Тема 2.Элементы аналитической геометрии.

1. - уравнение прямой с угловым коэффициентом.

2. - уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент .

3. - уравнение прямой, проходящей через две точки и

4. - общее уравнение прямой

5. Условие параллельности двух прямых: или

6. Условие перпендикулярности двух прямых: или

7. Угол между прямыми:

8. Длина отрезка: , где

9. Деление отрезка в данном отношении: если точки

то координаты точки С делящей отрезок АВ в отношении m:n можно найти по формулам

;

10. Каноническое уравнение прямой:

11. - общее уравнение плоскости, - нормальный вектор плоскости.

12. - уравнение плоскости, проходящей точку перпендикулярно

13. Угол между плоскостями:

14. Угол между прямой и плоскостью:

15. Расстояние от точки до плоскости

16. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Т-2 С-1

1). Даны стороны треугольника : ( АВ ) х – у = 0 , ( ВС ) х + у – 2 = 0, ( АС ) у = 0. Составить уравнения медианы ВК.

x-5 y+1 z

2). Вычислить угол между прямой 2 = -2 = -1 и плоскостью 2х + у – 2z + 5 = 0

3). Точка С( 3;5 ) делит отрезок АВ в отношении АС:СВ = 3:4. Найти координаты точки А, если В( -1;1 )

Т-2 С-2

1). Даны последовательные вершины параллелограмма : А (0;0) , В (1;3), С (7;1). Найти острый угол между его диагоналями.

2). Найти расстояние между плоскостями х – у + 2z – 4= 0 и х – у + 2z +10 = 0.

3). Отрезок АВ задан точками А (-9;-3), В (1;2). До какой точки С нужно продолжить АВ, чтобы АВ:ВС = 5:3 ?

Т-2 С-3

1). Даны стороны треугольника: х + у – 6 = 0 (АВ); 3х – 5у +14 = 0 (АС) и 5х – 3у – 14 = 0 (ВС). Составить уравнения его высоты ВК.

2). Составить уравнение плоскости проходящей через точку М (3;-1;5) перпендикулярно плоскости 3х – 2у + 2z +7 = 0

3). Концами отрезка служат точки А (-8;-5) и В (10;4). Найдите точки С и Д, делящие этот отрезок на три равные части.

Т-2 С-4

1). Даны вершины △ АВС : А (1;1), В (4;5), С (13;-4). Найти угол между медианами АМ и ВК.

2). Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М (2;3;-1) параллельно плоскости 5х – 3у + 2z – 10 = 0

3). Отрезок задан точками А (-4;7) и В (-3;5). Найти на продолжении АВ точку С, чтобы АВ:ВС = 1:7

Т-2 С-5

1). Даны стороны треугольника : х – у = 0 (АВ), х + у – 2 = 0 (ВС) и у = 0 (АС). Составить уравнение медианы АМ и высоты ВК.

2). Вычислить угол между плоскостью 2x-y+2z+5=0 и прямой

3). Точка С (3;5) делит отрезок АВ в отношении АС:СВ = 1:2. Найти координаты точки А, если В(-2;2).

Т-2 С-6

1). Даны последовательные вершины параллелограмма А (0;0), В (1;3), С (7;1). Найти угол С.

2). Найти расстояние между плоскостями х + у – 2z – 1 = 0 и х + у – 2z + 5 = 0.

3). Отрезок АВ задан точками А (-9;-3) и В (1;2). До какой точки С нужно продолжить АВ, чтобы АВ:ВС = 1:2.

Т-2 С-7

1). Даны стороны треугольника: х + у – 6 = 0, 3х – 5у + 14 = 0 и 5х – 3у – 14=0. составить уравнение его медианы.

2). Составить уравнение плоскости проходящей через точку М (3;-1;-5) параллельно плоскости 3х – 2у + 2z +7 = 0

3). Концами отрезка служат точки А (-8;-5) и В (10;4) . Найти точки С и Д , делящие этот отрезок в отношении АС:СД:ДВ = 1:2:3

Т-2 С-8

1). Даны вершины ∆ АВС : А (1;1), В (4;5), С (13;-4). Найти угол между медианами АМ и СК.

2).Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М (2;3;-1) перпендикулярно плоскости 5х – 3у + 2z – 10 = 0

3). Отрезок задан точками А (-4;7) и В (-3;5). Найти на продолжении АВ точку С, чтобы АВ:ВС = 1:3

Т-2 С-9

1). Даны стороны треугольника : (АВ) х – у = 0, (ВС) х + у – 2 = 0, (АС) у = 0. составить уравнение медианы СД и АМ АС.

2). Вычислить угол между плоскостью 2х – у – 2z + 5 = 0 и прямой

3). Точка С (3;5) делит отрезок АВ в отношении АС:СВ = 2:3. Найти координаты точки А, если В (-3;3).

