1.2. Модель задачи дохода

Соизмерение различных видов продукции через натуральные показатели возможно лишь в ограниченном числе случаев. Поэтому в качестве критериального показателя используются, как правило, различного рода стоимостные величины, например доход.

Пусть p_j - доход от производства единицы продукции j-го вида (удельный доход j-й продукции).

Тогда модель (1.7) - (1.9) есть модель задачи на максимум дохода. Оптимальное использование ресурсов в данном случае заключается в получении максимального объема дохода. Различные варианты использования ресурсов есть не что иное, как варианты плана выпуска продукции (т.е. те или иные значения неизвестных x_j ).

Все эти варианты одинаковы по размерам используемых ресурсов (заданы величинами b_i ), т.е. одинаковы по затратам, но различны по своим результатам — по размерам дохода. Отметим, что именно фиксированный уровень затрат ресурсов дает возможность отбирать наилучший вариант по максимуму результата.

В модели (1.7) - (1.9) средством оптимизации является отбор в план наиболее выгодных видов продукции. При наличии нескольких взаимозаменяемых способов (технологий) производства одного и того же вида продукции оптимизация возможна и за счет выбора для каждой продукции наиболее выгодных способов ее производства. Дополнительно введем следующие обозначения:

s - индекс технологического способа производства j-й продукции (s = 1,2,..., r_j );

x_j^s - искомый объем производства j-й продукции s-м технологическим способом;

a_ij^s - норма затрат i-го ресурса на производство единицы j-й продукции s-м способом;

x_j^s - прибыльность j-й продукции, произведенной s-м способом.

Модель запишется так:

критерий оптимальности - максимум дохода:

ограничения на использование ресурсов:

ограничения на неотрицательность выпуска:

x_j^s  (j=1,2,...,n);

(s=1,2,...,r_j).

Теперь в задаче на максимум дохода каждому виду продукции j соответствует не одно неизвестное x_j , а несколько неизвестных x_j^s (для всех s = 1,2,...,r_j) по числу имеющихся технологических способов производства j-й продукции. Каждый способ задается набором показателей a_ij^s и p_j^s. Различия способов определяются различиями в величине удельного дохода и норм затрат ресурсов.

Подчеркнем, что наличие для каждого вида продукции своего набора технологий требует использования подиндекса (s = 1,2,...,r_j). Напротив, использование более простой записи (s = 1,2,...,r) будет соответствовать наличию общего набора технологий, пригодных для производства любого вида продукции.

Интерпретируем приведенный выше числовой пример как задачу максимизации прибыли от добычи топлива одного вида (например, угля) двумя различными технологическими способами: открытым (карьер) и подземным (шахта). При практической близости норм затрат электроэнергии (1,1 и 1) и трудовых ресурсов (0,225 и 0,25) в двух столбцах два технологических способа отличаются главным образом величиной затрат оборотных средств (10-кратное увеличение в расчете на тонну угля при переходе к подземной добыче) и существенными различиями в прибыльности (почти 5-кратное уменьшение в расчете на тонну угля при переходе к открытой добыче). Последнее может быть объяснено, например, дифференциацией цен в связи с лучшими качествами глубокозалегающих углей (меньшая зольность, низкое содержание серы и т.д.).

Следует отметить, что в экономико-математической задаче для выделения разных технологических способов производства одноименной продукции достаточно различий в величине нормы затрат лишь одного какого-либо ресурса либо различий в величине только критериального показателя. Так, например, томаты, выращенные в июле и августе по одной и той же “реальной” технологии, с одинаковыми нормами затрат ресурсов, в задаче будут представлены двумя “модельными” технологиями, отличающимися лишь величиной p_j^s - различной прибыльностью единицы продукции в июле и августе, вследствие различий сезонных цен.

В процессе составления плана производства приходится учитывать не только ограниченность выделяемых ресурсов, но и возможные директивные задания по выпуску продукции. Введем в наш первоначальный пример плановые задания по добыче 90 тыс.т торфа и 30 тыс.т угля. Модель (1.1) - (1.6) дополнится ограничениями по выпуску:

х₁  90000; (1.10)

х₂  30000. (1.11)

Выражения (1.10) и (1.11) означают, что добыча торфа и угля должна быть не меньше плановых заданий.

