Корреляционный анализ.

Корреляционной называется связь между факторным и результативным признаками, которая проявляется только «в общем и среднем» при массовом наблюдении фактических данных.

Условием корректного использования корреляционного метода является однородность совокупности, отсутствие « аномальных » наблюдений, достаточно большое число единиц совокупности.

Проверка исходных данных на однородность и аномальность проведена выше.

Теория корреляции решает следующие вопросы:

• содержательный анализ и установление факторного и результативного признаков;

• установление факта наличия связи, определение ее направления и формы;

• измерение тесноты связи

• расчет параметров регрессионной модели и нахождение аналитического выражения связи;

• оценка адекватности модели, ее экономическая интерпретация.

Содержательный анализ исходных данных выполнен ранее и установлено, что акционерный капитал – факторный признак (x), прибыль – результативный (y).

Установление факта наличия связи осуществляется на основе групповой табл. 10 и графическим способом путем изображения поля корреляции и графика эмпирической линии регрессии (рис.1)

Таблица 10

Группы предпр. по размеру акцион. капитала, млн. р.	Число предприятий	Середина интервала (х)	Прибыль в сред. на 1 пред., млн. р. (у)		ух		(теоретическ. уровни)
1	2	3	4	5	6	7	8
526-630 630-734 734-838 838-942 942-1046	5 5 6 7 2	578 682 786 890 994	5,28 7,18 15,68 18,83 22,3	334084 465124 617796 792100 988036	3051,84 4896,76 12324,48 16758,7 22166,2	27,8784 51,5524 245,8624 354,5689 497,29	4,73 9,28 13,85 18,42 22,99
Итого	25	3930	69,27	3197140	59197,98	1177,1521	69,27

Анализ табл. 10 свидетельствует о прямой связи между акционерным капиталом и прибылью предприятий (гр.3, гр.4).

Рис. 1

Эмпирическую линию регрессии (рис.1) строим по данным табл.10, принимая за середину интервала, за - прибыль в среднем на одно предприятие по каждой группе.

Направление эмпирической линии регрессии свидетельствует о наличии прямой зависимости между прибылью и акционерным капиталом предприятий.

Предполагая, что зависимость между акционерным капиталом и прибылью, имеет линейную форму, определяем тесноту связи на основе линейного коэффициента корреляции (). Для этого воспользуемся расчетами, выполняемыми в табл. 10.

Коэффициент корреляции может быть в пределах от -1 до +1. Чем ближе к единице, тем теснее связь.

Значение r =0,979 свидетельствует об очень тесной связи между акционерным капиталом и прибылью. Связь прямая.

Для подтверждения этого необходимо дать оценку существенности линейного коэффициента корреляции, что можно выполнить на основе расчета t- критерия Стьюдента.

находим по таблице Стьюдента (прил. 3). Для числа степеней свободы к=n-2=25-2=23 и уровня значимости 1% =2,8073.

22,9 2,8073. Следовательно, с вероятностью 0,99 можно утверждать, что в генеральной совокупности существует достаточно тесная зависимость между величиной акционерного капитала и прибылью предприятий.

Для анализа общего качества оцененной линейной регрессии обычно используют коэффициент детерминации. Для случая парной регрессии это квадрат коэффициента корреляции переменных Х и У (r).

В нашей задаче r² = 0,979² = 0,96

Коэффициент детерминации характеризует долю вариации (разброса) зависимой переменной, объясненной с помощью данного уравнения.

Интерпретация полученного коэффициента такова: r = 0,96 умножается на 100 и выражается как процентная доля вариации У, которая объясняется вариацией Х.

Таким образом, в нашем примере 96% изменения прибыли объясняется изменением акционерного капитала.

Параметры уравнения регрессии (а и в) определяем способом наименьших квадратов из системы уравнения (расчеты в табл. 10).

Для решения системы информацию берем из табл. 10.

