КМ-АХД-краткий конспект лекций

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В АХД

1.Понятие экономико-математического моделирования

2.Классификация ЭММ

3.Этапы ЭММ

4.Элементы системного анализа

Понятие экономико-математического моделирования

Огромный вычислительный потенциал, возможности, которыми обладает современная компьютерная техника и ее математическое обеспечение, используются все еще недостаточно широко. Как правило, компьютеры применяются лишь для проведения бухгалтерских расчетов, ведения справочно-информационных систем и осуществления документооборота. И до сих пор практическое использование компьютерных технологий еще не достигло такого уровня, при котором экономисты, финансисты, руководители могли бы выполнить с помощью компьютера анализ, необходимый при принятии решений; провести сложные аналитические расчеты, связанные с исследованием рынков; имитировать деятельность предприятия с учетом влияния внешних и внутренних факторов; проанализировать возможности разрешения конфликтных ситуаций.

В настоящее время процессы принятия решений в экономике опираются на достаточно широкий круг экономико-математических методов. Ни одно более или менее серьезное решение, затрагивающее управление деятельностью отраслей или предприятий, распределение ресурсов, выбор наилучшего варианта развития, изучение рыночной конъюнктуры, прогнозирование, планирование и т.п., не осуществляется без предварительного математического моделирования конкретного процесса или его частей.

Среди наиболее важных задач, решаемых построением экономикоматематической модели, можно назвать вопросы финансирования и кредитования объектов, составления материальных, трудовых и финансовых балансов, отыскания наилучших способов вложения денежных средств, их движения в процессах производства и воспроизводства.

Моделирование – один из основных методов познания закономерностей самых различных явлений и процессов. В общем случае под моделированием понимается процесс воспроизведения или имитации поведения какой-либо реальной системы на модели этой системы.

Экономико-математическое моделирование тех или иных социальноэкономических объектов может стать эффективным лишь при правильном понимании сущности процессов и явлений, протекающих в моделируемом объекте, применении системного подхода (вначале системного анализа, а затем – системного синтеза модели). Более того, даже при идеальном построении экономико-математической модели ее практическое использование связано с решением конкретных мотивационных, психологических, административных и других проблем.

В этой связи экономико-математическое моделирование требует знания и грамотного применения системного анализа и синтеза объектов, принципов и подходов к принятию решений, информационных систем и ЭВМ.

Понятие системы используется достаточно широко и стало расхожим термином. Он используется всякий раз, когда необходимо описать какое-нибудь сложное явление или объект, обладающий многими составными частями различного назначения, связанными между собой общими законами функционирования. Под системой управления предприятием подразумевается: совокупность лиц и подразделений администрации предприятия; сочетание различных уровней и видов субординации между ними, соответствующих задачам каждого подразделения; структуру информационных связей,

необходимых для функционирования всей системы управления в соответствии с общими целями управления предприятием.

При экономико-математическом моделировании понятие системы имеет более формализованный характер, «очищенный» от содержательных характеристик элементов, отношений порядка и связей между ними.

Элементы системного анализа

Рассмотрим логическую последовательность определений, из которых вытекает понятие системы.

Первым, самым элементарным уровнем описания системы является множество элементов или разнообразие элементов множества, под которым понимается совокупность каких-либо объектов, которые являются составными частями системы.

Если все разнообразие элементов множества упорядочить по каким-либо признакам, например, по решаемым задачам, подчиненности, ответственности и т.п., то получим упорядоченную совокупность элементов множества. Дополнение упорядоченного множества элементов совокупностью связей и взаимосвязей образует некоторую организацию.

Организация – совокупность разнообразных элементов множества, отношений порядка и связей между элементами;

Система – организация, образующая целостное единство и имеющую общую цель функционирования.

Понятия организации и системы относительны, так как элементы и связи между ними могут быть агрегированы в более крупные и расчленены на более мелкие.

Если в системе меняются отношения порядка между элементами или взаимосвязи, то можно сказать, что система поменяла свою структуру. Например, реорганизация предприятия с изменением количества и функций подразделения для более качественной управляемости. Если при этом не поменялась цель управления, то можно говорить об изменении структуры.

Под структурой системы понимается способ ее существования, фиксирующий вполне определенные приоритеты и взаимосвязи ее элементов. Для каждой системы можно построить несколько типов структур.

Понятие структуры используется не только для системы, но и для организации. Структура организации – это способ составления организации и ее элементов.

