7.1.Теоретичні передумови.
Вибіркове спостереження – це таке, при якому обстеженню підлягає частина сукупності, а результати розрахунків поширюються на всю сукупність.
Першочергове завдання вибіркового спостереження - обчислення невідомих характеристик генеральної сукупності на підставі вибіркових оцінок. Розбіжність між цими характеристиками називають помилками вибірки.
Формули помилок вибірки залежать від способу формування вибірки, заданої імовірності, варіації ознак та чисельності генеральної і вибіркової сукупностей.
Середня помилка для повторного відбору () має вигляд:
(7.1)
де: 2г - дисперсія ознаки генеральної сукупності;
п - чисельність вибірки.
Оскільки генеральна дисперсія невідома, її обчислюють за формулою:
(7.2)
де: 2 - дисперсія ознаки вибіркової сукупності.
При
безповторному відборі у підкорінне
значення формули (1) вводиться множник
,
тобто:
(7.3)
де: N чисельність генеральної сукупності.
Гранична помилка вибірки, тобто помилка з певною імовірністю (), обчислюється за формулою (для повторного відбору):
(7.4)
де: t - коефіцієнт довіри, який залежить від імовірності.
Межі значень характеристик генеральної сукупності визначають так:
(7.5)
де: 
-
середня ознака вибірки;
-
середня ознака генеральної сукупності.
t – довірче число, яке показує як співвідносяться гранична та стандартна похибки. Залежить від рівня імовірності: для імовірності 0,683 t=1, для імовірності 0,954 t=2, для імовірності 0,997 t=3, для імовірності 0,999 t=4.
Таблиця 7.1
Формули розрахунку граничної похибки вибірки
|
Показники |
Метод добору |
|
|
Повторний |
Безповторний |
|
|
Для середньої генеральної сукупності |
|
|
|
Для частки генеральної сукупності |
|
|
Вище наведені формули (табл. 7.1) можна використати для обчислення необхідної чисельності вибірки (n).
Таблиця 7.2
Формули для визначення необхідної чисельності вибірки
|
Показники |
Метод добору |
|
|
Повторний |
Безповторний |
|
|
Для середньої генеральної сукупності |
|
|
|
Для частки генеральної сукупності |
|
|
При обчисленні помилки для районованого (розшарованого) відбору в формули замість загальної дисперсії застосовують середню із групових дисперсій.
Під час підготовки вибіркових спостережень виникає потреба визначити мінімально достатній обсяг вибірки для заданих умов. Формули обсягу вибірок виводять з відповідних формул помилок. Наприклад, при вивченні кількісної ознаки з імовірністю Р=0,683 для повторного способу відбору маємо:
; звідси: 
; далі
-
(7.6)
Особливу увагу студент повинен звертати на одиниці виміру та трактуванні суті обчислених показників.
7.2.Задачі для самостійного розв’язування
Задача 7.1
Методом випадкового повторного вибору було обстежено ряд спеціалізованих крамниць. У результаті обстеження і розрахунків отримані такі показники (табл. 7.3).
Таблиця 7.3
|
Варіант |
Кількість обстежених крамниць |
Середній час, витрачений на обслуговування одного покупця, хв. |
Середнє квадратичне відхилення, хв. |
Ймовірність |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
26 |
10 |
2 |
0,997 |
|
2 |
30 |
15 |
3 |
0,954 |
|
3 |
32 |
8 |
4 |
0,683 |
|
4 |
34 |
12 |
5 |
0,999 |
|
5 |
25 |
14 |
4 |
0,954 |
|
6 |
27 |
13 |
3 |
0,683 |
|
7 |
33 |
12 |
2 |
0,997 |
|
8 |
35 |
11 |
3 |
0,954 |
Продовження табл.7.3
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
9 |
39 |
17 |
4 |
0,683 |
|
10 |
40 |
10 |
5 |
0,999 |
|
11 |
45 |
12 |
4 |
0,997 |
|
12 |
41 |
14 |
3 |
0,954 |
|
13 |
22 |
16 |
6 |
0,683 |
|
14 |
31 |
15 |
3 |
0,954 |
|
15 |
34 |
13 |
4 |
0,997 |
|
16 |
36 |
11 |
2 |
0,954 |
|
17 |
28 |
10 |
3 |
0,683 |
|
18 |
29 |
9 |
2 |
0,997 |
|
19 |
36 |
16 |
3 |
0,999 |
|
20 |
39 |
18 |
4 |
0,954 |
|
21 |
35 |
20 |
5 |
0,954 |
|
22 |
28 |
15 |
5 |
0,683 |
|
23 |
26 |
13 |
4 |
0,999 |
|
24 |
24 |
14 |
2 |
0,997 |
|
25 |
32 |
11 |
2 |
0,997 |
|
26 |
35 |
13 |
3 |
0,999 |
|
27 |
25 |
12 |
2 |
0,954 |
|
28 |
27 |
15 |
4 |
0,683 |
|
29 |
29 |
12 |
3 |
0,997 |
|
30 |
20 |
16 |
5 |
0,954 |
Обчислити:
1.Середню і граничну похибку вибірки з заданого імовірністю.