5а+3930в=69,27

3930а+3197140в=59197,98

а=

54446,22-3088980в+3197140в=59197,98

108160в=4751,76

в=

а=

=-20,7+0,044х

Коэффициент регрессии в=0,044 свидетельствует о том, что при увеличении акционерного капитала на 1 млн. р. прибыль возрастет на 0,044 млн. р. или на 44 тыс. р.

По коэффициенту регрессии определяем коэффициент эластичности (Э) и β - коэффициент.

0,97

Следовательно, при увеличении акционерного капитала на 1%, прибыль увеличится на 2,54%.

При увеличении акционерного капитала на одно свое среднеквадратическое отклонение прибыль увеличится на 0,97 своих среднеквадратических отклонений.

Анализ рядов динамики проведем на примере динамики прибыли по одному из предприятий, входящих в совокупность, в частности по предприятию № 5.

При анализе будут использованы следующие показатели:

1) характеризующие изменение прибыли по периодам:

а) абсолютный прирост (Δa);

б) темп (коэффициент) роста ;

в) темп прироста .;

г) абсолютное значение одного процента прироста (А).

Все эти показатели могут быть рассчитаны цепным и базисным методом. Цепные показатели динамики характеризуют изменения каждого последующего показателя по сравнению с предыдущим, а базисные по сравнению с уровнем, принятым за базу сравнения (в этой работе – с первоначальным уровнем).

,

где

- уровень сравниваемого периода

- уровень предыдущего периода

- первоначальный уровень (здесь базисный).

Существует взаимосвязь между цепными и базисными темпами роста, выраженными коэффициентами: произведения последовательных цепных темпов роста равно соответствующему базисному.

2)Абсолютное значение одного процента прироста рассчитывается отношением цепного абсолютного прироста к темпу цепного прироста.

3)Пункты роста () представляет собой разность базисных темпов роста, выраженных в процентах

4)Средние показатели динамики определяются для обобщающей характеристики ряда. К ним относят:

а) средний уровень ряда для периодических рядов с уровнями, выраженными абсолютными величинами

б) средний абсолютный прирост (а)

,

где n- число уровней ряда.

в) средний коэффициент роста ()

г) средний темп роста

д) средний темп прироста

Результаты расчетов этих показателей по данным о прибыли предприятия № 5 за период с 4 квартала предыдущего года по 4 квартал отчетного года приведены в табл. 11.

Таблица 11

Периоды	При- быль млн. р.	Абсолют. приросты млн. р.		Темпы роста (%)		Темпы прироста (%)		Абсол. содерж. 1% прир. млн. р.	Пункты роста %
		цепные	баз.	цепные	баз.	цепные	баз.
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
4 кв. пред. пер. 1 кв. 2 кв. 3 кв. 4 кв.	17,3 19,8 21,6 22,3 23,8	- 2,5 1,8 0,7 1,5	- 2,5 4,3 5,0 6,5	- 114,5 109,1 103,2 106,7	- 114,5 124,9 128,9 137,6	- 14,5 9,1 3,2 6,7	- 14,5 24,9 28,9 37,6	- 0,173 0,198 0,219 0,223	- - 10,4 4,0 8,7

Расчет средних показателей

а) средний уровень ряда млн. р.

Следовательно, в изучаемом периоде в среднем ежеквартально прибыль предприятия составляла 20,96 млн. р.

б) средний абсолютный прирост

1,625 млн. р.

Следовательно, в изучаемом периоде в среднем ежеквартально прибыль предприятия увеличилась на 1,625 млн. р.

в) среднегодовой темп роста

10,83%

Следовательно, в изучаемом периоде ежеквартально темп роста в среднем составлял 108,3%.

г) средний темп прироста 108,3-100=8,3%.

Следовательно, в среднем ежеквартальный темп прироста прибыли составлял 8,3%.