Под моделью подразумевается отображение каким-либо способом процессов, происходящих в реальном объекте. Если эти процессы описываются с помощью математических символов, формул, теорем, неравенств, то такая модель называется

математической.

Рис. 1 Схема модели

Элементы X1, X2, ..., Xn называются входами системы (входными переменными); Y1, Y2, ..., Ym – выходами системы (выходными переменными), Z1, Z2, ..., Zη характеризуют состояние системы. Индексами α1, α2, …, αk обозначены параметры

системы. Входы и выходы осуществляют связь системы с внешней средой, т.е. другими системами. Элементы Z1, Z2, ..., Zr фиксируют все изменения состояния системы, происходящие за счет поступления входных сигналов и вследствие внутренних процессов, протекающих в ней.

Например, для производственного предприятия в качестве входов системы можно принять следующие переменные: Х1 – поставки сырья и материалов; Х2 – поставки оборудования; Х3 – поток людей, нанимающихся на работу; Х4 – план выпуска продукции и т.д. Состояниями такой системы можно назвать: Z1 – текущее время; Z2 – дефицит оборудования; Z3 – соответствие фактической численности работающих нормативной; Z4

– степень выполнения плана на текущий момент и т.п. Параметры системы α1, α2, …, αk могут характеризовать всевозможные нормы и нормативы, принятые для данного производства. Выходы системы отображают результаты ее функционирования и могут представлять собой следующие величины: Y1 – количество выпущенной продукции, Y2 – ее стоимость; Y3 – производительность труда; Y4 – размер финансового результата и другие показатели деятельности предприятия.

В конкретных моделях систем входы, выходы и состояния связаны между собой как функциональными, так и стохастическими зависимостями. Задавая определенные значения входных сигналов, исходных параметров и зависимости между переменными, при помощи определенных экономико-математических методов осуществляют исследование модели по интересующим показателям.

Последовательность состояний системы в различные моменты времени t1, t2, …, tn называется траекторией ее движения. Траектория системы показывает изменение ее состояний во времени.

Реакция системы на какой-либо входной сигнал или внутренние изменения называется переходным процессом. Система находится в равновесии, если ее состояние остается неизменным неограниченное время, но при этом у системы может быть несколько состояний равновесия. Если система переходит из одного состояния равновесия в другое под действием входных сигналов или внутренних причин, то она называется устойчивой. Как правило, все системы, подлежащие моделированию должны быть устойчивыми.

Под управлением системами будем понимать процесс, ориентирующий некоторую систему на достижение определенной цели.

Понятие управления имеет двоякое содержание: управление как управленческая деятельность и управление как процесс.

Понятие управления как управленческой деятельности состоит в конкретном содержательном отношении субъекта к объекту управления. Так, например, директор предприятия, осуществляя управленческую деятельность, должен хорошо знать экономику, технику, технологию, персонал, ясно представлять стратегические и тактические цели, знать законы и т.п.

Управление как процесс рассматривается независимо от конкретных характеристик объекта и субъекта. В этом случае управление сводится к определению параметров процесса управления и исследованию структурных особенностей процесса, последовательности его этапов. При такой трактовке обычно выделяют управляющую и управляемые системы.

Понятие управления как процесса дает возможность управлять, не познавая полностью объекта управления. Например, можно не зная устройства автомобиля, можно научится им управлять. Здесь устанавливается функциональный подход к управлению. Если управление рассматривается как процесс, то принятие решения сводится к выбору одного из вариантов управления, оптимального, по заранее заданному критерию. Критерий при этом не является предметом принятия решения. При рассмотрении управления как управленческой деятельности субъект управления должен сам вырабатывать критерии и цели управления, корректировать их в процессе управления.

При экономико-математическом моделировании используются оба понятия управления, так как объектами управления являются социально-экономические системы. Однако применение конкретных экономико-математических методов возможно только для объектов, имеющих определенную заранее заданную цель функционирования. Экономико-математическое моделирование не занимается выработкой целей экономических объектов, а определяет наилучшие пути управления системой для достижения заданной цели системы. Таким образом, управление при экономикоматематическом моделировании следует понимать исключительно как управление процессами. Управление в виде управленческой деятельности тоже присутствует в социально-экономических системах, так как они содержат в себе в качестве подсистем коллективы, вырабатывающие определенные цели. Но эти коллективы, или подсистемы субъектов, отражающие объективную реальность и вырабатывающие определенные суждения и цели функционирования социально-экономических систем, базируются в своей деятельности на принципиально иных категориях и поэтому не могут быть полностью формализованы в виде экономико-математических моделей.