Следует отметить, что как здесь, так и далее термин “плановое задание” или “план” нами употребляется (если это не оговорено специально) лишь для краткости и не несет однозначной смысловой нагрузки. Так это могут быть и обязательные объемы выпуска. Например, в размере выигранного по конкурсу государственного заказа или заранее заключенных договоров с потребителями нашей продукции при рыночной системе хозяйства. Аналогично используется нами и термин “лимиты ресурсов”, отнюдь не обязательно означающий их строгое лимитирование в рамках системы Госснаба СССР.

Введем обозначения.

b_j - план выпуска j-й продукции. С учетом ранее введенных обозначений численной модели (1.1) - (1.6), (1.10) - (1.11) будет соответствовать модель в общем виде:

_n

 p_j x_j  max ;

^j=1

_n

 a_ij x_j  b_i (i = 1,2,...,m);

^j=1

x_j  b_j  0 (j = 1,2,...,n).

Если в задаче (1.7) - (1.9) оптимизация шла за счет отбора наиболее выгодных видов продукции, то в последней модели свобода выбора существенно снижается. Действительно, в любом допустимом плане выпуска величина каждого x_j в основном складывается из обязательной фиксированной величины планового выпуска b_j. Оптимизация же, т.е. выбор различных вариантов идет лишь за счет сверхплановых выпусков продукции того или иного вида. Пусть x_j - искомый сверхплановый выпуск j-й продукции. Тогда x_j = b_j + x_j . Подставим это выражение в модель:

_{n n}

 p_j b_j + p_j x_j’  max;

^{j=1 j=1}

_{n n}

 a_ij b_j + a_ij x_j’  b_i (i =1,2,...,m);

^{j=1 j=1}

b_j +x_j’  b_j  0 (j =1,2,...,n).

Уменьшив правую и левую части последнего выражения на b_j , получим x_j’   - условие неотрицательности вновь введенных переменных.

Общая величина дохода от планового выпуска продукции в строгом соответствии в планом постоянна и может быть получена прямым счетом. Иными словами,

_n

 p_j b_j =сonst_-

^j=1

Таким образом, максимизация общего объема дохода зависит

_n

лишь от сверхпланового выпуска, т.е. величины -  p_j x_j’.

_n ^j _n

Учитывая, что  a_ij b_j  const, обозначим через b_i ‘  b_i   a_ij b_j

^{j j}

остаток i-го ресурса после строгого выполнения плана. Тогда вся задача сведется к задаче по максимизации прибыли от сверхпланового выпуска продукции за счет свободного остатка ресурсов, которой будет соответствовать модель:

_n

 p_j x_j’ max ;

^j=1

_n

 a_ij x_j’  b_i’ (i = 1,2,...,m);

^j=1

x_j’  0 (j = 1,2,...,n).

По своей записи она точно повторяет первоначальную модель (1.7) - (1.9). Штрихи при символах лишь напоминают о наличии в данном случае “предмодельного”, “дооптимизационно-го” этапа, содержанием которого является прямой счет некоторых расчетных показателей. Здесь мы видим пример того, как двум различным экономическим задачам, т.е. максимизации дохода от использования ресурсов с учетом плановых заданий по выпуску продукции или же при полной свободе выбора плана выпуска, соответствуют однотипные экономико-математические задачи, решаемые по одной и той же оптимизационной модели. Таким образом, самостоятельного значения третья модель не имеет и в ее непосредственном использовании смысла нет.

Введем ограничения по формированию производственной программы в модель, учитывающую наличие разных технологических способов производства одноименной продукции. Тогда ее запись будет выглядеть так:

Условия (1.14) означают, что во всех технологических способах, производящих данную продукцию ее суммарный выпуск должен быть не менее запланированного объема. Один и тот же плановый выпуск продукции в размере b_j может быть получен различными сочетаниями величин x_j^s, т.е. различными вариантами “технологической” структуры выпуска. В данном случае, в отличие от предыдущей постановки задачи упрощение модели невозможно. В задаче (1.12) - (1.15) оптимизируются не только сверхплановые выпуски, но и выпуски в строгом соответствии с заданиями b_j , за счет подбора наиболее выгодных технологий из всех возможных для производства данного вида продукции. Действительно, даже запись условия (1.14) в виде строгого равенства

оставляет свободу выбора величины каждого из слагаемых x_j^s .