11 Взаимное пересечение прямой и плоскости, плоскостей общего положения

В общем случае задачи, связанные с определением результата пересечения линии с поверхностью или двух поверхностей (прямая и плоскость - частные случаи общих понятий линия и поверхность) решаются с помощью вспомогательных секущих поверхностей, чаще всего поверхностей частного положения.

11.1 Пересечение прямой с плоскостью общего положения

Прямая, пересекающая плоскость, имеет с этой плоскостью одну общую точку, которую называют точкой пересечения (встречи) прямой с плоскостью. Задача построения этой точки является одной из основных задач курса. Она входит в решение других более сложных задач, как, например, задачи на пересечение поверхности плоскостью и прямой.

Для нахождения точки К пересечения прямой MN общего положения с плоскостью треугольника АВС (рисунок 66) через прямую проведена плоскость Р, найдена линия пересечения 1-2 плоскостей треугольника АВС и Р, найдена точка К в пересечении линии пересечения 1-2 и прямой MN.

Алгоритм решения задач, связанных с определением точки пересечения прямой с плоскостью общего положения может быть сформулирован следующим образом:

1. Через прямую проводят вспомогательную плоскость частного положения.

2. Определяют проекции линии пересечения заданной и вспомогательной плоскостей.

3. Находят точку пересечения прямой с плоскостью: она расположена в пересечении заданной прямой и линии пересечения плоскостей.

4. Определяется видимость прямой относительно плоскости методом конкурирующих точек.

Рисунок 66 Рисунок 67 Рисунок 68

Пример 1. Определить точку К пересечения прямой MN с плоскостью АВС общего положения (рисунок 67).

Решение:

1. Через прямую MN проведена фронтально-проецирующая плоскость P;

2. Построена линия пересечения плоскости треугольника АВС с плоскостью P (линия 1-2);

3. Найдена точка К в пересечении прямой MN с линией 1-2 пересечения плоскостей;

4. Определена видимость прямой.

Пример 2. Найти точку пересечения прямой а с плоскостью Р (рисунок 68).

Для нахождения искомой точки К через прямую а проведена горизонтально-проецирующая плоскость Г, определена линия пересечения 1-2 плоскостей Р и Г и найдена точка К.

11.2 Пересечение двух плоскостей общего положения

Задачи на определение линии пересечения двух плоскостей общего положения, решаются также с помощью вспомогательных секущих плоскостей.

Если одна из пересекающихся плоскостей задана плоской фигурой, например треугольником, достаточно найти точки пересечения двух каких-либо сторон треугольника со второй плоскостью и, соединив их между собой, получим линию пересечения. Таким образом, решение данной задачи сводится к последовательному решению двух задач (рисунок 62).

На рисунок 69 требуется определить проекции линии пересечения двух плоскостей общего положения Р и Г, следы которых пересекаются в пределах чертежа. Так как, точки пересечения одноименных следов заданных плоскостей являются одновременно одноименными следами M и N искомой линии пересечения. Соединяя одноименные проекции указанных точек между собой, находим горизонтальную и фронтальную проекции линии пересечения.

Рисунок 69 Рисунок 70

Если следы двух плоскостей общего положения не пересекаются в пределах чертежа, линия их пересечения определяется также способом вспомогательных секущих плоскостей.

На рисунке 70 плоскости Р и Г общего положения , а их фронтальные следы Р₂ и Г₂ не пересекаются в пределах чертежа. Требуется определить проекции линии их пересечения.

Для решения этой задачи проведена вспомогательная секущая горизонтальная плоскость R. Она пересечет плоскость Р по горизонтали NK, а плоскость Г по горизонтали LK. Так как найденные линии попарного пересечения плоскостей Р и R, Г и R находятся в одной и той же секущей плоскости R, они пересекаются в точке К, являющейся общей для плоскостей Р, Г и R. Второй общей точкой для плоскостей Р и Г является точка пересечения их горизонтальных следов М. Прямая КМ – искомая линия пересечения заданных плоскостей Р и Г.

Аналогично решается задача по определению проекций линии пересечения плоскостей заданных двумя пересекающимися прямыми а и в, и параллельными прямыми c и d (рисунке 71).

Рисунок 71

С помощью вспомогательных секущих горизонтальных плоскостей R и Q находим горизонтальные проекции 1₁2₁ и 3₁4₁; 5₁6₁ и 7₁8₁ линий их пересечения с заданнными плоскостями, которые , попарно пересекаясь между собой, определят горизонтальные проекции K₁ и F₁ точек K и F. Через них пройдет горизонтальная проекция линии пересечения заданных плоскостей. Фронтальные проекции K₂ и F₂ точек K и F будут на фронтальных следах плоскостей R и Q.