2.2.Закрытая и открытая модели

Вернемся к модели (2.1)—(2.3) и подробнее рассмотрим действие основных ограничений (2.2) для ингредиентов различного вида: конечных продуктов, ресурсов, промежуточных продуктов. Для этого дополнительно введем следующие обозначения:

I — множество индексов ингредиентов (iI), (I= I₁I ₂ I₃);

I₁ — множество индексов ингредиентов, являющихся конечными продуктами ( I₁ I);

I₂ — множество индексов ингредиентов, являющихся ресурсами ( I₂ I), ( I₁  I₂= );

I₃ — множество индексов ингредиентов, являющихся промежуточными продуктами ( I₃ I), ( I₃  I₁= ), ( I₃  I₂= );

S — множество индексов всех технологических способов (sS), (S= S_i1  S_{i 2}  S_i3);

S_i1 — множество индексов технологических способов, в которых промежуточный продукт вида i выпускается, ( S_i1  S);

S_i2 — множество индексов технологических способов, в которых промежуточный продукт вида i расходуется, (S_i2  S), ( S_i1  S_i2= );

S_i3 — множество индексов технологических способов, в которых промежуточный продукт вида i не участвует, (S_i3  S), ( S_i3  S_i1= ), ( S_i3  S_i2= ).

С учетом этих дополнительно введенных обозначений распишем основные ограничения (2.2).

Для конечных продуктов получим запись

 a_is x_s  b_i (iI₁),

^sS

где a_is  0 и b_i 0 , и которая обозначает, что суммарный выпуск i-го конечного продукта во всех технологических способах s должен быть не меньше заданного количества b_i .

Для ресурсов, предположив, что все величины a_is и b_i опять положительны (как и в предыдущих моделях, т.е. внеся знак “минус” в саму запись), получим, что основные ограничения (2.2) изменят свой вид и будут выглядеть так

- a_is x_s -b_i (iI₂)

^sS

или

 a_is x_s  b_i (iI₂).

^sS

Это указывает на то, что совокупное использование i-го ресурса не может быть больше, чем наличное количество b_i .

Для промежуточных продуктов запись ограничений (2.2) будет развернута следующим образом:

С учетом того, что для sS_i3 нормы участия a_is =0, а для всех промежуточных продуктов b_i=0, имеем

Нулевая правая часть означает как отсутствие заданий на выпуск промежуточной продукции, так и отсутствие ее запасов и поступлений со стороны.

Представив, что все a_is опять привычно положительны, получим следующую запись:

При равенстве величин суммарного выпуска и общего расхода ограничение выполняется как строгое равенство. При превышении выпуска над расходом возникает некоторый излишек промежуточной продукции сравнительно с собственными нуждами. Он может быть использован либо на продажу, либо как запас (здесь мы выходим за рамки планируемого периода деятельности предприятия). И в том, и в другом случае i-й промежуточный продукт частично приобретает характер конечного продукта.

Для смешанных случаев, когда часть объема какого-либо ингредиента может как получаться со стороны в качестве ресурса, так и отправляться на сторону в качестве конечного продукта, предположив, что все a_is , запись ограничений (2.2) преобразуется следующим образом:

где величины b_i показывают заданные размеры обмена с внешней средой по каждому из ингредиентов i (следовательно, b_i могут принимать положительные, отрицательные и нулевые значения).

При превышении расхода i-го ингредиента над его выпуском величины b_i принимают отрицательные значения, являясь наличным объемом ресурса, поступившего со стороны. При равенстве расхода и выпуска величины b_i становятся нулевыми (случай промежуточного продукта в чистом виде).

Что же будет иметь место в случае превышения суммарного расхода i-го ингредиента над его общим выпуском одновременно с нулевым значением величины b_i (с отсутствием заранее заданных размеров обмена с внешней средой) C экономической точки зрения, это будет означать гипотетический план производства, который может быть реализован лишь при дополнительном поступлении данного ингредиента со стороны в размере этого превышения. Будет это поступление, будет возможен и данный вариант. Если же такое поступление со стороны произвести невозможно, то и нереализуем и данный вариант.