Модель социально-экономического объекта, способного вырабатывать и корректировать цели своего функционирования, можно представить как обычную систему с дополнительными управляющими входами (рис.2).

Рис. 2 Модель системы с корректирующими целями

Управляющие входы g1, g2, …, gl предназначены для изменения цели функционирования системы, которое может произойти только из внешней для данной системы среды.

Всякое управление в таких системах осуществляется как информационный процесс: получение, обработка и передача информации. Изменением состояния системы в результате управления происходит на основе получения информации (поступления входных сигналов) и является реакцией на команду, которая вырабатывается в системе после анализа информации, содержащейся во входном сигнале.

Управление системой неразрывно связано с понятием цели управления системой, под которой понимается определенной желаемое значение ее выходов при условии, что они в достаточной мере отражают состояние системы. При моделировании цель системы представляется в виде целевой функции – математического выражения связей входов и выходов системы друг с другом, отражающего поведение системы с точки зрения целевой установки.

Цель системы – идеализированное понятие. Обычно выходные сигналы находятся вблизи целевых значений или колеблются около них. Чтобы оценить степень приближения системы к ее цели, применяют понятие критерия достижения цели

(обычно задается в виде минимума, максимума целевой функции или значений выходов системы).

Построение целевых функций систем является одной из важнейших задач ЭММ. Рассмотрим основные принципиальные положения определения целевых функций систем.

Принцип однозначности требует наличия единственной целевой функции системы (например, частные целевые функции объединяют в одну посредством математической комбинации).

Принцип управляемости выражает необходимость зависимости целевой функции от параметров управления системой (входных сигналов).

Принцип подходящей формы заключается в установлении такой формы целевой функции, при которой она имела бы практический смысл, экстремальность и была бы однозначной.

Классификация ЭММ

Детальная классификация ЭММ по всем возможным основания пока отсутствует, тем не менее, в зависимости от природы объекта, целей, методов и особенностей его понимания ЭММ могут быть классифицированы по целому ряду признаков. Для экономистов особый интерес представляет классификация моделей по характеру их использования: модели без управления, оптимизационные, игровые и имитационные.

ЭММ без управления (дескриптивные модели) представляют в основном статистические модели (кривые роста, регрессионные линии), предназначенные для исследования объектов путем установления количественных соотношений между их характеристика или параметрами. Такие модели позволяют изучать явления в целом, комплексно и устанавливают общие фундаментальные свойства объектов и процессов.

Модели без управления применяют для изучения фактически существующих процессов, без вмешательства в их течение. К ним относят: модели экономики страны, прогнозирования рождаемости, численности населения и т.д. как правило, они дают общее представление об объекте. Процессы в моделируемом объекте отображаются в агрегированном виде и максимально обобщены. Поэтому модели без управления не дают полного представления об объекте моделирования и пригодны для изучения только самых общих изменений и тенденций.

Оптимизационные модели возникли на базе создания специальной науки об управлении – кибернетики, объединившей теорию автоматического управления, теорию информации, теорию систем и некоторые другие научные направления. Использование принципов и идей кибернетики для получения оптимальных решений при управлении производством и экономикой привело к появлению многочисленных экономикоматематических оптимизационных моделей. Варианты планов экономического развития, полученные на основе построения таких моделей, как правило, оказывались лучше интуитивных.

Особенностью этих моделей является целенаправленность решения и явная оценка эффективности (качества) различных вариантов решения. В отличие от моделей без управления оптимизационные модели предполагают выявление цели управления и построения целевой функции.

Суть получения оптимального решения на модели заключается в следующем. Допустим, что известна цель управления (целевая функция), она может быть достигнута при разных значениях параметров данного объекта или различных вариантах решения и имеется возможность оценить эффективность (степень достижения цели) каждого варианта. Тогда получение оптимального решения означает выбор из множества возможных решений одного, обеспечивающего максимальную эффективность.

Существуют ситуации, когда оптимизационные модели не могут быть применены непосредственно. В основном это характерно для случаев, когда система

содержит подсистемы с разными и отчасти противоречивыми целями. Такого рода ситуации разрешаются специальной теорией игр с построением игровых моделей. Теория игр – теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта или неопределенности. Под конфликтом понимается любое разногласие, возникающее вследствие несовпадения интересов.

