3. Наращение по сложным процентным ставкам

Сложные проценты – это метод начисления, при котором сумма начисленных в каждом расчетном периоде процентов прибавляется к сумме капитала на начало расчетного периода и в следующем расчетном периоде начисление процентов производится на уже наращенную сумму. Процесс наращения некоторой суммы по сложным процентам называется капитализацией. Сложные проценты по декурсивному методу начисляются по формуле:

, (3.1)

где (1+i)ⁿ - коэффициент или множитель наращения. Для облегчения расчетов можно пользоваться таблицами коэффициентов наращения сложных процентов, которые приведены в приложении Б.

Пример 1. Банк ежегодно начисляет 18 % сложных. Клиент положил в банк 20000 грн. Какая сумма будет на счете через: а) 4 года; б) 5 лет и 3 месяца?

Решение:

По формуле (3.1) находим сумму, которая будет на счете клиента.

а) 38775,56 грн;

б) срок операции n= 5,25 лет

FV=20000*(1+0,18)^5.25= 47688,16 грн.

Таким образом, на счете клиента через 4 года будет сумма 38775,56 грн, через 5 лет и 3 месяца – 47688,16 грн.

В случае использования переменных процентных ставок, формула наращения имеет следующий вид:

(3.2)

где i_k – последовательные значения процентных ставок в соответствующие периоды времени n_k.

Пример 2. Фирма получила кредит в банке на сумму 10000 грн. сроком на 5 лет. Процентная ставка по кредиту определена в 17 % для 1-го года, для 2-го года предусмотрена надбавка к процентной ставке в размере 1,5 %, для последующих лет 1 %. Определить сумму долга, подлежащую погашению в конце срока займа.

Решение:

Используя формулу наращения сложных переменных процентных ставок (3,2):

FV = 10000 * (1 + 0,17) * (1 + 0,185) * (1+0,195)³ = 23659,63 грн.

Таким образом, сумма, подлежащая погашению в конце срока займа, составит, 23659,63 грн., из которых 10000 грн. являются непосредственно суммой долга, а 13659,63 грн. – проценты по долгу.

Период начисления процентов по сложным процентам не всегда равен году, однако в условиях финансовой операции указывается не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления – номинальная ставка. Формула сложных процентов при начислении процентов чаще одного раза в год имеет следующий вид:

FV=PV*(1 + j / m)^n*m , (3.3)

где j – номинальная годовая ставка процентов,

m – число периодов начисления процентов в году.

Пример 3. Сумма в размере 20000 грн. дана в долг на 4 года по ставке процента равной 18 % годовых с ежеквартальным начислением процентов. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату.

Решение:

Наращенная сумма, рассчитанная по формуле (3.3) составит:

FV =20000 *(1+0,18/4)^4*4= 40447,4 грн.

Проценты найдем по формуле:

=40447,4-20000=20447,4 грн.

Таким образом, через 4 года необходимо вернуть сумму в размере 40447,4 грн., из которой 20000 грн. является первоначальной суммой, взятой в долг, а 20447,4 грн. – сумма начисленных процентов.

Эффективная ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получен в целом за год, с учетом внутригодовой капитализации. Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и наращение m в год по ставке j:

(1 + i)ⁿ = (1 + j / m)^{m * n},

следовательно,

i=(1+ j / m)^m - 1. (3.4)

Пример 4. Рассчитаем эффективную ставку для финансовой операции, рассмотренной в предыдущем примере, а также для вклада при ежемесячном начислении процентов по годовой ставке 18 %.

Решение:

Эффективная ставка ежеквартального начисления процентов, исходя из 18% годовых, составит:

i = (1 + j / m)^m - 1 = (1 + 0,18 / 4)⁴ - 1 = 0,1925=19,25 %.

Эффективная ставка ежемесячного начисления процентов будет равна:

i = (1 + j / m)^m - 1 = (1 + 0,18 / 12)¹² - 1 = 0,1956=19,56 %.

Таким образом, годовая ставка, эквивалентная номинальной ставке процентов в размере 18 % годовых при ежемесячном начислении процентов, составит 19,56 % против 19,25 % с ежеквартальным начислением процентов. Чем больше периодов начисления, тем быстрее идет процесс наращения.

