P - план по валовой продукции. Заменим детальные ограничения x_j  b_j аг-

_n

регированным ограничением  р_j x_j  P (если вернуться к пер-

^j=1

воначальному определению величин р_j, то Р будет не чем иным, как запланированным уровнем валового дохода от выпуска продукции).

Тогда модель на минимум затрат в случае, когда каждый вид продукта производится лишь одним технологическим способом, запишется так:

_n

 c_j x_j  min ; (1.20)

^j=1

_n

 a_ij x_j  b_i (i = 1,2,...,m); (1.21)

^j=1

_n

 р_j x_j  Р (1.22)

^j=1

x_j  0 (j = 1,2,...,n). (1.23)

Отметим одну важную особенность рассмотренных моделей (1.16)-(1.19) и (1.20)-(1.23). Ограничения на область допустимых решений (1.17)-(1.18) и (1.21)-(1.22) в принципе противоречивы: ограничения вида ““ по объему производства или валовому доходу могут потребовать расхода одного или нескольких ресурсов, превышающего их наличный запас, учитываемый в ограничениях вида ““.

Противоречивость рассматриваемых ограничений при решении задачи с конкретными значениями b_i и b_j может привести к тому, что область допустимых решений окажется пустой и оптимизационная задача будет неразрешимой.