75

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Новгородский Государственный университет им. Ярослава Мудрого

________________________________________________________________

Кафедра начертательной геометрии и компьютерной графики

Конспект лекций

по начертательной геометрии

Учебное пособие

Великий Новгород

2007

УДК 744

Печатается по решению РИС НовГУ

Рецензент:

д.т.н., профессор С.А. Попов

Конспект лекций по начертательной геометрии: Учебное пособие / Автор-составитель Г.П. Пономарева.– НовГУ имени Ярослава Мудрого.- Великий Новгород, 2007.– 73 с.

Учебное пособие по начертательной геометрии содержит основной материал, необходимый для изучения дисциплины и может использоваться студентами в качестве конспекта лекций, дополняемого индивидуальными пометками и пояснениями.

Новгородский государственный университет, 2007

 Пономарева Г.П., 2007

Содержание

5

ВВЕДЕНИЕ 7

1 МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ 8

2 АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ 10

2.1 Прямоугольные проекции 11

2.2Косоугольные проекции 12

3 ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ 15

3.1 Проекции точки на две и три плоскости проекций 15

4ПРЯМЫЕ ЛИНИИ 17

4.1 Прямая общего положения 17

4.2Прямые уровня 18

4.3 Проецирующие прямые 19

4.4 Следы прямой 20

5 ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ 21

6 ПРОЕЦИРОВАНИЕ ПРЯМОГО УГЛА 24

7 ПЛОСКОСТЬ 25

7.1 Способы задания плоскости 25

7.2 Плоскости общего и частного положения 26

8 ПРЯМАЯ И ТОЧКА, ПРИНАДЛЕЖАЩИЕ ПЛОСКОСТИ 29

9 ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ПЛОСКОСТЕЙ 32

9.1 Параллельность прямой и плоскости 32

9.2 Параллельность плоскостей 32

10 ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ 33

10.1 Пересечение прямой линии с плоскостью частного положения 33

10.2 Пересечение плоскостей общего и частного положения 34

11 ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ПЛОСКОСТЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ 35

11.1 Пересечение прямой с плоскостью общего положения 35

11.2 Пересечение двух плоскостей общего положения 36

12 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. 38

13 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ 39

14 МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА 40

14.1 Метод замены плоскостей проекций 40

14.2 Метод вращения 42

14.3 Вращение без указания осей (плоско-параллельное перемещение) 45

14.4 Вращение плоскости вокруг следов (cпособ совмещения) 46

15 КРИВЫЕ ЛИНИИ 47

16 ПОВЕРХНОСТИ. 48

16.1Линейчатые развертываемые поверхности 49

16.2Нелинейчатые поверхности 51

16.3 Поверхности вращения 51

16.4 Точка на поверхности 52

17 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ 54

18 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ 59

18.1 Частные случаи 59

18.2 Общие случаи 61

19 РАЗВЕРТКА ПОВЕРХНОСТИ 63

20 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ 68

20.1 Взаимное пересечение поверхностей многогранников 68

20.2 Пересечение поверхностей вращения 71

Предлагаемое учебное пособие по начертательной геометрии содержит основной материал, необходимый для изучения дисциплины и может использоваться студентами в качестве конспекта лекций, дополняемого индивидуальными пометками и пояснениями.

В конспекте используется система обозначений.

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Знаки геометрические

Знаки, обозначающие геометрические фигуры:

• Ф. (фи - прописная буква греческого алфавита) - геометрическая фигура.

• А, В, С,... или 1, 2, 3,... (прописные буквы латинского алфавита или арабские цифры) - точки пространства.

• а, b, с, ... (строчные буквы латинского алфавита) - прямые или кривые линии пространства.

• (АВ) - прямая, проходящая через точки А и В.

• [АВ) - луч с началом в точке А.

• [АВ] - отрезок прямой, ограниченный точками А и В.

• /АВ/ - длина отрезка [АВ], расстояние от точки А до точки В.

• /А,а/ - расстояние от точки А до прямой а.

• /А,Г/ - расстояние от точки А до плоскости Г.

• Г (гамма), (дельта), (ламбда), (сигма), (пси) и другие - (прописные буквы греческого алфавита) - поверхности.

• <ABC или , , , строчные буквы греческого алфавита - углы.

• АВС - величина угла в градусах.

• П₁ - горизонтальная плоскость проекций,

• П₂ - фронтальная плоскость проекций,

• П₃ - профильная плоскость проекций,

• П₄, П₅,... - остальные плоскости проекций.

• А₁, А₂, А₃ - проекции точки. А (горизонтальная, фронтальная, профильная ).

• l₁, 1₂, 1₃ - проекции линии 1 (горизонтальная, фронтальная, профильная).

• Г₁(А₁,В₁,С₁,), Г₂(А₂,В₂,С₂), Г₃(А₃,В₃,С₃) - проекции плоскости Г(АВС), проходящей через точки А, В и С (горизонтальная, фронтальная, профильная).

• А - бесконечно удаленная точка,

• a - бесконечно удаленная прямая,

• Г - бесконечно удаленная плоскость.