Т-2 С-10

1). Даны последовательно вершины параллелограмма А (0;0) , В (1;3), С (7;1). Найти периметр параллелограмма.

2). Найти расстояние между плоскостями х – у - 2z – 5 = 0 и х – у - 2z + 5 = 0

3). Отрезок АВ задан точками А (-9;-3) и В (1;2). До какой точки С нужно продолжить АВ, чтобы АВ:ВС = 2:3

Т-2 С-11

1). Даны вершины Δ АВС: А (1;1), В (4;5), С (13;-4). Найти угол между медианами ВК и СМ.

2). Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М (2;3;-1) параллельно плоскости 3х – 2у + 2z +7 = 0

3). Отрезок задан точками А (-4;7) и В (-3;5). Найти на продолжении АВ точку С, чтобы АВ:ВС = 1:4

Т-2 С-12

1). Даны стороны треугольника : х + у – 6 = 0, 3х – 5у +14 = 0 и 5х – 3у – 14 = 0. составить уравнение линии, проходящей через вершину треугольника, параллельно противоположной стороне

2). Составить уравнение плоскости проходящей через точку м (3;-1;-5) перпендикулярно плоскости 5х – 3у + 2z – 10 = 0

3). Концами отрезка служат точки А (-8:-5) и В (10;4). Найти точки С и Д, делящие этот отрезок в отношении АС:СД:ДВ = 2:3:4

Т-2 С-13

1). Даны стороны треугольника : ( АВ ) х – у = 0 , ( ВС ) х + у – 2 = 0, ( АС ) у = 0. Составить уравнения высоты АМ.

2). Вычислить угол между прямой и плоскостью 2х + у – 2z + 5 = 0

3). Точка С( 3;5 ) делит отрезок АВ в отношении АС:СВ = 3:6. Найти координаты точки А, если В( -1;1 )

Т-2 С-14

1). Даны последовательные вершины параллелограмма : А (0;0) , В (1;3), С (7;1). Найти тупой угол между его диагоналями.

2). Найти расстояние между плоскостями х – у + 2z + 4= 0 и х – у + 2z +10 = 0.

3). Отрезок АВ задан точками А (-9;-3), В (1;2). До какой точки С нужно продолжить АВ, чтобы АВ:ВС = 4:3 ?

Т-2 С-15

1). Даны стороны треугольника : ( АВ)х + у – 6 = 0 ; (АС) 3х – 5у +14 = 0 и (ВС)5х – 3у – 14 = 0. Составить уравнения его высоты АК.

2). Составить уравнение плоскости проходящей через точку М (2;-1;-5) перпендикулярно плоскости 3х – 2у + 2z +5 = 0

3). Концами отрезка служат точки А (8;5) и В (10;4). Найдите точки С и Д, делящие этот отрезок на три равные части.

Т-2 С-16

1). Даны вершины △ АВС : А (1;2), В (4;5), С (13;-4). Найти угол между медианами АМ и ВК.

2). Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М (2;3;1) параллельно плоскости 5х +3у + 2z – 10 = 0

3). Отрезок задан точками А (-4;7) и В (-3;5). Найти на продолжении АВ точку С, чтобы АВ:ВС = 5:7

Т-2 С-17

1). Даны стороны треугольника : х – у = 0 (АВ), х + у – 2 = 0 (ВС) и у = 0 (АС). Составить уравнение медианы АМ .

2). Вычислить угол между плоскостью x-y+2z+7=0 и прямой

3). Точка С (3;5) делит отрезок АВ в отношении АС:СВ = 3:2. Найти координаты точки А, если В(-2;2).

Т-2 С-18

1). Даны последовательные вершины параллелограмма А (0;0), В (1;3), С (7;1). Найти угол А.

2). Найти расстояние между плоскостями х + у – 2z – 1 = 0 и х + у – 2z + 5 = 0.

3). Отрезок АВ задан точками А (9;3) и В (-1;-2). До какой точки С нужно продолжить АВ, чтобы АВ:ВС = 1:2.

Т-2 С-19

1). Даны стороны треугольника: х + у – 6 = 0 (АВ), 3х – 5у + 14 = 0 (АС) и 5х – 3у – 14=0 (ВС). составить уравнение его медианы АМ.

2). Составить уравнение плоскости проходящей через точку М (3;1;5) параллельно плоскости 3х – 2у - 2z +3 = 0

3). Концами отрезка служат точки А (-8;-5) и В (10;4) . Найти точки С и Д , делящие этот отрезок в отношении АС:СД:ДВ = 4:2:3

Т-2 С-20

1). Даны вершины ∆ АВС : А (1;1), В (4;5), С (13;-4). Найти угол между медианами АМ и ВК.

