5. Эквивалентность процентных ставок и обязательств

Эквивалентная процентная ставка – это ставка, которая для рассматриваемой финансовой операции даст точно такой же денежный результат (наращенную сумму или современную стоимость), что и применяемая в этой операции процентная ставка.

Определение эквивалентной ставки основывается на приравнивании множителей наращения или дисконтированием для различных вариантов начисления процентов.

Пример 1. Каковы будут эквивалентные номинальные процентные ставки с полугодовым и ежемесячным начислением процентов, если соответствующая им эффективная ставка должна быть равна 25 %?

Решение:

1.Находим номинальную ставку из формулы (3.4):

j = m*[(1 + i)^{1 / m} - 1]

2. Рассчитываем номинальную ставку для полугодового начисления процентов:

j=2*[(1+0.25)^1/2-1]=0,2361

3. Рассчитываем номинальную ставку для ежемесячного начисления процентов:

j = 12*[(1 +0,25i)^{1 /12} - 1] = 0,2252.

Таким образом, номинальные ставки 23,61 % с полугодовым начислением процентов и 22,52 % с ежемесячным начислением процентов являются эквивалентными.

Пример 2. Найти оптимальный вариант для размещения капитала на 4 года либо под сложную процентную ставку 18 % годовых с полугодовым начислением процентов, либо под простую процентную ставку 22 % годовых.

Решение:

Составляем уравнение эквивалентности в виде равенства коэффициентов наращения по простой и сложной процентным ставкам:

(1+i*n)=(1+j/m)^m*n

Находим для сложной процентной ставки эквивалентную простую ставку:

i = [(1 + j / m)^{m* n} - 1] / n = [(1 + 0,18 / 2)^{2 • 4} - 1] / 4 = 0,2481.

Таким образом, эквивалентная сложной ставке по первому варианту простая процентная ставка составляет 24,81 % годовых, что выше предлагаемой простой ставки в 22 % годовых по второму варианту, следовательно, выгоднее разместить капитал по первому варианту, т.е. под 18 % годовых с полугодовым начислением процентов.

В практической деятельности часто возникает необходимость изменения условий ранее заключенного контракта – объединение нескольких платежей или замене единовременного платежа рядом последовательных платежей. Естественно, что в таких условиях ни один из участников финансовой операции не должен иметь убыток, вызванный изменением финансовых условий, поэтому изменение условий контрактов базируется на принципе финансовой эквивалентности платежей. Эквивалентными считаются такие платежи, которые будучи приведенными к одному моменту времени, оказываются равными. Приведение осуществляется путем дисконтирования (приведение к более ранней дате) или наращения суммы платежа (если эта дата относится к будущему). Решение подобных задач сводится к построению уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенная к какому-то одному моменту времени, приравнена к сумме платежей по новому обязательству, приведенному к тому же моменту времени.

На принципе эквивалентности платежей основывается сравнение разновременных платежей, рассмотренное в примерах 3 и 4 данного раздела.

Пример 3. Можно ли считать равноценными два обязательства со следующими условиями: первое – выплатить 15000 грн. через 4 месяца, второе – выплатить 18000 грн через 6 месяцев. Для сравнения использовать простую процентную ставку 20 % годовых.

Решение:

Для сравнения обязательств, рассчитаем современную стоимость каждого на начало операции по формуле (4.1).

PV₁=15000*(1+0.2)^-4/12 = 14115.54 грн.

PV₂=18000*(1+0.2)^-6/12 = 16431.68 грн.

Таким образом, сравниваемые обязательства не являются эквивалентными при заданной ставке.

Пример 4. Клиент положил в банк на текущий счет 1000 грн, Банк выплачивает проценты ежемесячно по ставке 2 % годовых. Через месяц клиент положил на счет 500 грн., через 2 месяца снял 400 грн., а через 6 месяцев после этого закрыл счет. Какую сумму клиент получил при закрытии счета?

Решение:

В соответствии с принципом эквивалентности платежей, суммарная современная стоимость снятых со счета денег равна современной стоимости вложенных денег, т.е.

1000+500*(1+0,02/12)^-12*1/12=400*(1+0,02/12)^-12*2/12+X*(1+0.02/12)^-2*8/12,

где X – сумма при закрытии счета.

Из этого уравнения находим X= 1115,26 грн.

Таким образом, при закрытии счета клиент получил 1115,26 грн.