2.Межі генеральної середньої.
Зробити висновки.
Задача 7.2
Методом безповторного 10% випадкового відбору з генеральної сукупності взято визначену кількість деталей для виміру маси деталі. У результаті обстеження і деяких розрахунків отримані такі показники (табл. 7.4):
Таблиця 7.4
|
Варіант |
Чисельність вибірки, деталей |
Середня маса деталі, г |
Середнє квадратичне відхилення, г |
Імовірність Р1 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
300 |
52 |
4,0 |
0,999 |
|
2 |
250 |
54 |
2,5 |
0,954 |
|
3 |
270 |
56 |
2,7 |
0,997 |
|
4 |
310 |
58 |
2,8 |
0,999 |
|
5 |
340 |
60 |
3,0 |
0,997 |
|
6 |
325 |
62 |
3,4 |
0,954 |
|
7 |
274 |
61 |
3,5 |
0,997 |
|
8 |
285 |
59 |
3,6 |
0,954 |
|
9 |
290 |
57 |
3,2 |
0,999 |
|
10 |
295 |
55 |
2,4 |
0,954 |
|
11 |
360 |
53 |
4,2 |
0,954 |
|
12 |
345 |
51 |
3,1 |
0,999 |
|
13 |
315 |
49 |
2,8 |
0,997 |
|
14 |
326 |
47 |
2,5 |
0,954 |
|
15 |
298 |
45 |
2,1 |
0,999 |
|
16 |
279 |
50 |
1,8 |
0,954 |
|
17 |
306 |
54 |
1,6 |
0,997 |
|
18 |
300 |
58 |
1,4 |
0,954 |
|
19 |
278 |
62 |
1,2 |
0,999 |
|
20 |
242 |
64 |
1,0 |
0,954 |
|
21 |
294 |
68 |
1,3 |
0,997 |
Продовження табл.7.4
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
22 |
280 |
72 |
1,5 |
0,999 |
|
23 |
285 |
76 |
1,7 |
0,954 |
|
24 |
290 |
80 |
1,9 |
0,999 |
|
25 |
295 |
77 |
2,1 |
0,997 |
|
26 |
304 |
74 |
2,3 |
0,954 |
|
27 |
309 |
71 |
2,5 |
0,997 |
|
28 |
314 |
68 |
2,7 |
0,999 |
|
29 |
319 |
65 |
2,9 |
0,954 |
|
30 |
326 |
63 |
3,1 |
0,997 |
Обчислити:
1.Середню і граничну похибки вибірки з імовірністю Р1.
2.Межі генеральної середньої з імовірністю 0,683 і Р1.
Зробити висновки.
Задача 7.3
В результаті випадкового безповторного відбору робітників із загальної кількості в 1000 чоловік отримані такі дані про розподіл робітників за рівнем продуктивності праці (табл. 7.5).
Обчислити:
1.Межі значень продуктивності праці для генеральної сукупності з імовірністю 0,954 та 0,997, а також частки робітників із виробітком 45 деталей і більше з імовірністю 0,683 та 0,999.
2.Значення середньої похибки вибірки по продуктивності праці при випадковому повторному відборі з імовірністю 0,954 та 0,997.
Зробити висновки про залежність похибки вибірки від імовірності та способу відбору.