Прогноз прибыли на 1 кв. следующего периода составим на основе выявления основной закономерности изменения прибыли в прошедшем периоде, для чего используем трендовую модель по уравнению прямой: ,

гдепрогнозный уровень

«а» и «в»- параметры уравнения

t - порядковый номер на периоде.

Параметры «а» и «в» определяем способом наименьших квадратов из следующей системы уравнений:

где y- фактическая прибыль по периодам

n- число уровней.

Решение оформим табл. 12.

Таблица 12

Периоды	Прибыль в млн. р. у	Порядковый номер периода t	уt				(y-
4 квартал предыдущего года	17,3	1	17,3	1	17,86	0,56	0,3136
1 кв.	19,8	2	39,6	4	19,41	0,39	0,1521
2 кв.	21,6	3	64,8	9	20,96	0,64	0,4096
3 кв.	22,3	4	89,2	16	22,51	0,21	0,0441
4 кв.	23,8	5	119,0	25	24,06	0,26	0,0676
Итого:	104,8	15	329,9	55	104,8	-	0,987

Решение:

5а+15в=104,8

15а+55в=329,9

329,9

314,4-45в+55в=329,9

10в=15,5

в=1,55 16,31

Следовательно, 16,31+1,55t

Так как 1 кв. следующего года имеет порядковый номер квартала- 6, то прибыль (прогнозная) составит

16,31+25,61 млн. р.,

где 6 - порядковый номер прогнозного периода.

Используя приведенное уравнение, рассчитаем для каждого периода теоретическое значение прибыли (результаты см. в табл. 12).

У нас 104,8, что подтверждает правильность расчетов.

Но это точечный прогноз. Однако фактическое значение всегда будет сколько-нибудь отличаться от этой величины, поэтому надо определить доверительные интервалы прогноза ()

,

где s-среднее квадратическое отклонение от тренда;

- табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости а.

,

где 1) -фактические и теоретические уровни;

2) m- число параметров в уравнении тренда (m=2).

- берем из табл. 12.

0,5736

Относительная ошибка уравнения

4,3%

Следовательно, ошибка невелика и составляет чуть более 4%.

при уровне значимости 5% (что соответствует вероятности 0,95) и числе степеней свободы (n-m)=3 равно 3,182 (по таблице Стьюдента).

,

тогда 25,61-0,8225,61+0,82

24,7926,43

С вероятностью 0,95 можно утверждать, что прибыль предприятия № 5 в 1 квартале следующего года будет находиться в пределах от 24,79 млн. р. до 26,43 млн. р.

Применение методов наименьших квадратов для обработки рядов динамики не требует выдвижения никаких предположений о законах распределения исходных данных. Однако при использовании метода наименьших квадратов для обработки связных рядов следует учитывать наличие автокорреляции.

Наиболее распространенным примером выявления наличия автокорреляции в отклонениях от тренда, является использование критерия Дарбина-Уотсона, который рассчитывается по формуле

Эмпирическое правило гласит, что если критерии Дарбина-Уотсона находится в пределах до 2,5 , то не существует автокорреляции.

Расчет критерия Дарбина-Уотсона произведем в табл. 13.

Таблица 13

Периоды
IV кв. предыд. г	17,3	17,86	- 0,56	0,39	0,3136	0,95	0,9025
I квартал	19,8	19,41	0,39	0,64	0,1521	0,25	0,0625
II квартал	21,6	20,96	0,64	- 0,21	0,4096	- 0,85	0,7225
III квартал	22,3	22,51	- 0,21	- 0,26	0,0441	- 0,05	0,0025
IV квартал	23,8	24,06	- 0,26	-	0,0676	-	-
Итого	104,8	104,8			0,987		1,69

Так как коэффициент Дарбина-Уотсона находится в пределах до 2,5 (DW = 1,71), то отклонение уровней от тенденции (так называемые остатки) случайны и нет оснований утверждать, что не выполняются условия, выполнение которых предполагалось при оценивании уравнения тренда, и, следовательно, нет оснований для дополнительных исследований.