7. Переменные ренты, конверсия рент

Переменные ренты – ренты, размеры платежей которых изменяются во времени. Платежи переменных рент изменяются по каким-то установленным законам или условиям. Формулы для расчета наращенной суммы и современной стоимости переменных рент представлены в приложении К

Пример 1. Платежи по контракту образуют ежегодный регулярный денежный поток, первый платеж составляет 1500 грн., последующие платежи увеличиваются каждый год на 500 грн. Срок контракта 3 года, начисление процентов осуществляется по ставке 20 % годовых. Определить сумму, за которую может быть выкуплен этот контракт в момент заключения договора и выплаченную сумму контракта по окончании срока операции.

Решение:

Данный денежный поток будем рассматривать как ренту с первым платежом 1500 грн., с постоянным абсолютным изменением платежей в размере 500 грн.

1. Сумма, за которую может быть выкуплен контракт в момент заключения договора – современная стоимость ренты с постоянным абсолютным изменением платежей, формула для расчета которой приведена в приложении К. Коэффициент приведения PVIFA_3.20=2.106481 найден по таблице приложения З.

4085,65 грн.

2. Выплаченная сумма контракта по окончании срока операции – наращенная сумма ренты с постоянным абсолютным изменением платежей, формула для расчета которой приведена в приложении К. Коэффициент наращения FVIFA_3.20= 3,64 найден по таблице приложения З.

7060 грн.

Таким образом, данный контракт может быть выкуплен за 4085,65 грн., выплаченная сумма контракта составит 7060 грн.

Пример 2. Платежи по контракту образуют регулярный денежный поток, первый платеж составляет 1500 грн., последующие платежи уменьшаются каждые полгода на 10 %. Срок контракта 3 года, начисление процентов осуществляется по ставке 20 % годовых. Определить сумму, за которую может быть выкуплен этот контракт в момент заключения договора и выплаченную сумму контракта по окончании срока операции.

Решение:

Данный денежный поток будем рассматривать как p-срочную ренту с первым платежом 1500 грн. и постоянным относительным изменением платежей в размере на 10 %, т.е. q=0.9.

1. Сумма, за которую может быть выкуплен контракт в момент заключения договора – современная стоимость p-срочной ренты с постоянным относительным изменением платежей, формула для расчета которой приведена в приложении К.

5314,43 грн.

2. Выплаченная сумма контракта по окончании срока операции – наращенная сумма p-срочной ренты с постоянным относительным изменением платежей, формула для расчета которой приведена в приложении К.

9183,34 грн.

Таким образом, данный контракт может быть выкуплен за 5314,43 грн., выплаченная сумма контракта составит 9183,34 грн.

Постоянная непрерывная рента используется в случаях, когда отдача от инвестиций происходит так часто, что поток можно считать как непрерывный. Коэффициент приведения такой ренты вычисляется как предельное значение коэффициента приведения p–срочной ренты, проценты начисляются дискретно или непрерывно. Формулы для расчета наращенной и современной стоимости постоянных непрерывных рент приведены в приложении Л.

Пример 3. Ожидается, что доходы от эксплуатации месторождения газа составят 100000 грн. в год, продолжительность разработки 5 лет, отгрузка и реализация продукции непрерывны и равномерны. Определить дисконтированную стоимость месторождения, если для расчетов используется ставка 15 % годовых.

Решение:

Дисконтированная стоимость месторождения определяется как современная стоимость постоянной непрерывной ренты по формуле из приложения Л.

359771,2 грн.

Таким образом, дисконтированная стоимость месторождения составляет 359771,2 грн.

Часто поступление денег и наращение процентов осуществляется непрерывно, коэффициенты наращения и приведения таких рент будут следующими:

;

.

Значения коэффициентов наращения и приведения непрерывных рент приведены в приложении М.

Пример 4. За какой срок наращенная сумма ренты вырастет в 3 раза по сравнению с годовой суммой взносов, если платежи осуществляются непрерывно и равномерно в течение года и на них начисляются проценты непрерывно по силе роста 15 % годовых?

Решение: Из формулы наращенной суммы непрерывной ренты с начислением процентов непрерывно, выразим срок операции, по условиям примера FVA=3R:

2,48 лет.