Применение оптимизационных и игровых моделей в практических задачах встречает затруднение, когда речь заходит о моделировании «больших систем». К ним относятся социально-экономические системы, характеризующиеся большим числом параметров, сложным переплетением интересов, неопределенной структурой и многочисленными целями. Объекты такого типа плохо поддаются формализации и математическому описанию на основе аппарата игровых и оптимизационных моделей. Сложность построения таких моделей заключается прежде всего в трудности постановки или формулировании задачи моделирования, которая требует комплексного системного описания наиболее важных сторон объекта.

Моделирование «больших систем» почти всегда связано либо с неопределенностью критериев, либо с наличием критериев, предъявляющих к решению противоречивые требования, а также с непостоянством критериев.

В этой связи развивается другое направление экономико-математического моделирования – имитационное моделирование.

Этапы ЭММ

Разработка ЭММ представляет собой сложный трудоемкий процесс, состоящий из нескольких этапов: постановки задачи, ее формализации, выбора метода моделирования, построения модели, процесса моделирования, анализа полученного решения и уточнения модели, внедрения модели (решения) в практику.

На этапе постановки задачи осуществляется определение основной цели моделирования объекта, формулируются условия, при которых решается задача. Как правило под целью моделирования понимают исследование одного или нескольких параметров (процессов) моделируемой системы. Данный этап начинается с изучения объекта моделирования, например предприятия, его производственно-хозяйственной деятельности. Анализируя деятельность объекта (предприятия), определяют направления движения потоков информации, их взаимодействие, основные характеристики.

На стадии постановки задачи следует оценить как можно больше различных вариантов цели, критериев моделирования, различных точек зрения на проблему, ради которой строится модель, возможных путей решения, так как впоследствии именно эти действия определят эффективность самой модели.

Постановка задачи заканчивается подробным содержательным описанием объекта моделирования, определением целей моделирования и критериев достижения цели. Нелишне включить в этап и рассмотрение уже решенных аналогичных задач; обзоры по смежным или любым представляющим интерес для данной работы вопросам; проблемы, которые на данной стадии исследования не могут быть решены.

Под формализацией задачи понимают введение в содержательное описание математических символов и обозначений, математическую запись целей моделирования.

На стадии формализации обычно высказываются соображения о том, какой метод моделирования можно применить для достижения поставленной цели. Таким образом приступают к следующему этапу – выбору метода моделирования. Иногда одну и ту же задачу можно решить разными способами, например, построить детерминированную модель, вероятностную или имитационную. В этом случае все возможные варианты модели следует тщательно проанализировать, определить желаемую точность решения, соизмерить ее с усилиями, требующимися для реализации модели каждым конкретным

способом. Если предполагаемая точность моделей примерно одинакова, то лучше выбрать простейшую из них.

Сложные модели обычно решают на ЭВМ, поэтому при выборе метода моделирования следует учитывать возможности имеющейся ЭВМ, объем ее памяти, быстродействие, язык программирования, наличие квалифицированных программистов, требуемое время.

Процесс построения модели заключается в окончательном установлении ее структуры, переменных, точном определении целевых установок (целевых функций) и критериев достижения целей. Выбирается окончательный вариант модели, который подготавливается для последующего программирования. Программированием модели входит в этап ее построения и должно осуществляться в контакте с ее разработчиками. В процессе программирования возможны небольшие изменения схемы моделирования, если таковые упрощают процесс и не нарушают установленной схемы функционирования модели. По завершении стадии программирования модель, записанная в виде программы на ЭВМ, проходит отладку и проверку.

Процесс моделирования предполагает наличие двух составляющих: полностью отлаженной программы модели и комплекта исходных данных. Вначале осуществляется экспериментальное моделирование. После получения первых результатов и накопления необходимого минимума экспериментальной информации, получаемой с использованием модели, проводится детальный анализ результатов моделирования. Такой анализ еще не является конечным и предназначен для проверки соответствия объекта моделирования и модели. Результаты анализа должна изучить экспертная комиссия, составленная из разработчиков модели и представителей заказчика.

Анализ результатов экспериментального моделирования необходим для выявления основных параметров модели, каких-либо упущений. Слабых сторон, проверки ее на точность. По результатам анализа модель может потребовать доработки, после которой вновь анализируют полученные результаты, экспертная комиссия дает заключение о качестве модели и возможности ее практического использования. При положительном заключении комиссии осуществляется процесс моделирования и внедрения модели.