Знаки, обозначающие отношения между геометрическими фигурами:

• // - параллельность двух геометрических фигур,

• - перпендикулярность,

• - скрещивающиеся прямые,

• - пересечение геометрических фигур (множеств),

• = - равны, совпадают или результат пересечения геометрических фигур,

• - конгруэнтность.

Знаки, обозначающие геометрические преобразования:

• - отображается.

• - принадлежность, например:

• а) A l - точка А принадлежит прямой l,

• б) b M - прямая b проходит через точку М или прямая b содержит точку М,

• в) - не принадлежит.

• - включение (являются частью, подмножеством, содержится в..., включает, содержит в себе).

• Например:

• а) a Г - прямая а принадлежит плоскости Г (понимается в смысле: множество точек прямой а есть подмножество множества всех точек плоскости Г),

• б) Г a- плоскость Г проходит через прямую а или плоскость Г содержит прямую а.

• - объединение множеств, например:

• ABCD = [AB] [BC] [CD] - ломаная линия есть объединение отрезков.

• - пересечение множеств, например: b = Г - прямая b есть пересечение и Г.

Введение

Начертательная геометрия – это наука, в которой пространственные геометрические объекты изучаются по их изображениям, выполненным на плоскости. Объектами изучения предмета являются точки, линии, поверхности, тела и их взаимное положение. Среди фундаментальных дисциплин, составляющих основу инженерного образования, начертательная геометрия находит применение во всех сферах научно-технического творчества, живописи, архитектуре и строительстве. Она развивает пространственное воображение и логику мышления, помогает восприятию других инженерных дисциплин.

Образно и точно о значении начертательной геометрии сказал один из ее основоположников, профессор В. И. Курдюмов: “Если чертеж является языком техника, одинаково понятным всем народам, то начертательная геометрия служит грамматикой этого мирового языка, так как она учит нас правильно читать чужие и излагать наши собственные мысли, пользуясь в качестве слов одними только линиями и точками, как элементами всякого изображения”.

В основе правил построения изображений, рассматриваемых в начертательной геометрии и применяемых в техническом черчении, лежит метод проекций. Изучение его начинают с построения проекции точки, так как при построении изображения любой пространственной формы объекта рассматривается ряд точек, принадлежащих этой форме. Проекцией фигуры называется совокупность проекций всех ее точек.

1 Методы проецирования

Различают два основных метода проецирования предметов : метод центрального проецирования (рисунок 1) и метод параллельного проецирования (рисунок 3).

При центральном проецировании все проецирующие лучи проходят через одну общую точку S-центр проекций.

При параллельном проецировании проецирующие лучи параллельны между собой.

Для построения центральной проекции любой точки (А, С, В) на плоскость проекций Р, через центр проецирования S и точки (А, В, С) проводятся проецирующие лучи до Рисунок 1

пересечения с плоскостью Р.

Простейшие и наиболее распространенные примеры центральных проекций - фотография, кинопроекция, телевизионное и компьютерное изображение. Этот метод применяется в живописи и архитектуре. В машиностроительном черчении применяется метод параллельного проецирования. Он рассматривается как частный случай центрального проецирования, когда центр проекций S удален в бесконечность.

При параллельном проецировании принято показывать направление проецирования S и проецирующие лучи проводить параллельно этому направлению (рисунок 3) до пересечения с плоскостью проекций Р.

Следовательно, параллельной проекцией точки (прямой) называется точка (прямая) пересечения проецирующего луча, проведённого параллельно заданному направлению, с плоскостью проекций. Если направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то проекции называют прямоугольными или ортогональными (рисунок 3), в остальных случаях – косоугольными (рисунок 2).

Рисунок 2 Рисунок 3

Свойства параллельного проецирования

1. точка на плоскость проекций проецируется в точку (рисунок 3);

2. прямая линия проецируется в виде прямой (рисунок 4);

3. каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией множества точек в пространстве, если они расположены на одной проецирующей прямой;

4. каждая линия на плоскости проекций может быть проекцией множества линий, если они расположены в общей для них проецирующей плоскости. Для единственного решения необходимы дополнительные условия;

5. для построения проекции прямой достаточно спроецировать две ее точки и через полученные проекции этих точек провести прямую линию;

6. если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции этой прямой (рисунок 5);

7. если прямая параллельна направлению проецирования, то проекцией прямой является точка;

8. отрезок прямой линии, параллельной плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в натуральную свою величину (рисунок 5);

9. отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций (рис.4), т.е. АС/СВ=А₁С₁/С₁В₁.

Рисунок 4 Рисунок 5

Метод прямоугольного параллельного проецирования был изложен впервые французским ученым Г.Монжем и называется методом Монжа.

Сущность метода заключается в том, что объект проецируется ортогонально как минимум на две перпендикулярные плоскости проекций. Полученные проекции совмещаются с плоскостью чертежа. Чертеж, полученный этим методом, называется комплексным ортогональным чертежом.