Таким образом, наращенная сумма вырастет по сравнению с годовым платежом в 3 раза через 2,48 года.

Конверсия рент - это изменение первоначальных условий контрактов по взаимной договоренности сторон. Предполагается, что конверсия не должна приводить к изменению финансовых последствий для каждой из участвующих сторон, поэтому конверсия основывается на принципе эквивалентности.

Пример 5. При покупке оборудования был заключен контракт, по которому покупатель обязался выплачивать ежеквартально по 2000 грн. в течение года. Этот контракт продан банку. Какую сумму заплатит банк за данный контракт, если контракт продан сразу после заключения договора, а банк начисляет проценты ежеквартально по ставке 20 % годовых?

Решение: По контракту банк получает p-срочную ренту (p=4) с начислением процентов ежеквартально (т.е. m=p=4) сроком на год, за эту ренту необходимо выплатить ее современную стоимость, которая может быть вычислена по формуле, приведенной в приложении Е.

Коэффициент приведения из таблицы приложения З 3,545951

PVA=2000*3,545951=7091,9 грн.

Таким образом, за данный контракт банк заплатит 7091,9 грн., при этом получит доход 2000*4 -7091,9=908,1 грн.

Объединение финансовых рент осуществляется на основе равенства текущих стоимостей.

Пример 6. Фирме требуется объединить 3 финансовые ренты в одну ренту сроком 2 года, платежами по полугодиям и начислением процентов один раз в год по ставке 20 % годовых, поток платежей объединенной ренты откладывается на 3 месяца. Условия объединяемых рент следующие:

1 рента – сроком на 2 года, ежеквартальными платежами по 500 грн., ежеквартальным начислением процентов по ставке 16 % годовых;

2 рента – сроком на 3 года, включая отсрочку на год, ежемесячными платежами по 200 грн. и начислением процентов один раз в год по ставке 18 % годовых;

3 рента – сроком на год, ежемесячными платежами по 300 грн. ежемесячным начислением процентов по ставке 24 % годовых.

Определить величину платежа объединенной ренты.

Решение:

Определим современные стоимости объединяемых рент.

1. Современная стоимость первой ренты p-срочной с начислением процентов m раз в год (p=m=4) на момент объединения:

6,732745=3366,37 грн.

2. Современная стоимость второй ренты p-срочной с начислением процентов один раз в год на момент окончания отсрочки:

4111,4 грн.

К моменту объединения рент современная стоимость этой ренты определяется дисконтированием:

3484,24

3. Современная стоимость третьей ренты p-срочной с начислением процентов m раз в год (p=m=12 на момент объединения:

10,57534=3172,6 грн.

4. Современная стоимость объединенной ренты к моменту объединения:

PVA=PVA₁+PVA₂+PVA₃=3366,37+3484,24+3172,6=10023,21 грн.

Современная стоимость объединенной ренты к концу отложенного периода:

PVA=10023,21*(1+0.2)=10490,64 грн.

Платеж объединенной ренты:

⁼ 631,72 грн.

Таким образом, месячный платеж объединенной ренты равен 631,72 грн.

Пример 7. Строительная фирма предлагает клиентам в новом доме квартиры стоимостью 100000 грн.. Варианты оплаты следующие:

1. Для молодых семей 15 % аванс, а остаток стоимости по льготному кредиту на 20 лет под 10 % годовых, платежи осуществляются равными суммами в конце года.

2. Аванс 15 %. Остальная сумма выплачивается в кредит сроком на 5 лет под номинальную ставку 24 % годовых. Проценты начисляются и платежи осуществляются ежемесячно.

3. Аванс 10 %. Предусмотрена отсрочка платежей сроком на один год, оставшаяся сумма выплачивается в течение 4 лет в начале квартала равными платежами с начислением процентов ежеквартально по номинальной ставке 20 % годовых.

Рассчитать финансовые последствия предложенных вариантов.

Решение:

Для определения финансовых последствий предложенных вариантов необходимо рассчитать наращенные суммы по каждому варианту.

1 вариант.

Стоимость кредита P=100000*0,85=85000 грн.