Внедрение моделей или использование решений, полученных в результате моделирования, требует значительного внимания со стороны руководителя организации, так как несмотря на выгоды от их использования, они зачастую сложны для понимания и поэтому не сразу признаются. Внедрение модели должно осуществляться по плану, систематически, при постоянном контроле всех этапов внедрения.

Рекомендуемая литература

1.Калашников В.В. Организация моделирования сложных систем. - М.: Высшая школа, 1990.

2.Кобелев Н.Б. Практика применения экономико-математических методов и моделей/ Учеб.-практ.пособие. – М.: ЗАО «Финстатистинформ», 2000.- 246 с., с.3132).

3.Лукасевич И.Я. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника вычислений. – М.: Финансы, ИНИТИ, 1998

4.Ричард Томас. Количественные методы анализа хозяйственной деятельности/Пер. с англ. –М.: Издательство «Дело и Сервис», 1999.

5.Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. - М.: Высшая школа, 1998.

6.Таха Х. Введение в исследование операций: В 2-х книгах. Пер. с англ. – М.: Мир,

1985.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Идея математического программирования

При решении сравнительно большого класса задач по определению оптимального использования и распределения ресурсов применяют методы математического программирования.

Это название (Mathematical Programming) возникло раньше, чем вошли в обиход вычислительные машины и программы для них, так что слова «программирование» в сочетаниях «математическое программирование» и «программирование на алгоритмических языках» являются омонимами. Programming по-английски означает скорее «планирование», но неточный перевод уже установился в терминологии.

Математическое программирование выделилось в отдельную науку и включает в себя ряд разделов:

1.линейное программирование

2.нелинейное программирование

3.целочисленное программирование

4.динамическое программирование

5.выпуклое программирование

Серьезные исследования задач этого класса принадлежат русскому ученому, лауреату Нобелевской премии Л.В.Канторовичу. В 1949 (совместно с М.К. Гаврушиным) он разработал метод потенциалов для решения транспортной задачи.

Классический подход к задачам математического программирования предполагает предварительную процедуру постановки задачи. Она включает:

1.определение переменных

2.задание целевой функции

3.определение ограничений

Целевая функция имеет четко выраженный критерий оптимизации – минимум или максимум целевой функции.

В зависимости от вида целевой функции и функций ограничений и проводится классификация задач математического программирования.

Рассмотрим несколько типовых задач математического программирования и сформулируем постановку задачи.

Задача оптимального производственного плана

Рассмотрим следующую экономическую ситуацию, получившую название задачи производственного планирования. Определим эту ситуацию применительно к предприятию, планирующему свою производственную программу на определенный промежуток времени, например, год.

Из технологических соображений известен перечень продуктов, которые предприятие может потенциально производить без дополнительных капиталовложений. Кроме того, известны вид и количество ресурсов (рабочая сила в человеко-днях, производственные мощности в станко-часах, различные виды сырья и т.п.), отпущенных предприятию для производственного потребления. При формировании производственного плана надо учитывать, что в процессе его реализации нельзя выходить за пределы имеющихся лимитов.

Известна также структура материальных затрат и доходов. Первые задаются в виде коэффициентов удельных затрат ресурсов, т.е. чисел, которые показывают, какое количество ресурса того или иного вида расходуется на производство единицы каждого из производимых продуктов, вторые – в виде показателя, определяющего величину прибыли, которую предприятие получит, выпустив единицу того или иного продукта.

Цель – выбор такого плана производства, который обеспечивал получение максимальной прибыли.

Многие моменты, например, как будет протекать во времени процесс выполнения плана производства, не вошли в модель. Поэтому ограничиваемся только эффективностью использования ресурсов в производственном процессе.

Перейдем к математической модели рассматриваемой ситуации. Пусть предприятие потенциально может производить n различных продуктов. Количество j-го продукта обозначим xj. В этом случае план производства состоит из n компонент X=(x1, x2,

…, xn).

Предположим, что предприятие располагает m видами различных ресурсов. Количество ресурса i-го вида, определенное предприятию для потребления в производственном процессе bi.

Теперь опишем структуру затрат и прибылей, связанных с производством j-го продукта. Начнем с затрат. Обозначим количество i-го ресурса, расходуемого на производство единицы j-го продукта как aij. Например, затраты всех ресурсов на производство первого вида продукции – A1 = (a11, a21, … am1).

Прибыль, которую предприятие получит на производстве единицы продукции j- го вида, обозначим через cj, j=1,2,…,n.