На практике, а чаще всего в теории, встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно, за сколь угодно малый промежуток времени. Формула наращенной суммы при непрерывном начислении процентов имеет следующий вид:

FV=PV e ^{j * n} = P * e ^{δ * n}, (3.5)

где e ≈ 2,718281, называется числом Эйлера;

δ - ставка непрерывных процентов или сила роста..

Пример 5. Кредит в размере 10000 грн. получен сроком на 3 года под 20 % годовых. Определить сумму подлежащего возврату в конце срока кредита, если проценты будут начисляться:

а) один раз в год;

б) ежедневно;

в) непрерывно.

Решение:

Используем формулы дискретных и непрерывных процентов:

а) начисление один раз в год:

FV = 10000 * (1 + 0,2)³ = 17289 грн.

б) ежедневное начисление процентов:

FV = 10000 * (1 + 0,2 / 365)^{365*• 3} = 18218,19 грн

в) непрерывное начисление процентов:

FV = 10000 * e^{0,2 • 3} = 18221,18 грн

Таким образом, возврату за кредит подлежат суммы в 17289 грн. при ежегодном начислении процентов, 18218,19 грн. – при ежедневном начислении процентов, 18221,18 грн – при непрерывном начислении процентов.

Начисление процентов по сложной учетной ставке или по антисипативному методу осуществляется по следующим формулам:

а) если проценты начисляются один раз в год

(3.6)

б) если проценты чаще одного раза в год

(3.7)

где f – номинальная годовая учетная ставка.

Формула для определения сложной ставки процентов, компенсирующей ожидаемую инфляцию, имеет следующий вид:

i_τ = i + h + i*h.

где h – уровень инфляции

Пример 6. Определить номинальную ставку процентов для финансовой операции, если уровень эффективности должен составлять 17 % годовых, а годовой уровень инфляции 9 %.

Решение:

Процентная ставка с учетом инфляции

i_τ = i + h + i*h = 0,17 + 0,09 + 0,17 • 0,09 = 0, 2753=27,53 %.

Таким образом, номинальная ставка должна составить 27,53 %. чтобы обеспечить реальную эффективность в 17 %.

Для расчета продолжительности финансовых операций и уровня процентных ставок можно воспользоваться формулами, приведенными в приложении В.

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Экономический смысл коэффициента наращения по сложным процентным ставкам.

2. Начисление процентов в смежных календарных периодах.

3. Формулы наращения при дробном числе лет.

4. Сравнение роста по сложным и простым процентам.

5. Определение срока операции и размера сложной процентной ставки.

6. Операции с использованием непрерывной процентной ставки.

7. Налоги на полученные проценты.

Задачи

1. Депозит в размере 15000 грн. открыт в банке на 2 года под 20 % годовых. Найти сумму начисленных процентов с использованием простой и сложной ставок. Сделать вывод, какой метод более выгоден вкладчику.

2. Вкладчик размещает 1000 грн. в банке на 1,5 года, проценты начисляются по сложной ставке, которая составляет 21 % годовых. Рассчитать сумму начисленных процентов.

3. Определите сумму на депозитном счете, если сумма вклада 3000 грн., срок депозита 2 года при номинальной процентной ставке 16 % годовых. Начисление процентов производится: а) один раз в год, б) по полугодиям, в) поквартально, г) ежемесячно.

4. Клиент на депозитный счет разместил 100 000 грн. Какая сумма будет на счете этого клиента через 1 год, если банк начисляет проценты по ставке 15 % годовых с начислением процентов:

а) ежегодно;

б) ежедневно (K=360);

в) непрерывно.

5. Банк начисляет на вложенные деньги проценты непрерывно по ставке в первом году- 12 %, во втором – 18 %, в третьем и четвертом году – 24 %. Какая сумма будет на счете 31 декабря четвертого года, если 1 января первого года на этот счёт было положено 30000 грн.?