Погашение кредита рассматриваем в виде годовой ренты постнумерандо, поэтому величину ежегодного платежа определяем по формуле:

грн.

Наращенная сумма финансовой ренты:

571839,22 грн.

С учетом аванса:

FVA=571839,22+100000*0,15*(1+0,1)²⁰= 672751,7 грн.

2 вариант.

Стоимость кредита P=100000*0,85=85000 грн.

Погашение кредита рассматриваем в виде p–срочной ренты постнумерандо c начислением процентов m раз в году (p=m=12), поэтому величину ежегодного платежа определяем по формуле:

2445,28 грн.

Наращенная сумма финансовой ренты:

грн.

С учетом аванса:

FVA=278887,95+100000*0,15*(1+0.24/12)^5*12=328103,4 грн.

3 вариант.

Стоимость кредита P=100000*0,9=90000 грн.

Стоимость кредита на момент отсрочки:

P=90000*(1+0,2/4)⁴=109395,6 грн.

Погашение кредита рассматриваем в виде p–срочной ренты пренумерандо c начислением процентов m раз в году (p=m=4), поэтому величину ежегодного платежа на момент отсрочки определяем по формуле:

9092,.4 грн.

Наращенная сумма финансовой ренты:

FVA=9092,4*21,57856*1,05¹⁶=428282 грн.

С учетом аванса:

FVA= 428282 + 100000*0,1*1,05²⁰=454814,9 грн.

Таким образом, наименьшие финансовые последствия у 2 варианта. т.к. наращенные суммы следующие: 1 вариант - 672751,7 грн., 2 вариант – 328103,4 грн., 3 вариант- 454814,9 грн.

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Виды переменных рент.

2. Ренты с постоянным абсолютным приростом платежей.

3. Ренты с относительным приростом платежей.

4. Виды конверсий рент.

5. Расчет параметров конверсионных рент.

Задачи

1. Пусть PVA — современная величина немедленной (момент оценки современной величины совпадает с началом ренты) годовой финансовой ренты пренумерандо, вычисленная при условии, что ставка процента равна i, а период его начисления совпадает с периодом выплат. Определить:

а) современную величину PVA_t отложенной на на t периодов ренты;

б) определить, как соотносятся современные величины рент с выплатами в начале (PVA) и в конце (PVA₁) периода.

2. Определить, за какой срок наращенная сумма увеличится в 5 раз по сравнению с годовой суммой взноса, если платежи осуществляются непрерывно и равномерно, а на взносы начисляются непрерывные проценты, сила роста равна 18 %.

3. Оформляется контракт, по которому выплачивается 500 грн. в конце каждого месяца первого года, 450 грн. в конце каждого месяца второго года, и т.д. Ежемесячные платежи каждого последующего года на 50 грн. меньше ежемесячных платежей предыдущего года в течение 10 лет. Найти настоящую стоимость этого контракта, если деньги стоят 24 % годовых, проценты начисляются ежемесячно.

4. Магазин продал бытовую технику, заключив контракт, по которому покупатель обязался выплачивать ежемесячно по 500 грн. в течение 2-х лет. Этот контракт продан банку, который за ссуженные деньги получает ежемесячные проценты по ставке 24 % годовых. Какую сумму заплатит банк хозяину магазина за данный контракт, если а) контракт продан сразу после заключения договора; б) контракт продан после уплаты за 2 месяца?

5. В фонд погашения долга средства поступают в виде ежегодной ренты постнумерандо в течение 5 лет (срок погашения долга). Платежи каждый год увеличиваются на 5000 грн. Размер долга на момент его погашения равен 100000 грн., на взносы начисляются проценты по ставке 17 % годовых. Разработать план создания фонда.

6. Участок земли сдан в аренду на 15 лет. Арендная плата должна перечисляться следующим образом: первые 5 лет – по 5000 грн. ежемесячно; в следующие 5 лет – годовыми платежами, причем первый платеж составляет 50000 грн., остальные увеличиваются на 2500 грн. ежегодно; оставшиеся 5 лет погашение производится ежегодными платежами, которые возрастают на 7 % ежегодно, причем первый платеж данного периода составляет 45000 грн.. Определить текущую и наращенную стоимость контракта, при использовании нормы процентов 16 % годовых.