Таблиця 7.5
|
Група робітників за рівнем продуктивності праці, дет/люд |
Кількість робітників по варіантах |
||||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
|
20-25 |
12 |
20 |
6 |
4 |
10 |
7 |
10 |
15 |
12 |
15 |
16 |
17 |
20 |
15 |
16 |
|
25-30 |
18 |
22 |
14 |
8 |
12 |
13 |
20 |
20 |
16 |
25 |
30 |
40 |
16 |
25 |
30 |
|
30-35 |
30 |
8 |
12 |
3 |
15 |
12 |
30 |
25 |
38 |
36 |
28 |
35 |
34 |
40 |
24 |
|
35-40 |
14 |
15 |
18 |
15 |
5 |
8 |
40 |
35 |
35 |
42 |
35 |
50 |
52 |
50 |
45 |
|
40-45 |
16 |
5 |
20 |
25 |
26 |
40 |
50 |
40 |
30 |
28 |
28 |
30 |
44 |
25 |
24 |
|
45-50 |
10 |
8 |
25 |
10 |
14 |
24 |
25 |
24 |
20 |
18 |
14 |
17 |
16 |
20 |
18 |
|
50-55 |
10 |
12 |
15 |
12 |
10 |
16 |
12 |
16 |
10 |
14 |
10 |
13 |
7 |
20 |
10 |
|
55-60 |
5 |
10 |
6 |
10 |
14 |
10 |
8 |
10 |
5 |
4 |
8 |
10 |
5 |
15 |
12 |
Продовження табл.7.5
|
Група робітників за рівнем продуктивності праці, дет/люд |
Кількість робітників по варіантах |
||||||||||||||
|
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
|
20-25 |
14 |
14 |
18 |
4 |
3 |
12 |
9 |
9 |
16 |
14 |
16 |
18 |
20 |
18 |
16 |
|
25-30 |
24 |
16 |
20 |
12 |
6 |
14 |
15 |
18 |
21 |
18 |
26 |
32 |
42 |
14 |
26 |
|
30-35 |
42 |
32 |
6 |
10 |
2 |
17 |
14 |
28 |
26 |
40 |
38 |
30 |
30 |
32 |
40 |
|
35-40 |
28 |
16 |
13 |
16 |
12 |
7 |
10 |
36 |
36 |
36 |
40 |
37 |
50 |
50 |
50 |
|
40-45 |
18 |
18 |
3 |
18 |
23 |
28 |
35 |
47 |
42 |
32 |
30 |
30 |
32 |
42 |
26 |
|
45-50 |
20 |
10 |
6 |
23 |
8 |
16 |
22 |
23 |
25 |
24 |
20 |
16 |
20 |
14 |
20 |
|
50-55 |
15 |
12 |
10 |
13 |
10 |
12 |
14 |
10 |
17 |
12 |
16 |
12 |
15 |
5 |
20 |
|
55-60 |
7 |
6 |
8 |
4 |
8 |
16 |
12 |
6 |
12 |
6 |
5 |
10 |
10 |
4 |
10 |
Задача 7.4
За даними табл.7.5 розрахувати обсяг вибірки:
а) щоб із імовірністю 0,683 гранична похибка при визначені продуктивності праці не перевищувала 2 деталі (відбір безповторний);
б) щоб із імовірністю 0,954 гранична похибка вибірки при визначені частки робітників із продуктивністю праці 50 деталей і більше не перевищувала 5% (відбір безповторний);
в) щоб при випадковому повторному відборі середня похибка вибірки не перевищувала 1.5 деталі на людину.
Зробити висновки.
Задача 7.5
За даними табл.7.6 обчислити:
-
Питому вагу продавців, що виконують і перевиконують денну норму виробітку в вибірковій сукупності.
-
Середню та граничну помилку репрезентативності та межі частки продавців, що виконують і перевиконують норму у генеральній сукупності.
Задача 7.6
Під час вивчення попиту населення проведено 5%-не безповторне вибіркове спостереження продажу чоловічого взуття.
За одержаними результатами (табл. 7.7) обчислити для генеральної сукупності:
1.З імовірністю 0.997 можливі межі частки продажі взуття за ціною понад 200 грн.
2.З імовірністю 0,954 можливі межі середньої ціни взуття.
Зробити висновки.
Таблиця 7.6
|
Варіант |
Кількість продавців, які працюють в універсамі, люд. |
Кількість обс-тежених про-давців, люд. |
Кількість продавців, які виконують і пере-виконують норми виробітку, люд. |
Імовірність |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
1200 |
120 |
104 |
0,954 |
|
2 |
800 |
120 |
95 |
0,999 |
|
3 |
1100 |
110 |
100 |
0,997 |
|
4 |
1000 |
150 |
120 |
0,683 |
|
5 |
700 |
105 |
92 |
0,954 |
|
6 |
400 |
40 |
33 |
0,997 |
|
7 |
650 |
65 |
60 |
0,999 |
|
8 |
820 |
123 |
104 |
0,954 |
|
9 |
1040 |
104 |
85 |
0,999 |
|
10 |
1300 |
130 |
110 |
0,954 |
|
11 |
640 |
96 |
86 |
0,997 |
|
12 |
690 |
69 |
60 |
0,683 |
|
13 |
750 |
75 |
65 |
0,954 |
|
14 |
850 |
85 |
78 |
0,997 |
|
15 |
920 |
92 |
75 |
0,999 |
|
16 |
740 |
111 |
92 |
0,683 |
|
17 |
730 |
73 |
70 |
0,954 |
|
18 |
900 |
135 |
110 |
0,954 |
|
19 |
1200 |
180 |
138 |
0,999 |
|
20 |
840 |
84 |
72 |
0,954 |
|
21 |
680 |
102 |
90 |
0,683 |
|
22 |
750 |
75 |
62 |
0,954 |
|
23 |
790 |
79 |
65 |
0,997 |
|
24 |
830 |
83 |
80 |
0,999 |
Продовження табл.7.6
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
25 |
1040 |
156 |
130 |
0,954 |
|
26 |
500 |
70 |
55 |
0,997 |
|
27 |
520 |
78 |
72 |
0,683 |
|
28 |
740 |
74 |
64 |
0,954 |
|
29 |
830 |
83 |
65 |
0,997 |
|
30 |
970 |
97 |
84 |
0,999 |
Зробити висновки.