6. Ссуда в размере 180 000 грн. была выдана на приобретение предприятием оборудования на 3 года и 4 месяца. Контрактом предусмотрено изменение ставки процента в зависимости от темпа инфляции. Базовая процентная ставка составляет 20 % сложных годовых. Во втором году инфляция составила 12,5 %, в третьем – 15 %, в четвертом – 15,5 %. Определить сумму погашающего платежа.

7. Коммерческий банк привлек депозит в сумме 17 000 грн. на 4 месяца под 25 % сложных годовых на условии корректировки депозитной ставки процента на инфляцию. За данный период цены выросли в 1,11 раза – в течение первого, второго, третьего месяцев, в четвертом месяце – на 9 %. Определить:

а) ставку процента, учитывающую инфляцию;

б) наращенную сумму, полученную клиентом по истечении срока депозита при учете инфляции;

в) сумму, которую реально получил вкладчик, если бы договором не предусматривалась корректировка депозитной ставки.

8. Клиент внес на депозит 4000 грн. сроком на 3 месяца под процентную ставку 12 % годовых. Сумма, полученная клиентом по окончанию срока депозита после уплаты налога на доход – 4190 грн. Определите процентную ставку налога на доход, если проценты по депозиту начисляются:

а) простые;

б) сложные.

9. Определите доход клиента и налоговые деньги по срочному депозиту в 8 000 грн. на 6 месяцев с номинальной процентной ставкой 24 % сложных годовых, если процентная ставка налога – 20 %. Начисление процентов производится: а) поквартально, б) ежемесячно.

10. Какие условия предпочтет клиент при получении кредита:

а) процентная ставка – 20 %, начисление процентов ежемесячное;

б) процентная ставка – 22 %, начисление процентов ежеквартальное;

в) процентная ставка – 23 %, начисление процентов по полугодиям.

11. Для строительства завода банк предоставил фирме кредит в 200000 грн. сроком на 10 лет из расчета 21 % сложных годовых. Проведите расчет коэффициента наращения, суммы начисленных процентов и стоимости кредита на конец каждого года.

12. Банк выдал кредит в размере 75 000 грн. на 2 года и 170 дней под 25 % сложных годовых. Определить сумму к погашению и сумму начисленных процентов при временной базе 360 дней.

13. Банк принимает вклады от населения по номинальной процентной ставке 12 % годовых. Начисление процентов ежемесячное. Вклад был изъят через 240 дней в сумме 1200 грн. Определите доход клиента при временной базе 365 дней.

14. Г-н Петров хочет вложить 30 000грн., чтобы через 2 года получить 40 000 грн. Под какую процентную ставку с начислением процентов ежемесячно он должен вложить свои деньги?

15. Какой должна быть минимальная процентная ставка, чтобы произошло удвоение вклада за три года при начислении процентов: а) поквартально, б) ежемесячно.

16. Банк «Кредит» предлагает населению следующие условия для срочного депозита:

Сумма депозита, грн.	Сумма по окончанию срока депозита, грн.
	90 дней	180 дней	367 дней	550 дней
5000	5140	5312	5696	6044

Определить ставку простых и сложных процентов при различных сроках депозита и временной базе 365 дней.

17. Определить период времени, необходимый для удвоения капитала по простым и сложным процентам при процентной ставке 12 % годовых. В последнем случае начисления процентов ежемесячное.

18. Определить, какое размещение денег на депозитный счет сроком 6 месяцев выгоднее:

а) под простую ставку процентов 25 % годовых;

б) под сложную ставку 23 % годовых при ежеквартальном начислении процентов.

19. Фирме предоставили кредит на 270 дней под 16 % сложных годовых. При выдаче кредита удержаны комиссионные в размере 0,8 % от суммы кредита. Определить доходность операции для кредитора в виде годовой ставки сложных процентов при временной базе 365 дней.

Тесты

Возможно несколько вариантов ответов.

1. Основное отличие начисления сложных процентов от начисления простых заключается в:

a) изменение базы начисления процентов по расчетным периодам;

b) изменение временного интервала;

c) изменение периода начисления процентов.

