Тема 6. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Опр. частной производной функции двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю ( если этот предел существует ).

Z= lim = lim

Z= lim = lim

Из данного определения частной производной следует, что для нахождения производной Z(х,у) надо считать постоянной переменную у, а для нахождения Z(х,у) - переменную х. При этом сохраняются все известные формулы и правила дифференцирования для функции одной переменной.

C-2-1

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=6y-x²-2x-3

2. z=

C-2-2

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=8y³-6xy+x

2. z=

C-2-3

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=x³-2xy+8y³

2. z=

C-2-4

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=y²-x²+xy

2. z=

C-2-5

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=x²y³+x³y

2. z=x²℮^xy

C-2-6

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=2xy-4x²+2y

2. z=xlny

C-2-7

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=2x³-xy²-6

2. z=ln(x²+y²)

C-2-8

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=7xy-x²-y²

2. z=℮^x(x+y²)

C-2-9

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=y-y²+x²-3x

2. 

C-2-10

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=4y²+x²-2x-y

2. z=ylnx

C-2-11

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=5x²-xy+y-2

2. 

C-2-12

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=x²+xy+y²-2x

2. 

C-2-13

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=y-x²-2x-1

2. z=

C-2-14

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=6y³-3xy+x

2. z=e

C-2-15

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=x³+xy+8y³

2. z=

C-2-16

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=3y²-x²+xy

2. z=

C-2-17

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=x²y³+4x³y

2. z=x²℮^x(y-2)

C-2-18

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=xy-4x²+2y

3. z=xln(у+1)

C-2-19

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=2x³-xy²-4

2. z=ln(x²+4y²)

C-2-20

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=5xy-x²-y²

2. z=℮^x(3x+y²)

C-2-21

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=2y-y²+x²-x

2. 

C-2-22

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=3y²+x²-2x-3y

2. z=(y+8)lnx

C-2-23

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=5x²-xy+y-5

2. 

C-2-24

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=x²+xy+2y²-2x

2. 

C-2-25

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=6y-6x²-2x-3

2. z=

C-2-26

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=8y³-6xy+9x

2. z=е

C-2-27

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=4x³-2xy+8y³

2. z=

C-2-28

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=y²-x²+9xy

2. z=

C-2-29

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=4x²y³+3x³y

2. z=(3-x)²℮^xy

C-2-30

Найти частные производные 1^го и 2^го порядка от функций:

1. z=12xy-4x²+12y

2. z=xln(y-1)

Экстремум функции двух переменных.

Опр.точка М(х,у) называется точкой максимума (минимума) функции Z=f(x,y),если существует окрестность точки М , такая что для всех точек (х,у) из этой окрестности выполняется неравенство f(x,y) ≥ f(x,y) или f(x,y) ≤ f(x,y)

Теорема:(необходимое условие существования экстремума). Пусть точка (х,у) – есть точка экстремума дифференцируемой функции Z=f(x,y). Тогда частные производные f(x,у) и f(x,у) в этой точке равны нулю.

Теорема:(достаточное условие экстремума функции двух переменных).

Пусть функция Z=f(x,y) : а) определена в некоторой окрестности критической точки (х,у) , в которой f(x,у)=0 и f(x,у)=0;

б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка f( x,у)=А; f (x,у)=В; f(x,у)=С. Тогда, если ∆=АС-В, то в точке (x,у) функция Z=f(x,y) имеет экстремум, причем если А‹0 – максимум, если А› 0 – минимум. В случае ∆=АС-В‹0,то функция Z=f(x,y) экстремума не имеет. Если ∆=АС-В=0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Алгоритм нахождения экстремума:

1. Найти частные производные функции fи f.

2. Решить систему уравнений f=0 и f=0 и найти критические точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Найти экстремумы ( экстремальные значения ) функции.

C-3

Найти экстремум функции 2^х переменных:

