Теоретические вопросы к зачёту по дисциплине« Математика» для студентов

1 Курса очной формы обучения. ( 2 семестр )

1. Что называется функцией двух переменных, её областью определения? Дайте геометрическое толкование области определения.

2. Что называется функцией трех переменных, её областью определения? Дайте геометрическое толкование области определения.

3. Что называется линией уровня и поверхностного уровня?

4. Как определяются частные производные? Сформулируйте правило нахождения частных производных функций нескольких переменных.

5. В чём геометрический смысл частных производных?

6. Когда функция z=f (x,у) является дифференцируемой в точке? Что называется полным дифференциалом функции в данной точке? Применение полного дифференциала для вычисления приближённого значения функции.

7. Что называется производной функцией по направлению? Вычисление производной по направлению.

8. Что такое градиент функции? Геометрический смысл градиента.

9. Что называется экстремумом функции 2 переменных? Сформулируйте необходимое условие экстремума.

10. Сформулируйте достаточное условие экстремума.

11. Что называется условным экстремумом функции z=f (x,у) ? Алгоритм нахождения.

12. В чём состоит метод наименьших квадратов?

13. Дайте определения первообразной функции. Укажите геометрический смысл совокупности первообразных функций.

14. Что называется неопределённым интегралом.? Свойства.

15. Интегрирование непосредственным методом и методом разложения. Привести примеры.

16. Интегрирование методом замены переменной.

17. Метод интегрирование по частям. Указать типы интегралов, вычисление которых целесообразно производить с помощью данного метода.

18. Изложите правило интегрирования рациональной дроби, разложением на простейшие.

19. Дать определения определённого интеграла и указать его геометрический смысл.

20. Свойства определённого интеграла.

21. Приближённые методы вычисления определённого интеграла.

22. Дайте определение несобственного интеграла первого рода, укажите геометрический смысл.

23. Дайте определение интеграла второго рода, укажите геометрический смысл.

24. Что называется двойным интегралом от функции f (х,у) по области Д. Укажите его геометрический смысл.

Система работ охватывает все темы изучаемые во втором семестре следующим образом:

Комплексные числа С-1;

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных С-2, С-3, С-4;

Интегральное исчисление С-5, К-2.

Тема 5. Комплексные числа

Z = х + iу - показательная форма, Z = r( cosφ+isinφ ) - тригонометрическая форма, Z = re - показательная форма.

Z = х + iу и Z = x - iy – сопряженные комплексные числа.

Арифметические операции.

1.сумма ( разность ) Z+Z= x±x+ i(y±y)

2.произведение Z+Z= ( xx- yy) + i( xy+ xy)

3.Деление =

У

r =│Z│=- модуль комплексного числа

φ=Аrg z - аргумент

r

0 φ х sin φ=

cos φ=

Формула Муавра

[ r ( cos φ + i sin φ )] = r( cos nφ + i sin nφ )

Z= re

C-1-1

1) Выполнить действие:

2) Представить число в тригонометрической форме: -1+i

3) Вычислить: (2-2i)⁵

4) Решить уравнение:

x²-2x+5=0

C-1-2

1) Выполнить действие:

2) Представить число в показательной форме: 1+i

3) Вычислить: (1-i)⁷

4) Решить уравнение:

3x²+4x+3=0

C-1-3

1) Выполнить действие:

2) Представить число в тригонометрической форме:

3) Вычислить: (-2+2i)¹¹

4) Решить уравнение:

x²-8x+20=0

C-1-4

1) Выполнить действие:

2) Представить число в показательной форме: -1-i

3) Вычислить:

4) Решить уравнение:

5x²-4x+8=0

C-1-5

1) Выполнить действие:

2) Представить число в тригонометрической форме:

3) Вычислить: (-2-2i)⁴

4) Решить уравнение:

x²+2x+5=0

C-1-6

1) Выполнить действие:

2) Представить число в показательной форме:

3) Вычислить: (2+2i)¹⁹

4) Решить уравнение:

3x²-4x+3=0

C-1-7

1) Выполнить действие:

2) Представить число в тригонометрической форме: -2-2i

3) Вычислить:

4) Решить уравнение:

x²+8x+20=0

C-1-8

1) Выполнить действие:

