2.Вычисление объёмов тел вращения.

Для вычисления объёмов тел вращения применим тот же подход , который был использован для решения задач по нахождению площадей плоских фигур.

V= π или V= π

Несобственный интеграл.

опр. Пусть функция f(х) определена на промежутке [a;+] и интегрируема на любом отрезке [a;R], где R>0 так что имеет смысл, тогда предел этого интеграла при R называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом.

, - c бесконечным нижним пределом и бесконечным верхним и нижним пределом -

пример. Найти edx

решение: edx =lim edx = lim [-e] =

b b

lim ( -e ) =

b

опр. Пусть функция f(x) не ограничена на промежутке [а,b],

однако интегрируема на любом меньшем отрезке [a,b-ε] где

ε>0, тогда если существует конечный lim , то

ε

его принимают за несобственный интеграл от неог

раниченной функции y=f(x).

= lim или = lim

ε ε

или =lim

ε ε

пример. =lim(ln1-ln

С-5-1

Найти интегралы а) методом интегрирования по частям; б) Методом замены переменной :

а) б)

С-5-2

Найти интегралы а) табличным методом; б) Методом неопределённых коэффициентов :

а) б)

С-5-3

Найти интегралы а) Методом замены переменной; б) методом интегрирования по частям:

а) б)

С-5-4

Найти интегралы а) табличным методом; б) Методом неопределённых коэффициентов:

а) б)

С-5-5

Найти интегралы а) Методом замены переменной; б) методом интегрирования по частям;

а) б)

С-5-6

Найти интегралы а) табличным методом; б) Методом неопределённых коэффициентов:

а) б)

С-5-7

Найти интегралы а) Методом замены переменной б) методом интегрирования по частям:

а) б)

С-5-8

Найти интегралы а) табличным методом; б) Методом неопределённых коэффициентов:

а) б)

С-5-9

Найти интегралы а) Методом замены переменной б) методом интегрирования по частям:

а) б)

С-5-10

Найти интегралы а) табличным методом; б) Методом неопределённых коэффициентов:

а) б)

С-5-11

Найти интегралы а) Методом замены переменной б) методом интегрирования по частям:

а) б)

С-5-12

Найти интегралы а) табличным методом; б) Методом неопределённых коэффициентов:

а) б)

С-5-13

Найти интегралы а) методом интегрирования по частям; б) Методом замены переменной :

а) б)

С-5-14

Найти интегралы а) табличным методом; б) Методом неопределённых коэффициентов :

а) б)

С-5-15

Найти интегралы а) Методом замены переменной; б) методом интегрирования по частям:

а) б)

С-5-16

Найти интегралы а) табличным методом; б) Методом неопределённых коэффициентов:

а) б)

С-5-17

Найти интегралы а) Методом замены переменной; б) методом интегрирования по частям;

а) б)

С-5-18

Найти интегралы а) табличным методом; б) Методом неопределённых коэффициентов:

а) б)

С-5-19

Найти интегралы а) Методом замены переменной б) методом интегрирования по частям:

а) б)

С-5-20

Найти интегралы а) табличным методом; б) Методом неопределённых коэффициентов:

а) б)

С-5-21

Найти интегралы а) Методом замены переменной б) методом интегрирования по частям:

а) б)

С-5-22

Найти интегралы а) табличным методом; б) Методом неопределённых коэффициентов:

а) б)

С-5-23

Найти интегралы а) Методом замены переменной б) методом интегрирования по частям:

а) б)

С-5-24

Найти интегралы а) табличным методом; б) Методом неопределённых коэффициентов:

а) б)

С-5-25

Найти интегралы а) методом интегрирования по частям; б) Методом замены переменной :

а) б)

С-5-26

Найти интегралы а) табличным методом; б) Методом неопределённых коэффициентов :

а) б)

С-5-27

Найти интегралы а) Методом замены переменной; б) методом интегрирования по частям:

а) б)

С-5-28

Найти интегралы а) табличным методом; б) Методом неопределённых коэффициентов:

а) б)

С-5-29

Найти интегралы а) Методом замены переменной; б) методом интегрирования по частям;

а) б)

С-5-30

Найти интегралы а) табличным методом; б) Методом неопределённых коэффициентов:

а) б)

К-1-1

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Найти несобственный интеграл:

К-1-2

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OY линий:

Вычислить несобственный интеграл:

К-1-3

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Вычислить несобственный интеграл:

К-1-4

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OX линий:

Вычислить несобственный интеграл:

К-1-5

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Вычислить несобственный интеграл:

К-1-6

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OY линий:

Вычислить несобственный интеграл:

К-1-7

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OX линий:

Найти несобственный интеграл:

К-1-8

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Найти несобственный интеграл:

К-1-9

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OY линий:

Вычислить несобственный интеграл:

К-1-10

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Вычислить несобственный интеграл:

К-1-11

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OX линий:

Вычислить несобственный интеграл:

К-1-12

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Вычислить несобственный интеграл:

К-1-13

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Найти несобственный интеграл:

К-1-14

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OY линий:

Вычислить несобственный интеграл:

К-1-15

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Вычислить несобственный интеграл:

К-1-16

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OX линий:

Вычислить несобственный интеграл:

К-1-17

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Вычислить несобственный интеграл:

К-1-18

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OY линий:

Вычислить несобственный интеграл:

К-1-19

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OX линий:

Найти несобственный интеграл:

К-1-20

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Найти несобственный интеграл:

К-1-21

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OY линий:

Вычислить несобственный интеграл:

К-1-22

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Вычислить несобственный интеграл:

К-1-23

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OX линий:

Вычислить несобственный интеграл:

К-1-24

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Вычислить несобственный интеграл:

К-1-25

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Найти несобственный интеграл:

К-1-26

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OY линий:

Вычислить несобственный интеграл:

К-1-27

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Вычислить несобственный интеграл:

К-1-28

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OX линий:

Вычислить несобственный интеграл:

К-1-29

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Вычислить несобственный интеграл:

К-1-30

Найти интеграл:

Вычислить:

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OY линий:

Вычислить несобственный интеграл:

ДОМАШНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Внеаудиторная самостоятельная работа студентов связана как с углублением понимания разделов, изученных на лекциях, семинарских занятиях, так и изучением тем, не освещенных в ходе аудиторных занятий. Самостоятельные работы составлены на 30 вариантов на 1,2 семестры обучения и имеют примерно одинаковый уровень сложности.