9 Взаимное положение прямой и плоскости, плоскостей

Прямая и плоскость, две плоскости, могут быть параллельны, могут пересекаться под любым углом и прямая может принадлежать плоскости (рассмотрено ранее).

9.1 Параллельность прямой и плоскости

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.

Предположим, через заданную точку К нужно провести прямую, параллельную плоскости Р(АВС) (рисунок.59)

Рисунок 59 Рисунок 59а

Через точку К можно провести множество прямых параллельных заданной плоскости. В плоскости Р (Р₁Р₂) введена прямая MN и параллельно ей проведена прямая а (рисунок 59). В плоскости Р(АВС) проведена произвольная прямая EF и затем через точку К проведена прямая MN параллельно прямой EF ( рисунок 59а) E₁F₁//M₁N₁ и E₂F₂//M₂N₂). Вместо прямой EF, лежащей в плоскости, можно взять любую из сторон треугольника. Например, АВ. Тогда через точку К можно провести прямую DL//AB. (D₁L₁//A₁B₁ и D₂L₂//A₂B₂).

9.2 Параллельность плоскостей

Две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Если параллельные плоскости заданы следами, их одноименные следы параллельны, т.к.следы плоскости можно рассматривать как пересекающиеся прямые: P₂//Г₂ и P₁//Г₁ (рисунок 60).

На рисунке 60а заданы две плоскости пересекающимися прямыми, причем пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны пересекающимся прямым второй плоскости: АВ//ML и BC//MN. Следовательно, эти плоскости параллельны.

Рисунок 60 Рисунок 60а

10 Взаимное пересечение прямой и плоскости, двух плоскостей

10.1 Пересечение прямой линии с плоскостью частного положения

Одна из проекций любой точки, линия или плоской фигуры, лежащей в проецирующей плоскости, то одна из ее проекций лежит на соответствующем следе плоскости. На рисунках 61 и 62 плоскости Р(Р₁, Р₂) и АВС являются горизонтально – проецирующими.

Поэтому, горизонтальные проекции искомых точек пересечения К прямой DЕ с плоскостью Р (Р₁; Р₂) находятся на горизонтальном следе плоскости Р и с плоскостью АВС на горизонтальной проекции треугольника АВС. Их фронтальные проекции определяются из условия принадлежности этих точек прямым ДЕ. Видимость прямой ДЕ относительно плоскостей Р и АВС определяется с помощью конкурирующих точек.

Рисунок 61 Рисунок 62

10.2 Пересечение плоскостей общего и частного положения

Линией пересечения двух плоскостей является прямая, принадлежащая одновременно обеим пересекающимся плоскостям (рисунки 63 и 64). Так же, как и точка пересечения прямой с проецирующей плоскостью, линия пересечения плоскости общего положения с проецирующей плоскостью будет иметь одну из своих проекций на соответствующем следе проецирующей плоскости.

Рисунок 63 Рисунок 64 Рисунок 65

На рисунках 63 и 64 плоскости общего положения АВС и Р пересекаются с фронтально-проецирующей плоскостью Г. Линия пересечения плоскости АВС с плоскостью Г (рисунок 63) проецируется на плоскость П₂ на фронтальный след плоскости Г и определяется точками 1(1₂) и 2(2₂) . Горизонтальная проекция линии пересечения находится из условия принадлежности точек 1 и 2 соответствующим сторонам треугольника АВС. Аналогично находятся проекции линии пересечения двух плоскостей, заданных следами (рисунок 64). Ее фронтальная проекция совпадает с фронтальным следом Г₂ фронтально-проецирующей плоскости Г и определяется проекциями N₂ и М₂. Точка N (пересечения фронтальных следов заданных плоскостей) является одновременно фронтальным следом линии пересечения и имеет горизонтальную проекцию N₁ на оси Х. Горизонтальная проекция точки М находится из условия ее принадлежности плоскости Р и является горизонтальным следом линии пересечения плоскостей Р и Г. Ее фронтальная проекция М₂ лежит на оси Х.

На рисунке 65 показано пересечение двух плоскостей, одна из которых Р -общего положения, вторая Г-плоскость уровня, горизонтальная плоскость. Любая прямая линия, лежащая в горизонтальной плоскости Г, является горизонталью. Значит, линия пересечения плоскостей тоже горизонталь. Точка 1 принадлежит обеим плоскостям и определяется пересечением их фронтальных следов. Следовательно, линия пересечения является горизонталью плоскости Р. Ее горизонтальная проекция параллельна горизонтальному следу Р₁.и проходит через общую точку 1.