2) Представить число в показательной форме: 2+2i

3) Вычислить:

4) Решить уравнение:

5x²+4x+8=0

C-1-9

1) Выполнить действие:

2) Представить число в тригонометрической форме: -2+2i

3) Вычислить:

4) Решить уравнение:

3x²+5x+5=0

C-1-10

1) Выполнить действие:

2) Представить число в показательной форме:

3) Вычислить: (-1-i)³⁰

4) Решить уравнение:

2x²-3x+6=0

C-1-11

1) Выполнить действие:

2) Представить число в тригонометрической форме: 1-i

3) Вычислить: (1-i)⁹

4) Решить уравнение:

x²-5x+15=0

C-1-12

1) Выполнить действие:

2) Представить число в показательной форме: 2-2i

3) Вычислить: (-1+i)⁸

4) Решить уравнение:

2x²+3x+6=0

C-1-13

1) Выполнить действие:

2) Представить число в тригонометрической форме: -1+2i

3) Вычислить: (2-3i)⁵

4) Решить уравнение:

x²-2x+6=0

C-1-14

1) Выполнить действие:

2) Представить число в показательной форме: 4+i

3) Вычислить: (4-i)⁷

4) Решить уравнение:

3x²+4x+7=0

C-1-15

1) Выполнить действие:

2) Представить число в тригонометрической форме:

3) Вычислить: (-2+2i)¹¹

4) Решить уравнение:

x²-8x+18=0

C-1-16

1) Выполнить действие:

2) Представить число в показательной форме: -4-i

3) Вычислить:

4) Решить уравнение:

5x²-3x+7=0

C-1-17

1) Выполнить действие:

2) Представить число в тригонометрической форме:

3) Вычислить: (-2-i)³

4) Решить уравнение:

x²+x+6=0

C-1-18

1) Выполнить действие:

2) Представить число в показательной форме:

3) Вычислить: (1-2i)¹⁹

4) Решить уравнение:

4x²-2x+3=0

C-1-19

1) Выполнить действие:

2) Представить число в тригонометрической форме: -5-i

3) Вычислить: 4) Решить уравнение:

x²+2x+21=0

C-1-20

1) Выполнить действие:

2) Представить число в показательной форме: 3+3i

3) Вычислить:

4) Решить уравнение:

3x²+4x+3=0

C-1-21

1) Выполнить действие:

2) Представить число в тригонометрической форме: -6+2i

3) Вычислить:

4) Решить уравнение:

5x²+3x+5=0

C-1-22

1) Выполнить действие:

2) Представить число в показательной форме:

3) Вычислить:

(-1+i)¹⁰

4) Решить уравнение:

6x²-2x+6=0

C-1-23

1) Выполнить действие:

2) Представить число в тригонометрической форме: 1-6i

3) Вычислить:

(2-i)⁵

4) Решить уравнение:

x²-3x+13=0

C-1-24

1) Выполнить действие:

2) Представить число в показательной форме: 3-5i

3) Вычислить:

(-1+3i)⁷

4) Решить уравнение:

3x²+3x+8=0

C-1-25

1) Выполнить действие:

2) Представить число в тригонометрической форме: -14+7i

3) Вычислить: (1+2i)⁴

4) Решить уравнение:

3x²-2x+15=0

C-1-26

1) Выполнить действие:

2) Представить число в показательной форме: 10+i

3) Вычислить:

(5-i)⁹

4) Решить уравнение:

9x²+x+3=0

C-1-27

1) Выполнить действие:

2) Представить число в тригонометрической форме:

3) Вычислить:

(-12+2i)¹³

4) Решить уравнение:

5x²-x+2=0

C-1-28

1) Выполнить действие:

2) Представить число в показательной форме: -1-6i

3) Вычислить:

4) Решить уравнение:

8x²-4x+8=0

C-1-29

1) Выполнить действие:

2) Представить число в тригонометрической форме:

3) Вычислить:

(3+3i)³

4) Решить уравнение:

x²+2x+15=0

C-1-30

1) Выполнить действие:

2) Представить число в показательной форме:

3) Вычислить:

(2+i)¹⁵

4) Решить уравнение:

3x²-x+5=0