2).Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М (2;3;1) перпендикулярно плоскости 5х + 3у + 2z – 10 = 0

3). Отрезок задан точками А (4;7) и В (3;5). Найти на продолжении АВ точку С, чтобы АВ:ВС = 1:3

Т-2 С-21

1). Даны стороны треугольника : (АВ) х – у = 0, (ВС) х + у – 2 = 0, (АС) у = 0. Составить уравнение медианы СД.

2). Вычислить угол между плоскостью 2х – у – 2z + 5 = 0 и прямой

3). Точка С (3;-5) делит отрезок АВ в отношении АС:СВ = 2:3. Найти координаты точки А, если В (3;3).

Т-2 С-22

1). Даны последовательно вершины параллелограмма А (0;0) , В (2;3), С (7;-1). Найти периметр параллелограмма.

2). Найти расстояние между плоскостями х – у - 2z +5 = 0 и х – у - 2z + 6 = 0

3). Отрезок АВ задан точками А (9;3) и В (1;-2). До какой точки С нужно продолжить АВ, чтобы АВ:ВС = 2:5

Т-2 С-23

1). Даны вершины Δ АВС: А (1;1), В (4;6), С (13;4). Найти угол между медианами ВК и СМ.

2). Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М (2;3;1) параллельно плоскости 3х – 2у + 2z -7 = 0

3). Отрезок задан точками А (-4;-7) и В (3;5). Найти на продолжении АВ точку С, чтобы АВ:ВС = 1:4

Т-2 С-24

1). Даны стороны треугольника : х + у – 6 = 0, 3х – 5у +14 = 0 и 5х – 3у – 14 = 0. составить уравнение линии, проходящей через вершину треугольника, перпендикулярно противоположной стороне

2). Составить уравнение плоскости проходящей через точку м (3;1;5) перпендикулярно плоскости 5х + 3у + 2z – 10 = 0

3). Концами отрезка служат точки А (-8:-5) и В (10;4). Найти точки С и Д, делящие этот отрезок в отношении АС:СД:ДВ = 1:3:4

Т-2 С-25

1). Даны стороны треугольника : ( АВ ) х – у = 0 , ( ВС ) х + у – 2 = 0, ( АС ) у = 0. Составить уравнения медианы ВК и высоты АМ.

2). Вычислить угол между прямой -2 и плоскостью 2х -у +2z - 5 = 0

3). Точка С( 3;5 ) делит отрезок АВ в отношении АС:СВ = 1:4. Найти координаты точки А, если В( -1;1 )

Т-2 С-26

1). Даны последовательные вершины параллелограмма : А (0;0) , В (1;3), С (7;1). Найти угол между его диагоналями.

2). Найти расстояние между плоскостями х – у + 2z – 4= 0 и х – у + 2z +1 = 0.

3). Отрезок АВ задан точками А (-9;-3), В (1;2). До какой точки С нужно продолжить АВ, чтобы АВ:ВС = 5:2 ?

Т-2 С-27

1). Даны стороны треугольника : х + у – 6 = 0 (АВ); 3х – 5у +14 = 0 (АС) и 5х – 3у – 14 =0 (ВС). Составить уравнения его высоты СК.

2). Составить уравнение плоскости проходящей через точку М (3;1;5) перпендикулярно плоскости 3х – 2у + 2z +1 = 0

3). Концами отрезка служат точки А (8;5) и В (-10;-4). Найдите точки С и Д, делящие этот отрезок на три равные части.

Т-2 С-28

1). Даны вершины △ АВС : А (1;1), В (4;6), С (13;-4). Найти угол между медианами АМ и ВК.

2). Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М (2;3;-1) параллельно плоскости 5х – 3у - 2z + 1 = 0

3). Отрезок задан точками А (-4;7) и В (-3;5). Найти на продолжении АВ точку С, чтобы АВ:ВС = 3:7

Т-2 С-29

1). Даны стороны треугольника : х – у = 0 (АВ), х + у – 2 = 0 (ВС) и у = 0 (АС). Составить уравнение высоты ВК.

2). Вычислить угол между плоскостью 2x-y+5z+5=0 и прямой

3). Точка С (3;5) делит отрезок АВ в отношении АС:СВ = 1:3. Найти координаты точки А, если В(-2;2).

Т-2 С-30

1). Даны последовательные вершины параллелограмма А (0;0), В (1;3), С (7;1). Найти угол В.

2). Найти расстояние между плоскостями х + у – 2z – 1 = 0

и х + у – 2z + 5 = 0.

3). Отрезок АВ задан точками А (9;3) и В (1;2). До какой точки С нужно продолжить АВ, чтобы АВ:ВС = 1:2.