2. Формула сложных процентов:

a) FV = PV(1 + i*n)

b) FV = PV(1 + t / K * i)

c) FV = PV(1 + i)ⁿ

d) FV = PV(1 + i*n)*(1 + i)ⁿ

3. Проценты на проценты начисляются в схеме:

a) сложных процентов;

b) простых процентов;

c) как сложных, так и простых процентов;

d) независимо от схемы проценты начисляются только на основной капитал, но не на проценты..

4. Начисление по схеме сложных процентов предпочтительнее:

a) при краткосрочных финансовых операциях (менее одного года);

b) при сроке финансовой операции в один год;

c) при долгосрочных финансовых операциях (более одного года);

d) во всех вышеперечисленных случаях.

5. Чем больше периодов начисления процентов:

а) тем медленнее идет процесс наращения;

b) тем быстрее идет процесс наращения;

с) процесс наращения не изменяется;

4. процесс наращения предсказать нельзя.

6. Номинальная ставка – это:

a) годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год;

b) отношение суммы процентов, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени, к величине ссуды;

c) процентная ставка, применяется для декурсивных процентов;

4. годовая ставка, с указанием периода начисления процентов.

7. Формула сложных процентов с начислением процентов чаще одного раза в течение года:

a) FV = PV*(1 + i) ^{m • n}

b) FV = PV*(1 + j / m) ^{m * n}

c) FV = PV / m * (1 + i) ^{n / m}

d) FV = PV*(1 + i * m) ^{m*• n}

8. В формуле FV=PV*(1 – d)^-n переменная d называется:

a) простой учетной ставкой;

b) сложной постоянной ставкой процентов;

c) простой постоянной ставкой процентов;

d) простой переменной ставкой процентов;

e) сложной учетной ставкой процентов.

9. Эффективная ставка процентов:

a) не отражает эффективности финансовой операции;

b) измеряет реальный относительный доход;

c) отражает эффект финансовой операции;

d) зависит от количества начислений и величины первоначальной суммы.

10. Формула сложных процентов с использованием переменных процентных ставок:

a) FV = PV*(1 + i₁) ⁿ¹*(1 + i₂) ⁿ² *… *(1 + i_k) ^nk

b) FV = PV*(1 + n_ki_k)

c) FV = PV*(1 + n₁i₁ • n₂i₂ • … • n_ki_k) ^nk

d) FV = PV*(1 + i*n)*(1 + i)

11. В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием:

a) общего метода;

b) эффективной процентной ставки;

c) смешанного метода;

d) переменных процентных ставок.

12. Вкладчику выгоднее начисление процентов за дробное число лет по правилу сложной ставки, чем наращение вклада смешанным методом:

a) верно;

b) неверно.

13. Непрерывное начисление процентов – это:

a) начисление процентов ежедневно;

b) начисление процентов ежечасно;

c) начисление процентов ежеминутно;

d) начисление процентов за нефиксированный промежуток времени.

14. Если в условиях финансовой операции отсутствует ставка сложных процентов, то:

a) процентную ставку определить нельзя;

b)

c) i = ln(FV / PV) / ln(1 + n)

d) i = lim(1 + j / m)^m

e) i = (1 + j / m)^m - 1

15. На вклад РV начисляются сложные проценты по годовой ставке i. Величина процентов, начисленных за второй год хранения

вклада, составит сумму равную:

a)

b) PV*i²;

с)

16. Найти квартальные ставки начисления j и удержания f

сложных процентов, которые эквивалентны годовой ставке, равной

20%:

a) j =4,7 %; f =4,2 %;

b) j = 5 %; f =4,5 %;

c) j = 4,66 %; f =5,4 %;

d) j = 4,6 %; f = 5 %;

e) все ответы неверны.

17. Допустим, что годовые ставки начисления простого и сложного процента одинаковы. Сравнить результаты начисления процентов в зависимости от срока вклада:

a) сложный процент всегда выгоднее для вкладчика независимо от срока операции;

b) для долгосрочных депозитов (больше года) сложный процент выгоднее простого;

c) для краткосрочных депозитов (меньше года) простой процент отстает от начисления сложного процента;

d) в пределах года простой процент выгоднее сложного..