Консолидация (объединение) платежей предполагает замену платежей S₁, S₂, S₃,…. S_k со сроками n₁ n₂,n₃,…..n _k одним в сумме S₀ и сроком n₀ . Для решения этой задачи составляется уравнение эквивалентности в виде равенства суммы объединенного платежа (S₀) сумме наращенных и дисконтированных платежей по первоначальным условиям. Размер консолидированного платежа определяется по следующим формулам:

а) простые проценты

(5.1)

б) сложные проценты

(5.2)

где S_j – размеры объединяемых платежей со сроками n_j < n₀,

S_k – размеры объединяемых платежей со сроками n_k > n₀,

Пример 5. Решено консолидировать два платежа со сроками 20.04 и 10.05 и суммами платежа 20000 грн и 30000 грн. соответственно. Срок консолидации платежей 31.05. Определить сумму консолидированного платежа при условии, что ставка равна 15 % простых годовых и временная база 360 дней.

Решение:

Определим временной интервал между сроками

1. первого платежа и консолидированного платежа:

t₁= 11(апрель) + 31(май) - 1 = 41 день;

2. второго платежа и консолидированного платежа:

t₂ = 22(май) - 1 = 21 день.

3. Сумму консолидированного платежа определим по формуле (5.1):

S_0.= 20000 * (1 + 0,15*41/360 )+30000 * (1 + 0,15*21/360) = =50604,17 грн.

Таким образом, консолидированный платеж со сроком 31.05 составит 50604,17 грн.

Срок объединенного платежа определяется по следующим формулам:

а) простые проценты

(5.3)

б) сложные проценты

(5.4)

где PV – современная стоимость объединяемых платежей.

Пример 6. Платежи в сумме 5000 грн. и 7000 грн. и сроками уплаты через 6 месяцев и один год объединяются в один суммой 13000 грн. Определить срок консолидированного платежа, если при консолидации используется сложная процентная ставка 17 % годовых.

Решение:

1. Определим современную стоимость объединяемых платежей:

PV= 5000* (1+0,17)^-6/12 + 7000*(1+0,17)^-1= 10605,41

2. Срок консолидированного платежа определяем по формуле (5.4):

1,3 года

Таким образом, платежи можно объединить в один с уплатой через 1,3 года.

Существуют различные варианты изменения условий финансового соглашения, и, в соответствии с этим. и многообразие уравнений эквивалентности. В общем виде уравнения эквивалентности при использовании сложной процентной ставки имеют следующий вид:

(5.5)

где S_q и p_q – платежи и сроки, в которые должны быть произведены эти платежи, по новым условиям договора;

R_k и t_k - платежи и сроки, в которые должны быть произведены эти платежи, по старым условиям договора;

v=1+i – если соответствующие платежи производятся ранее момента, к которому приводятся платежи;

v=(1+i)^-1 если соответствующие платежи производятся позднее момента, к которому приводятся платежи.

Пример 7. Две суммы 6000 грн. и 8000 грн. должны бать выплачены 1 ноября текущего года и 1 февраля следующего не високосного года. Обе стороны договора согласились пересмотреть порядок выплат следующим образом: 1 декабря выплачивают 7000 грн, остаток долга гасится 1 марта. Найти сумму погашающего остатка, если расчет осуществляется при ставке простых процентов, равной 18 % и временной базе K=365.

Решение:

За современный момент (дата операции, к которой будут приводится все платежи) возьмем момент выплаты 8000 грн. 1 февраля следующего года. Уравнение эквивалентности будет следующего вида: 6000*(1+0,18*94/365)+8000=7000*(1+0,18*61/365)+S*(1+0,18*28/365)^-1

Отсюда S= 7165,15 грн.

Таким образом, сумма погашающего платежа составит 7165,15 грн.

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Эквивалентность простых процентных и учетных ставок.

2. Эквивалентность сложных процентных и учетных ставок.

3. Составление уравнения эквивалентности процентных и учетных ставок.

4. Определение суммы и срока консолидированного платежа.

5. Общая задача изменения условий контракта.

Задачи

1. Банк начисляет на вложенные в него деньги проценты по ставке j₄ = 16 % и собирается перейти к непрерывному начислению процентов. Какую силу роста должен установить банк, чтобы доходы клиентов не изменились?

2. Определить при какой номинальной ставке j₄ деньги удваиваются через 12 лет?

3. Сумма денег инвестируется при j₄ = 18 % на один год. Определить, какая ставка j₁₂ накопила бы такую же сумму в конце года?

4. Коммерческий банк предлагает по депозитному вкладу следующие простые процентные ставки:

а) 15 % при сроке вклада 1 месяц;

б) 16 % при сроке вклада 3 месяца;

в) 17 % при сроке вклада 6 месяцев.