1. Z=y²+x²+xy-2x-6y 2. Z=x³+8y³-6ху

3. Z=2x³-xy²+5x²+y² 4. Z=xy-x²-y²+6y+x

5. Z= x³-y³ +xy 6. Z=x²+xy+y²-2x+3y

7. Z= x³+ y³-3xу 8. Z=x³+3x²+3x+y²-3xy-3y

9. Z=℮^x(x+y²) 10. Z=4xy-x²-5y²+4y+5x-6

11. Z=ln(4-x²-y²) 12.

13. Z=y²+x²+xy-x-3y 14. Z=x³+2y³-6xy+1

15. Z=x³-xy²+5x+y² 16. Z=xy-x²-y²+y+x

17. Z= 2x³-2y³ +6xy 18. Z=x²+xy+y²-x+y

19. Z= x³+ y³-xy 20. Z=x³+2x²+x+y²-xy-y

21. Z=℮^x(x-y²) 22. Z=4xy-x²-5y²+4y+5x-1

23. Z=ln(9-x²-y²) 24.

25. Z=2y²+x²+xy-x-6y 26. Z=x³+4y³-6xy+1

27. Z=2x³-xy²+x²+y² 28. Z=xy-x²-y²+6y+2x

29. Z= x³-y³ +6xy 30. Z=x²+xy+y²-x-y

Система нормальных уравнений метода наименьших квадратов.

()а + ()b =

()a + nb =

С-4

Найти методом наименьших квадратов эмпирическую функцию спроса на товар в виде y=ax+b . Построить график полученной функции. Сделать вывод с экономической точки зрения.

Вариант 1

x	1	2	3	4	5	6
y	8,9	8,7	5,2	5,3	5,1	4,7

Вариант 2

x	1	2	3	4	5	6
y	13,5	13,9	10,4	10,7	8,3	8,3

Вариант 3

x	1	2	3	4	5	6
y	18,3	20,6	15,3	16,3	14,9	14,1

Вариант 4

x	1	2	3	4	5	6
y	23	20,6	21,5	21,7	20,7	17,5

Вариант 5

x	1	2	3	4	5	6
y	28,9	27,2	27,9	25,6	23,8	23,1

Вариант 6

x	1	2	3	4	5	6
y	9,5	7,7	6,7	8,8	7,4	5,5

Вариант 7

x	1	2	3	4	5	6
y	15,2	13,1	12,4	13,4	11,3	10,7

Вариант 8

x	1	2	3	4	5	6
y	20,7	19	18,1	18,3	14,4	16,1

Вариант 9

x	1	2	3	4	5	6
y	6,9	5,9	5,4	6,1	7	7,2

Вариант 10

x	1	2	3	4	5	6
y	5,7	6,7	5,2	6,1	7,1	7

Вариант 11

x	1	2	3	4	5	6
y	10,1	11,4	10,9	11,9	12,3	12,7

Вариант 12

x	1	2	3	4	5	6
y	15,1	13,7	14	14,3	13,9	15

Вариант 13

x	1	2	3	4	5	6
y	9,9	9,7	6,2	6,3	6,1	5,7

Вариант 14

x	1	2	3	4	5	6
y	12,5	12,9	9,4	9,7	7,3	7,3

Вариант 15

x	1	2	3	4	5	6
y	17,3	19,6	14,3	15,3	13,9	13,1

Вариант 16

x	1	2	3	4	5	6
y	22	19,6	20,5	20,7	19,7	16,5

Вариант 17

x	1	2	3	4	5	6
y	27,9	26,2	26,9	24,6	22,8	22,1

Вариант 18

x	1	2	3	4	5	6
y	8,5	6,7	5,7	7,8	6,4	4,5

Вариант 19

x	1	2	3	4	5	6
y	14,2	12,1	11,4	12,4	10,3	9,7

Вариант 20

x	1	2	3	4	5	6
y	19,7	18	17,1	17,3	13,4	15,1

Вариант 21

x	1	2	3	4	5	6
y	5,9	4,9	4,4	5,1	6	6,2

Вариант 22

x	1	2	3	4	5	6
y	4,7	5,7	4,2	5,1	6,1	6

Вариант 23

x	1	2	3	4	5	6
y	9,1	10,4	9,9	10,9	11,3	11,7

Вариант 24

x	1	2	3	4	5	6
y	14,1	12,7	13	13,3	12,9	14

Вариант 25

x	1	2	3	4	5	6
y	7,9	7,7	4,2	4,3	4,1	3,7

Вариант 26

x	1	2	3	4	5	6
y	14,5	14,9	11,4	11,7	9,3	9,3

Вариант 27

x	1	2	3	4	5	6
y	19,3	21,6	16,3	17,3	15,9	15,1

Вариант 28

x	1	2	3	4	5	6
y	24	21,6	22,5	22,7	21,7	18,5

Вариант 29

x	1	2	3	4	5	6
y	29,9	28,2	28,9	26,6	24,8	24,1

Вариант 30

x	1	2	3	4	5	6
y	10,5	8,7	7,7	9,8	8,4	6,5