7. Городское метро собирает 100000 жетонов (каждый жетон стоит 3 грн.) в течение каждого дня практически непрерывным потоком. Найти настоящую стоимость этих поступлений в течение 365 дней, если деньги стоят 13 % .

8. Гражданин в течении 5 лет ежеквартально должен был выплачивать 500 грн., погашая взятую ссуду. В связи с отъездом за границу через 2 года, он попросил пересчитать величину ежеквартальной выплаты, чтобы успеть рассчитаться. Ставка процентов в банке – 20 % годовых, начисляемых ежеквартально. Определить новую величину ежеквартальной выплаты.

9. Определить платежи по аннуитету при сохранении срока, если годовой аннуитет по 10 000 грн. в год заменяют на эквивалентный аннуитет, выплачиваемый: а) поквартально, б) помесячно, в) через каждые полгода, при использовании процентной ставки 18 % годовых.

10. По контракту необходимо выплачивать 200 грн в конце каждых 2-х месяцев в течение 3-х лет. Найти эквивалентную наличную сумму такого контракта, если деньги стоят j₁₂=24 %.

11. Дом, оцененный за 120000 грн. продается за 20000 грн наличными с последовательными одинаковыми годовыми платежами в течение последующих 5 лет. Какими должны быть платежи при норме процентов а) начисление один раз в год по ставке 24 % годовых, б) начисление ежемесячное по ставке 24 % годовых?

12. Три ренты постнумерандо – годовые, начинающиеся одновременно, заменяются одной отложенной на три года рентой постнумерандо. Согласно договоренности заменяющая рента имеет срок 10 лет, включая отсрочку. Характеристики заменяемых рент: платежи соответственно 100 грн, 120 грн., 300 грн, сроки этих рент 6, 11, 8 лет. Ставка сложных процентов годовых 20 %. Определить размер платежа заменяющей ренты.

13.. Ожидается, что прирост доходов составит 5 % в год. Определить современную стоимость и наращенную сумму доходов за 3 года, если прогнозируемая сумма 1-го года — 1200 грн., а процентная ставка – 17 % годовых.

14. Требуется объединить три финансовые ренты в одну с квар­тальными платежами и квартальным начислением процен­тов. Срок объединенной ренты - 2 года. Номинальная про­центная ставка – 24 %. Платежи объединенной ренты откла­дываются на полгода. Условия объединения рент приведены в таблице 7.1., где m и р - число периодов начисления процентов и платежей в году; j - номинальные процентные ставки ренты; t - продолжительность периода, на который отклады­ваются денежные платежи, R - разовые рентные платежи. Определить платеж объединенной ренты.

Таблица 7.1 – Параметры объединяемых рент

№ ренты	Срок ренты, n	m	p	t, лет	R, грн	J %
1	1	4	4	0	1800	20
2	2	6	6	0	2400	24
3	3	12	2	1	3000	24

15. На модернизацию предприятия получен долгосрочный кредит сроком на 10 лет, погашение которого будет производиться на следующих условиях: в первые пять лет платежи в размере 5000 грн. вносятся каждые полгода под 18 % годовых, следующие три года платежи в размере 6000 грн. вносятся также по полугодиям под 19 % годовых. Последние два года платежи в размере 6500 грн. вносятся ежеквартально под 20 % годовых. В течение всего срока ренты проценты начисляются один раз в год. Определить сумму полученного кредита.

16. Вкладчик в течение 5 лет в начале каждого полугодия вкладывает в банк по 1000 грн. В конце 2-го года он берет из банка 2000 грн., а в конце 4-го года берет еще 3000 грн. Определить, какую сумму будет иметь вкладчик в конце 5-го года при процентной ставке 16 % и полугодовой капитализации.

17. Анализируются два варианта накопления средств по схеме аннуитета пренумерандо: 1 вариант - размещать на депозит сумму в размере 1500 грн. каждый квартал при условии, что банк начисляет 20 % годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов; 2 вариант - производить ежегодный вклад в размере 6000 грн. на условиях 22 % годовых при ежегодном начислении сложных процентов. Определить:

а) какая сумма будет на счете через 5 лет при реализации каждого варианта, какой вариант более предпочтителен;

б) как изменится выбор, если процентная ставка во втором варианте будет увеличена до 24 % годовых.