Рассчитать эквивалентные данным простым ставкам ставки сложных процентов при ежегодной капитализации.

5. Банк учитывает вексель за 60 дней до срока его оплаты по простой учётной ставке d = 22 %. Определить сложную учётную ставку, которую должен установить банк, чтобы доход банка не изме­нился при временной базе 365 дней и начисление процентов один раз в год.

6. Банк учитывает вексель по учётной ставке f₄ = 16 % и желает перейти к сложной учётной ставке d. Определить величину сложной учетной ставки, чтобы доход банка не изменился.

7. Определить ставку сложных процентов, эквивалентную ставке: а) j₂= 16 %, б) j₆= 18 %, в) j₁₂ = 20 %, г) σ = 15 %.

8. «Дельтабанк» предлагает частным лицам денежный вклад на год, доход по которому составляет за первые 2 месяца 15 % годовых, за следующие 2 месяца – 15,5 %, за следующие 5 месяцев – 16 %, за последние 3 месяца – 17 % годовых. Определите эффективную процентную ставку при размещении денег на год под указанные простые и сложные проценты. В последнем случае начисление процентов ежемесячное.

9. Реклама одного коммерческого банка предлагает 18 % годовых при ежемесячном начислении процентов. Другой коммерческий банк предлагает 19 % годовых при ежеквартальном начислении процентов. Срок хранения вклада – 12 месяцев. Какому банку отдать предпочтение?

10. Сопоставьте условия четырех банков при сроке депозита 1 год: а) проценты простые и процентная ставка 18,5 %; б) номинальная процентная ставка – 17 % годовых, начисление процентов происходит по полугодиям; в) номинальная процентная ставка – 17,5 %, начисление процентов поквартальное; г) номинальная процентная ставка – 18 %, начисление процентов ежемесячное.

11. Предприятие получило кредит на год под номинальную процентную ставку 21 % простых годовых. Комиссионные составляют 3 % от суммы кредита. Определите эффективную процентную ставку при начислении сложных процентов: а) один раз в год, б) ежеквартально, в) ежемесячно.

12. Определить реальную процентную ставку, если номинальная процентная ставка составляет 19 %, а темп инфляции определен в 9 % в год.

13. Мебельная фабрика продает товары по одной из следующих схем:

1. 25 % скидка цены при покупке наличными;

2. 20 % стоимости наличными и остальное в виде 12 одинаковых ежемесячных платежей. Определить, какая эффективная процентная ставка делает эти схемы эквивалентными.

14. Определить, какова современная ценность 10000 грн., если: а) эта сумма будет получена через 3 года 6 месяцев, б) эта сумма была получена 2 года 9 месяцев тому назад, в) эта сумма получена в настоящий момент времени. Стоимость денег – 18 % сложных годовых.

15. Сравниваются два платежа: 20000 грн. с выплатой через 2 года, и 30000 грн. с выплатой через 4 года. Можно ли считать их равноценными? При расчете применить ставку сложных процентов 20 % годовых.

16. Клиент положил в банк, выплачивающий проценты по годовой ставке 15% сложных сумму 12000 грн. Через 1 год 6 месяцев он снял со счёта 4500 грн., а ещё через 2 года положил на свой счёт 2 000 грн. После этого, через 3 года 6 месяцев, он закрыл счёт. Определить, какую сумму получил клиент при закрытии счета.

17. Фермер приобрёл трактор, который стоит 120000 грн. под 19 % сложных годовых. Через 1 год 6 месяцев он уплатил 70000 грн., а ещё через 6 месяцев полностью пога­сил долг и проценты. Определить, какую сумму фермер выплатил при погашении долга.

18. Строительный комбинат продаёт коттеджи стоимостью 180000 грн., предоставляя покупателям кредит под 22 % годовых (слож­ных). Фирма приобрела коттедж, выплатив 20000 грн. через 3 месяца после покупки, 30000 грн. - ещё через 6 месяцев, 10000 грн. - в конце первого года с момента покупки и погасила весь долг через 1.5 года с момента покупки. Определить, какую сумму составил последний платёж.

19. Покупатель обязался уплатить фермеру за купленное у него зерно 35000 грн. через 2 месяца после покупки, 30000 грн. ещё через 2 месяца и 52000 грн. ещё через 3 месяца. Стороны договорились объединить эти платежи в один и выплатить его через 5 месяцев после покупки. Определить сумму объединенного платежа, если на деньги начисляется 18 % простых годовых.

