Контрольные вопросы

1.Перечислите основные элементы экономико-математической модели.

2.Может ли одна и та же совокупность математических выражений, включающая критерий оптимальности и систему ограничений, описывать различные экономические объекты?

3.Какую роль играет горизонт планирования при составлении модели выбора эффективного варианта производственной программы предприятия?

4.Какая цель преследуется при агрегировании производственных ресурсов (факторов) в группы? Какие этапы включает в себя процедура агрегирования?

5.Что означает линейная зависимость объемов используемых ресурсов и выпуска?

6.Правильно ли следующее утверждение: “Если коэффициенты матрицы прямых затрат увеличить в два раза, то компоненты вектора оптимального решения в задаче на максимум дохода уменьшатся в два раза”?

7.В чем отличие “вариантной” и “безвариантной” постановок задач на максимум дохода?

8.Как связаны между собой наличие ограничений по производственной программе предприятия и “эффект структуры” оптимального решения?

9.Назовите области применения оптимизационных задач в ассортиментной постановке?

10.В чем заключается противоречие между критерием в задаче на максимум загрузки оборудования и экономическим содержанием оптимального плана этой задачи? Как снимается это противоречие?

Глава 2.Теоретические проблемы линейной оптимизации

2.1. Основная планово-производственная задача Канторовича

Все модели, описанные в главе 1 довольно однотипны. Различаясь видом критерия оптимальности, они обладают схожими ограничениями. Это дает возможность произвести их некое обобщение и построить достаточно универсальную модель. Инструментом этого обобщения и средством придания модели свойства универсальности выступают ингредиенты и технологические способы.

Термин “ингредиент” (т.е. составная часть) введен для общего обозначения любого фактора, участвующего в производственном процессе, каковыми могут быть ресурсы разного рода, промежуточная продукция (полуфабрикаты), а также конечная продукция данного хозяйственного объекта, в чем бы она не выражалась. Итак, ингредиенты могут быть трех видов: ресурсы, промежуточная продукция, конечная продукция.

Под технологическими способами (технологиями, производственными способами) понимаются различные способы соединения ингредиентов в процессе производства. Они могут разниться по видам конкретных технологических процессов (технологии в инженерном смысле этого слова), выпускаемой продукции, используемых ресурсов, а также и по конечному , с точки зрения выбранного критерия оптимальности, эффекту. Это может быть не только технологический способ производства, но и транспортировки, хранения, оказания услуг и т.д. Итак, технологический способ жестко определен участием в нем тех или иных ингредиентов, размерами этого участия, а, следовательно, и их соотношением между собой в рамках данной технологии и, кроме того, определенным значением критериального показателя.

Под участием здесь понимается, что каждый ингредиент в каждом из способов может либо производиться, либо расходоваться, либо не участвовать вовсе (нулевое участие). Причем производство (расходование) одного и того же ингредиента возможно в нескольких способах. В силу этого имеет место взаимозаменяемость технологических способов, а, следовательно, и возможность выбора наиболее выгодных из них. С другой стороны, в разных способах один и тот же ингредиент может то производиться, то тратиться, но может и не участвовать. Отсюда следует взаимодополнение технологических способов. Кроме того, наличие взаимозаменяемости и взаимодополняемости технологических способов ведет в конечном счете и к взаимозаменяемости ресурсов (продукции) в рамках задачи в целом, хотя в каждом из способов соотношение ингредиентов жестко закреплено, и они невзаимозаменяемы.

Конкретный вид участия характеризуется знаками “плюс” или “минус”. Все величины (как удельные, так и объемные), обозначающие размеры выпуска будут положительными. а размеры затрат - отрицательными. Факт неучастия отражается нулевой величиной соответствующего показателя. Подобный прием позволяет каждый из технологических способов (столбец коэффициентов) или же весь данный хозяйственный объект (столбец правых частей) рассматривать с точки зрения обмена ингредиентами с внешней средой: технологического способа с объектом в целом; объекта с поставщиками, потребителями и т.п. Отрицательными величинами обозначается все, что поступает извне, положительными — все, что выдается вовне, нулевыми — отсутствие и того и другого.

Подобное описание целесообразно в тех случаях, когда продукция одних технологических способов служит ресурсом в других. Забегая несколько вперед отметим, что этот подход может распространяться и на переменные величины.

После предварительных разъяснений запишем модель основной планово-производственной задачи Канторовича.

Введем следующие обозначения:

i — индекс ингредиента (i = 1,2,...,m);

s — индекс технологического способа (s = 1,2,...,r);

b_i — общий объем i-го ингредиента в производственном процессе моделируемого хозяйственного объекта; при этом, если i-й ингредиент является конечным продуктом, то b_i, если ресурсом, то b_i  , а если i-й ингредиент целиком производится и потребляется внутри объекта и является промежуточным продуктом, то b_i ;

a_is — норма участия i-го ингредиента в s-м технологическом способе на единицу его (т.е.способа) интенсивности; при этом, если i-й ингредиент выпускается, то a_is и норма участия есть ни что иное, как величина выпуска i-го ингредиента при единичной интенсивности использования способа s, если i-й ингредиент затрачивается, то a_is  и в этом случае норма участия есть норма затрат ингредиента i на единицу интенсивности способа s, если i-й ингредиент и не выпускается и не затрачивается, то a_is;

p_s — коэффициент эффективности s-го технологического способа в расчете на единицу его интенсивности; например, при выборе в качестве критерия оптимальности максимума прибыли величины p_s являются величиной прибыли от использования s-го технологического способа с единичной интенсивностью;

x_s — интенсивность s-го технологического способа; она показывает размеры его использования при том или ином варианте плана и может измеряться через любой из ингредиентов, т.е. размером выпуска какого-либо конечного продукта (или даже промежуточного продукта), либо количеством затрачиваемого ресурса (промежуточного продукта) любого вида.

