3). Интегрирование рациональных функций
Рациональной функцией R(x), называется функция, равная отношению двух многочленов:
где m, n – целые положительные числа, bi, aj – вещественные числа, (i=0,…,m; j=0,…,n).
Если m<n, то R(x) называется правильной дробью, если m≥n неправильной дробью.
Всякую неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби:
где
-
многочлены;
-
правильная дробь; l<n.
Пример
1.
Рациональная
функция
является
неправильной
дробью. Разделив ее числитель на
знаменатель (по правилу деления
многочленов), получим
Так как всякий многочлен легко интегрируется, то интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию правильных дробей.
Простейшей дробью называется дробь одного из четырех типов:
где А, а, М, N, р, q - вещественные числа, k - натуральное число (k≥2); p2-4q<0.
Теорема. Всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших рациональных пробей.
Пример
2.
Найти
.
Разложим правильную рациональную дробь, стоящую под знаком интеграла, на сумму простейших
(1)
Для того чтобы определить коэффициенты А, В и С, приведем дроби, стоящие в правой части равенства (1), к общему знаменателю. Он совпадет со знаменателем дроби, стоящей в левой части равенства (1). Чтобы равенство было верным, приравняем числители этих их дробей:
(2)
Так как тождество (2) должно выполняться для любого х, то зададим аргумент - следующие значения:
пусть x=1, то тождество (2) примет вид -1=-В, следовательно, В=1;
пусть
x=2,
то тождество (2) примет вид 1=2C,
следовательно,
;
пусть
x=0,
то тождество (2) примет вид -3=2A,
следовательно,
;
Подставим найденные коэффициенты в равенство (I), получаем
Теперь вычислить исходный интеграл не составляет труда.
4).
Интегрирование подстановкой (замена
переменной)
(3)
причем непосредственно подобрать первообразную для функции f(x) мы не можем, но нам известно, что она существует.
Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении
(4)
Будем считать, что функция φ(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т, тогда
Обозначим
X
- множество значении функции
.
Если
функция
f(x)
определена
на множестве X,
то вычисление интеграла (3) с помощью
замены переменного (4) сводится к
вычислению интеграла
(5)
который может оказаться в каком-то смысле «проще», чем исходный.
Формула (5) называется формулой интегрирования заменой переменной. Она приводится без доказательства.
Так интегралы вида
,
где R - рациональная функция, с помощью подстановки
приводятся к интегралу от рациональной функции.
Пример
1.
Интеграл
вычисляется
с помощью подстановки
.
В этом
случае имеем
.
Отсюда
.
Заметим,
что
(последнее равенство не трудно проверить,
приведя дроби к общему знаменателю).
Наш интеграл равен
разности двух интегралов:
.
Теперь возвращаемся к старым переменным
.
При
нахождении интегралов вида
,
где n
и m
- целые числа, возможны следующие случаи:
1).Одно из чисел n или m - нечетное, например m=2k+1. Тогда
.
После замены переменной t=sin t получаем интегралы от степенной функции:
.
2). Оба числа n и m - четные. Тогда рекомендуется воспользоваться тригонометрическими формулами понижения степени:
где α - любое вещественное число.
Пример
2.
Вычислить
интеграл
.
Преобразуем этот интеграл