В рамках модели (2.1)—(2.3) возникновение подобного случая невозможно, ибо она является закрытой, ввиду жесткой фиксации размеров обмена с внешней средой, т.е. величин b_i . Иное дело при использовании открытой модели для той же задачи, где известные величины b_i заменяются на переменные y_i . Тогда открытая модель запишется так:

_r

 p_s x_s  max , (2.4)

^{s = 1} _r

 a_is x_s = y_i (i = 1,2,...,m); (2.5)

^{s = 1}

x_s 0 (s = 1,2,...,r); (2.6)

где в зависимости от соотношения расхода и выпуска каждого ингредиента внутри нашего объекта определяется , в каких размерах требуется данный ингредиент реализовать на сторону (как конечный продукт), закупить со стороны (как ресурс) или же ни того, ни другого не требуется (промежуточная продукция).Таким образом, в открытой модели определяются значения переменных величин y_i (размеры обмена с внешней средой). И, наоборот, в зависимости от выгодности или невыгодности (с точки зрения критерия оптимальности) тех или иных значений y_i определяются и величины интенсивности x_s. В открытой модели априорное разделение ингредиентов на конечную продукцию, ресурсы и промежуточную продукцию невозможно.

В случае использования в открытой модели критерия оптимальности в форме максимума прибыли ее количество будет зависеть как от размеров выручки от реализации, зависящей в свою очередь от объемов выпуска конечной продукции, так и от затрат, зависящих в свою очередь от размеров закупки ресурсов со стороны и интенсивностей работы технологических способов.

Обозначим:

p_i — цена i -го ингредиента.

Тогда критерий оптимальности закрытой задачи, оставаясь по своему экономическому смыслу максимумом прибыли, запишется иначе, нежели (2.2), а именно:

_m

 p_i y_i  max.

^{i = 1}

Ингредиенты с нулевыми значениями y_i (чистая промежуточная продукция) на величину прибыли не влияют. Так как все цены положительны ( p_i ), то, в силу наличия и положительных и отрицательных значений y_i , прибыль будет определяться как разность между выручкой от реализации и затратами. Однако такая запись критерия оптимальности справедлива только при исчерпывающем описании в открытой модели всех реально существующих ингредиентов.

Всеобъемлющее представление в задаче всех возможных ресурсов как источников затрат практически невозможно, да и нецелесообразно. Этап моделирования (причем не обязательно математического моделирования) неизбежно предполагает абстрагирование от несущественных и агрегирование представления второстепенных особенностей и сторон моделируемого объекта. Целесообразно часть затрат представлять в критерии пропорционально объему закупок соответствующих ингредиентов, а остальные затраты включать в критерий агрегированно, связав их с технологическим способом, т.е. пропорционально интенсивности его использования. Если ввести c_s — затраты в s-ом технологическом способе при его использовании с единичной интенсивностью, то критерий оптимальности открытой модели основной планово-производственной задачи Канторовича будет выглядеть следующим образом:

_{m r}

 p_i y_i -  с_s x_s  max.

^{i = 1 s = 1}

Если представить, что решение открытой задачи получено и значение величин y_i известно, то известно и сложившееся в данном варианте распределение всех ингредиентов по категориям: конечная продукция, ресурсы, промежуточная продукция; иными словами, распределение всех индексов i по множествам I₁, I₂ и I₃ . Тогда, представив уже известные величины y_i как неотрицательные, получим следующее экономически прозрачное выражение, описывающее полученную прибыль:

где первая сумма есть ни что иное как выручка от реализации, а в круглых скобках представлены совокупные затраты.

На основе закрытой и открытой моделей можно сконструировать и некий гибридный вариант. Однако для этого необходимо обязательно вернуться к исходному предположению, что для решения задачи все ингредиенты жестко разделены на конечную продукцию, ресурсы и промежуточную продукцию.

Модель гибридной задачи будет выглядеть так:

_r

 p_s x_s  max,

_r ^{s = 1}

 a_is x_s  b_i + y_i ‘ (i = 1,2,...,m);

^{s = 1}

x_s 0 (s = 1,2,...,r);

где y_i’ — принимающие любые значения переменные величины, показывающие дополнительные (по сравнению с заранее заданными величинами b_i ) размеры выпуска конечной продукции (или промежуточной продукции в смешанных случаях), либо поступления ресурсов (или промежуточной продукции) со стороны.

Кроме того, следует отметить, что любая из описанных выше моделей основной планово-производственной задачи при необходимости может быть дополнена ограничениями вида

_{— =}

где a_s и a_s — соответственно минимально и максимально возможные значения интенсивности использования s-го техноло-

_{— =}

гического способа; величины a_s и a_s могут быть и нулевыми в случае отсутствия необходимости учета нижней и (или) верхней границ использования той или иной технологии.