В принятых обозначениях модель основной планово-производственной задачи будет выглядеть следующим образом:

Более подробно обсудим, каким образом измеряется интенсивность технологических способов. Поясним это на примере, представленном в табл. 2.1.

Следует отметить, что в последней строке таблицы величина показателя прибыли учитывает общий итог выручки от реализации не только продукции Б, но и реализуемых отходов, а также как затраты, возникающие при расходовании ресурсов, так и затраты, связанные с выпуском и расходом промежуточной продукции В и Г соответственно. Кроме того, здесь же может учитываться и общий итог затрат и выпуска тех второстепенных видов ресурсов, конечной и промежуточной продукции, которые не были включены в модель, но в реальном процессе производства тратятся и выпускаются в рамках данной технологии.

Таблица 2.1

Ингредиенты	Единицы измере-ния	Варианты значений норм участия, аis
		I	II	III	IY
1.Конечная продукция А	у.е.	0	0	0	0
2.Конечная продукция Б	ед.	1	0,5	0,2	0,25
3.Реализуемые отходы	кг	120	60	24	30
4.Сырье	т	-5	-2,5	-1	-1,25
5.Электроэнергия	кВт-ч	-7	-3,5	-1,4	-1,75
6.Оборудование	станко-ч	-2	-1	-0,4	-0,5
7.Трудовые ресурсы	чел.-ч	-10	-5	-2	-2,5
8.Емкость складов	м3	-12	-6	-2,4	-3
9.Промежуточная продукция В	шт.	-6	-3	-1,2	-1,5
10.Промежуточ-ная продукция Г	м	4	2	0,8	1
Прибыль на единицу интенсивности	у.е.ед.ин-тенсив-ности	20	10	4	5

Несмотря на различные наборы цифр в столбцах табл.2.1, все четыре варианта значений норм участия а_is соответствуют не четырем разным технологиям, а одной и той же. Однако в каж-

дом из этих вариантов интенсивность одной и той же технологии измеряется по разному. В первом варианте — выпуском (в единицах) конечной продукции Б, во втором — затратами (в станко-ч) времени работы оборудования, в третьем — расходом (в т) сырья, и наконец в четвертом варианте — выпуском (в м) промежуточной продукции Г.

Нетрудно убедиться, что каждый из вариантов значений норм участия может быть получен из любого другого делением всех показателей на абсолютную величину нормы участия того ингредиента, который станет измерителем интенсивности данного технологического способа. В общем случае число таких вариантов может быть не более m , т.е. числа ингредиентов. Однако в нашем случае число возможных вариантов записи данной технологии равно не десяти, а лишь девяти, так как конечная продукция А в данной технологии не участвует. Но в общем перечне ингредиентов конечная продукция А присутствует, ибо этот перечень един для всех способов и является сквозным по всей задаче. Достаточно наличия факта выпуска или расхода ингредиента хотя бы в одном технологическом способе, чтобы этот ингредиент появился (пусть и с нулевой нормой участия) во всех остальных способах).

Выбор того или иного варианта отражения технологии в задаче зависит от степени важности ингредиентов. При одновременном изготовлении нескольких видов конечной продукции из одного сырья целесообразно за единицу интенсивности принять расход единицы этого сырья. При выпуске одной конечной продукции из многих видов сырья — выпуск единицы этой продукции. При переработке разнообразного сырья и выпуске многих видов продукции на одном оборудовании — расход единицы времени работы этого оборудования. При дефиците складов — заполнение единицы емкости склада. Кроме того, степень важности может определяться силой влияния каждого из ингредиентов на основные показатели хозяйственной деятельности предприятия (например, прибыльностью) или же иными соображениями.

В нашем примере (табл.2.1) в качестве ингредиентов выступали реальные конечные продукты, ресурсы и промежуточные продукты. Продукция А лишь для удобства измеряется в у.е. (вряд ли наше предприятие печатает деньги, производя на самом деле некие осязаемые предметы или услуги). Кроме того, в у.е. могут измеряться и ингредиенты финансовой природы: кредиты и дотации как своего рода ресурсы, платежи и отчисления как конечная продукция особого вида. Если же технологические способы соответствуют хозяйственно самостоятельным подразделениям нашего объекта, то возможна и промежуточная продукция финансового характера.

Подобные финансовые ингредиенты олицетворяют собой отношения между людьми, коллективами, хозяйственными и административными объектами и т.п. Но кроме того, возможно появление и другой группы ингредиентов, характеризующих отношения и пропорции между процессами, происходящими внутри моделируемого объекта. Например, такой показатель как производительность труда может являться своего рода конечным продуктом нашего объекта, если мы зададим ее минимальный уровень положительной величиной b_i. Тогда фактический уровень производительности труда не может быть ниже заданного и определится в левой части соответствующего ограничения как средневзвешенный из конкретных уровней производительности труда отдельных технологий. В модель, таким образом, будет включен “выпуск” показателя “производительность труда”. Наоборот, показатель “фондоемкость” будет “тратиться”, представляя собой своего рода ресурс с отрицательно заданной величиной b_i, отражающей максимально допустимый уровень этого показателя.

Кроме того, в задаче возможен учет и ингредиентов внеэкономической природы, например, экономических показателей типа предельно-допустимых концентраций или выбросов, допустимого ущерба и т.п.