18. Иванов занял 1000 грн. 1 июля и такую же сумму 1 августа. Он хочет выплатить эти долги за год одинаковыми ежемесячными платежами, начиная с 1 ноября. Определить, какими должны быть платежи при условии начисления процентов ежемесячно по ставке 20 % годовых.

19. Определить: а) сколько ежеквартальных платежей (целое число) по 3000 грн. потребуется, чтобы выплатить покупку автомобиля стоимостью 45000 грн, если выплачивается 8000 грн. наличными в момент покупки и проценты начисляется ежемесячно по 24 % годовых; б) каким будет завершающий платеж при расчете целого числа ежеквартальных платежей.

20. Есть возможность положить деньги на депозитный вклад сроком на 1 год: а) на пенсионный вклад под 21 % годовых с ежемесячной капитализацией процентов и ежемесячным пополнением счета равными суммами; б) на накопительный вклад с ежеквартальной капитализацией процентов по ставке 21,5 % годовых и ежемесячным пополнением счета такой же суммой. Определить, какой вариант предпочесть.

21. Предлагается сдать в аренду участок на 5 лет. Имеются следующие варианты оплаты аренды:

1) 10000 грн. в конце каждого года,

2) 50000 грн. в конце последнего года,

3) 8000 грн. в начале каждого года.

Определить, какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 21 % годовых с ежемесячной капитализацией.

22. Сравнивается два варианта строительства торгового комплекса. Первый вариант требует разовых вложений в сумме 40000 грн и ежегодных вложений по 20000 грн. Второй – разовые затраты на создание равны 50000 грн. и ежегодные взносы по 15000 грн. Продолжительность инвестиций 3 года, процентная ставка 22 % годовых с ежемесячной капитализацией. Определить, какой вариант вложений выгоднее.

23. Финансовая рента постнумерандо с ежегодными платежами 3000 грн., сроком на 5 лет, откладывается на 2 года без изменения сумм платежей. Определить при использовании годовой процентной ставки 20 %:

а) срок отложенной ренты;

б) при дробном числе срока, каким образом результат может быть сбалансирован при корректировки срока до целого числа.

Тесты

Возможно несколько вариантов ответов

1. По размеру платежа ренты делятся на:

a) постоянные;

b) переменные;

c) непрерывные;

d) временные.

2. Нерегулярные потоки платежей характеризуются присутствием нерегулярного параметра:

a) периода ренты;

b) размера платежа;

c) процентной ставки

3. Наращенная сумма обычной ренты с постоянным абсолютным изменением членов ренты во времени определяется по формуле:

a);

b) ;

c) ;

d) .

4. Наращенная сумма ренты пренумерандо с постоянным абсолютным изменением членов ренты во времени определяется по формуле:

a);

b) ;

c) ;

d) .

5. Переход от дискретных платежей постнумерандо к непрерывным:

a) увеличивает коэффициент наращения;

b) увеличивает коэффициент приведения;

c) уменьшает коэффициент наращения;

d) уменьшает коэффициент приведения.

6. Расчет параметров конверсионных рент основывается на:

a) эквивалентности процентных ставок;

b) на принципе эквивалентности финансовых обязательств;

c) эффективной процентной ставке.

7. Если рента заменяется единовременным платежом, то такой вид конверсии называется:

a) рассрочкой платежей;

b) выкупом ренты;

c) консолидацией рент;

d) отсрочка платежа.

8. При объединении аннуитетов ренты могут быть:

a) только с одинаковыми сроками;

b) с любыми условиями;

c) только с одинаковой первоначальной суммой;

d) только с разными сроками. 9. Для решения задачи о рассрочке платежей:

a) приравниваем современную стоимость ренты, с помощью которой производится рассрочка, к сумме долга;

b) приравниваем современную стоимость ренты к процентам долга;

c) размер суммы рассрочки должен быть больше современной стоимости ренты;

d) процентная ставка должна удовлетворять все участвующие стороны и иметь одну современную стоимость платежа.