20. Покупатель обязался уплатить фермеру за купленное у него зерно 55000 грн. через 2 месяца после покупки, 10000 грн. ещё через 2 месяца и 20000 грн. ещё через 3 месяца. Стороны договорились объединить эти платежи в один и выплатить его одним платежом, равным 100000 грн., при условии начисления процентов по сложной ставке 21 % годовых. Определить срок объединенного платежа, считая с момента покупки.

21. Покупатель обязался уплатить фермеру за купленное у него зерно 55000 грн. через 2 месяца после покупки, 10000 грн. ещё через 2 месяца и 20000 грн. ещё через 3 месяца. Стороны договорились изменить условия следующим образом: покупатель выплатит долг двумя равными уплатами через 3 и через 6 месяцев после покупки, при условии начисления процентов по ставке 20 % сложных годовых. Определить, какова должна быть величина этих уплат?

22. Три векселя номинальной стоимостью 3000 грн., 5000 грн. и 8000 грн. со сроками погашения через 210, 240 и 270 дней объединяются в один номинальной стоимостью 18000 грн. Объединение происходит по годовой ставке сложных процентов – 19 %. Найдите срок погашения объединенного векселя при временной базе 365 дней.

23. Четыре векселя номинальной стоимостью 2000 грн., 3000 грн., 3800 грн и 5000 грн. со сроками погашения через 38. 60, 80 и 140 дней требуется объединить в один со сроком погашения 100 дней. Объединение происходит: а) по ставке простых про­центов – 18 %, б) по ставке сложных процентов – 18 % годо­вых. Определить стоимость объединенного векселя при временной базе 360 дней.

24. Существует обязательство уплатить 10000 грн через один год. Стороны согласились изменить условия погашения обязательства следующим образом: через 2 месяца выплачивается 3000 грн, еще через 2 месяца 4000 грн., а оставшийся долг спустя год после последней выплаты. Определить сумму последнего платежа при условии, что перерасчет осуществляется по ставке сложных процентов равной 20 % годовых.

25. Должник обратился к своему кредитору (владельцу векселя) с просьбой об объединении двух векселей в один с одновременным продлением срока оплаты. Первый вексель выдан на сумму 15000 грн. со сроком 20.07, второй на сумму 20000 грн. со сроком уплаты 01.09 текущего года. Владелец векселя согласился на пролонгацию до 01.10 текущего года, применив сложную процентную ставку 20 % годовых. Найти сумму консолидированного векселя при временной базе 360 дней.

Тесты

Возможно несколько вариантов ответов

1. Эквивалентная процентная ставка – это:

a) ставка, которая для рассматриваемой финансовой операции даст такой же денежный результат, что и применяемая в этой операции ставка;

b) ставка, используемая в банковском учете;

c) ставка, при применении которой проценты начисляются на проценты;

d) ставка, с помощью которой разрабатывается уравнение эквивалентности финансовых обязательств.

2. Для определения эквивалентных процентных ставок составляется уравнение эквивалентности в виде:

a) равенства коэффициентов наращения;

b) равенства коэффициентов дисконтирования;

c) равенства сроков операций.

3. Эквивалентность ставки сложных процентов при начислении процентов один раз в год (i) и номинальной ставки (j) не зависят от:

a) срока операции;

b) частоты начисления процентов в году;

c) временной базы

4. Формула эквивалентности простых и сложных ставок:

a) ;

b) ;

c).

5. Сравнить результаты начисления в зависимости от срочности вклада, если годовые ставки начисления простого и сложного процента одинаковы:

a) сложный процент всегда выгоднее для вкладчика независимо от периода начисления;

b) для долгосрочных депозитов (больше года) сложный процент выгоднее простого;

c) для краткосрочных депозитов (меньше года) простой процент отстает от начисления сложного процента;

d) в пределах года простой процент выгоднее сложного.

6. Если при изменении условий контракта не соблюдается принцип эквивалентности, то:

a) ни одна из участвующих сторон не терпит убытка;

b) одна из участвующих сторон терпит убыток.

7. Уравнение финансовой эквивалентности обязательств связывает величины следующих типов:

a) суммы погашения и нормы процента;

b) суммы погашения и даты выплат;

c) суммы погашения, нормы процента и даты выплат.

8. Результат сравнения платежей при изменении условий контракта зависит от:

a) выбора размера процентной ставки;

b) выбора современного момента времени;

c) выбора метода начисления процентов.

9. Платежи считаются эквивалентными, если

a) они равны по абсолютной величине;

b) равны их современные величины;

c) платежи, будучи приведенными по одной и той же процентной ставке на один момент времени, оказываются равными;

d) они производятся в начале срока финансовой операции;

е) на них начисляются проценты по одной и той же процентной ставке.