Затраты произвольного i-го ресурса, связанные с реализацией плана производства будут описываться выражением

а требования уложиться при любом плане производства в лимит отпущенных ресурсов можно записать соотношением:

n

aij x j bi j 1

Прибыль, получаемая при реализации плана производства будет определяться как сумма

n

c1 x1 c2 x2 ... cn xn c j x j f (x) max

j 1

Все полученные выражения носят линейный характер. Таким образом, получили задачу линейного программирования с максимизацией целевой функции.

Задача динамического программирования (задача о замене оборудования)

Рассмотрим задачу о замене оборудования.

Предположим, что в течение периода, состоящего из n-этапов, предприятие должно производить изделие на оборудовании, комплект которого вместе с установкой стоит Z ед. Со временем оборудование изнашивается: стоимость c(t) продукции, которую можно получить в продолжении каждого этапа (месяца, года) снижается, если растет возраст t оборудования, а также увеличиваются затраты на обслуживание и ремонт r(t). Требуется определить те момент, в которые следует заменять старый комплект оборудования на новый, чтобы прибыль от производства была максимальной. Под прибылью имеется в виду суммарная стоимость выпущенной продукции – стоимость обслуживания и ремонта или замены оборудования. Предполагается, что в начальный момент времени установлено новое оборудование, и что возраст оборудования, которое останется после окончания периода из n-этапов, роли не играет.

Обозначим моменты начала каждого этапа через T0, T1, …, Tn-1; момент завершения периода Tn. Тогда на каждом этапе мы можем выбрать одно из двух возможных управлений: U(1) – сохранить уже установленное оборудование и продолжить выпускать на нем продукцию, или U(2) – заменить оборудование. Состояние процесса на каждом этапе Tk (k=1,2,…, n-1) характеризуется возрастом Ski оборудования,

Количественные метолы АХД стр. 10 из 55

эксплуатируемого к началу данного этапа. Ski=t, если перед моментом Tk оборудование имело возраст t=i.

Прибыль fk, получаемая на k-м этапе, зависит от состояния оборудования Ski и сделанного выбора Uk:

Очевидно, что суммарная прибыль f, которую требуется максимизировать, равна сумме прибылей на каждом из этапов производства:

n 1

f fk (Ski ;U k ) max

k 0

т.е. f – суммарный (аддитивный) критерий процесса.

Целью исследования процесса является поиск такого набора управлений U=(U0, U1, …, Un-1), чтобы величина f приняла оптимальное значение.

Задача целочисленного программирования (задача о рюкзаке)

Имеется n предметов, которые турист хочет уложить в рюкзак, собираясь в поход. Однако известно, что он сможет унести не более P кг веса, а рюкзак вмещает не более V дм3 вещей по объему. Веса предметов известны: P1, P2,… Pn. Известны также и их объемы - V1, V2,… Vn. С точки зрения туриста, полезность предметов в походе различна и ее можно выразить в некоторых условных единицах полезности: С1, С2,… Сn – полезность предметов П1, П2,… Пn, соответственно. Турист хочет положить в рюкзак такой набор вещей, который удовлетворял бы ограничениям по весу и объему и имел бы наибольшую полезность.

Составим математическую модель этой задачи. Сопоставим каждому предмету Пj значение xj=0, если этот предмет не кладут в рюкзак и xj=1, если Пj кладут в рюкзак. Таким образом, значение каждой переменной xj принадлежит двухэлементному множеству xj={0; 1}. В этом множестве наборы элементов x={x1, x2, … xn}. Всего таких наборов 2n штук. Полезность всего содержимого рюкзака равна

f (x) c1 x1 c2 x2 ... cn xn max

Если i-й предмет не кладут в рюкзак ci умножается на 0.

Ограничения по весу и объему можно выразить следующими неравентсвами:

Это задача целочисленного линейного программирования.

Транспортная задача

Такая задача связана с анализом доставки товаров от разных источников по различным направлениям. Так, у предприятия может иметься несколько складов, предназначенных для отправки товаров в различные географические районы. В этом случае необходимо принять решение относительно оптимального способа передвижения этих товаров, с тем, чтобы минимизировать затраты либо время на перевозку и задействованные при этом ресурсы.

В качестве ограничений выступают потребности пунктов назначения и возможность пунктов отправки. Целевая функция – функция минимизации затрат.

Итак, в m пунктах производится однородный продукт, например, цемент, в количествах a1, a2, …, am (ai – количество продукта, производимого в пункте i, i=1,2,…,m). В n-пунктах имеется потребность в этом продукте, которая равна соответственно b1, b2, …,