2. Наращение по простым процентным ставкам
Наращением или ростом называется процесс увеличения некоторой суммы денег за счет начисления не нее процентов. Под наращенной суммой понимают первоначальную сумму с начисленными процентами к концу срока начисления.
Существует два принципа расчетов процентных денег:
а) от настоящего к будущему с применением ставки наращения, - декурсивные проценты;
б) от будущего к настоящему с применением учетных или дисконтных ставок, - антисипативные проценты.
В зависимости от способа начисления, проценты делятся на простые и сложные.
Простые проценты - это метод начисления, при котором сумма процентов определяется в течение всего периода, исходя из первоначальной величины долга, независимо от количества периодов начисления и их длительности. Простые проценты по декурсивному методу начисляются по формуле:
,
где PV – первоначальная, текущая стоимость (англ. present value) – исходная сумма долга или оценка современной величины денежной суммы, поступление которой ожидается в будущем, в пересчете на более ранний момент времени;
FV – наращенная, будущая стоимость (англ. future value) – сумма долга с начисленными процентами в конце срока;
i – ставка процента (англ. rate of interest) является относительным показателем эффективности вложений (норма доходности), характеризующим темп прироста стоимости за период;
n – срок погашения долга (англ. number of periods) – интервал времени, по истечении которого сумму долга и проценты нужно вернуть.
Пример 1. Вкладчик положил в банк, выплачивающий 18 % годовых. сумму 1000 грн. Какая сумма будет на счете через год?
Решение. По формуле наращения по простой процентной ставке:
грн.
Следовательно, через год на счету будет сумма 1180 грн.
Если срок финансовой операции не равен целому числу лет, то срок операции n определяем следующим образом:
где t – число дней финансовой операции,
K – временная база начисления процентов.
При расчете процентов используют две временные базы: K=360 дней или K=365, 366 дней. Число дней операции определяется приближенно или точно. Точное число дней между датой выдачи и датой погашения можно определить по таблице приложения А. Варианты расчета срока финансовой операции представлены в таблице 2.1.
Таблица 2.1 – Расчет срока финансовой операции
|
Варианты расчета |
Определение срока финансовой операции |
Временная база |
Примечание |
|
Точные проценты
|
Точное число дней операции |
365 или 366 |
Английская практика расчетов |
|
Обыкновенные проценты с точным числом дней |
Точное число дней операции |
360 |
Французская практика расчетов |
|
Обыкновенные проценты с приближенным числом дней |
Приближенное число дней, исходя из условия, что в каждом месяце 30 дней |
360 |
Германская практика расчетов |
Пример 2. Ссуда в размере 10000 грн. выдана 25.01 по 8.08 этого же не високосного года под 17 % простых годовых. Определить сумму, которую должен заплатить должник в конце срока, используя три методики расчета
Решение:
1. Определяем число дней операции:
точное число дней – (7+28+31+30+31+30+31+8-1)=195
приближенное число дней – (7+30+30+30+30+30+30+8-1)=194
2. Точные проценты с точным числом дней операции
грн.
3. Обыкновенные проценты с точным числом дней операции
грн.
4. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней операции
грн.
Таким образом, должнику необходимо заплатить в конце срока следующие суммы: по методу точных процентов – 10908,22 грн, по методу обыкновенных процентов с точным числом дней операции -10920,83 грн., по методу обыкновенных процентов с приближенным числом дней операции – 10916,11 грн.
Если договором предусмотрено изменение процентной ставки во времени, то наращенная сумма определяется следующим образом:
,
где
-
ставка простых процентов в периоде
Пример 3. Вклад в сумме 5000 грн. был положен в банк 25 мая не високосного года по ставке 18 % годовых, а с 1 июля банк снизил ставку по вкладам до 16 % годовых и 15 июля вклад был востребован. Определить сумму начисленных процентов по английской практике начисления.
Решение:
1. Количество дней для начисления процентов по первоначально действующей процентной ставке в размере 18 % годовых рассчитывается точно и составляет 37 дней, а по измененной ставке 16 % годовых – 14 дней.
2. Начисленные проценты:
грн.
Таким образом, при закрытии счета клиент должен получить процентов в сумме 121,92 грн.
Кроме процентной ставки, существует учетная ставка (или ставка дисконта) d, которая равна отношению процентного дохода к конечной сумме. Начисление процентов с применением ставки дисконта называется антисипативным методом. Наращенная сумма в этом случае равна:
,
где d – учетная ставка.
Пример 4. Застройщик желает получить ссуду в кредитном учреждении на 6 месяцев. Если кредитное учреждение начисляет проценты авансом по ставке 17 %, какую сумму должен просить застройщик, чтобы получить на руки 10000 грн.
Решение:
По методу антисипативных процентов находим наращенную сумму:
грн.
Итак, для получения на руки 10000 грн. при начислении процентов авансом, ссуда должна быть в сумме 10928,96 грн.
Формула для определения простой ставки процентов, компенсирующей ожидаемую инфляцию, имеет следующий вид:
iτ = [(1 + i*n)* Jτ - 1] : n,
где i – простая ставка процентов;
iτ – процентная ставка с поправкой на инфляцию;
Jr – индекс инфляции.
Пример 5. Банк выдал клиенту кредит на один год в размере 20 000 грн. по ставке 18 % годовых. Уровень инфляции за год составил 9 %. Определить с учетом инфляции реальную ставку процентов по кредиту, погашаемую сумму и сумму процентов за кредит.
Решение:
1. Номинальная наращенная сумма
FV = PV*(1 + i*n) = 20000* (1 + 0,18) = 23600 грн.
Номинальные начисленные проценты
I = FV - PV = 23600 - 20000 = 3600 грн.
2. Реальная наращенная сумма
FVτ = FV / (1 + h ) = 23600 / 1,09 = 21651,3 грн.
Реальные проценты
Iτ = FVτ - PV = 21651,3 - 20000 = 1651,3 грн.
Таким образом, реальные проценты меньше номинальных начисленных процентов.
3. Ставка по кредиту с учетом инфляции должна быть равна
iτ = [(1 + i*n)* Iτ - 1] : n = (1,18 * 1,09 - 1) / 1 = 0,286
Наращенная сумма
FV = PV*(1 + i*n) = 20000 (1 + 0,286) = 25720 грн.
Доход банка
I = FV - PV = 25720 - 20000 = 5720 грн.
4. Реальный доход банка
Iτ = FVτ - PV = 25720 / 1,09 - 20000 = 3596,3 грн.
Реальная доходность финансовой операции
i = Iτ / PV = 3596,3 / 20000 = 0,18
Таким образом, чтобы обеспечить доходность в размере 18 % годовых, ставка по кредиту с учетом инфляции должна соответствовать 28,6 % годовых.
Вопросы для самостоятельного изучения
1. Формула наращения по простым процентам.
2. График наращения по простым процентам.
3. Экономический смысл множителя наращения по простым процентам.
4. Начисление процентов при изменении сумм депозита во времени.
5. Основные финансовые операции использования схемы простых процентов.
6. Наращение процентов в потребительском кредитовании.
7. Определение срока операции и процентной ставки.
Задачи
1. Депозитный счет в размере 4000 грн. открыт в коммерческом банке на 3 месяца под 17 % годовых. Найти процентный доход, который получит вкладчик при начислении простых процентов.
2 Молодая семья получила в банке ссуду на строительство жилья в размере 60 000 грн. сроком на 3 года под простую процентную ставку 20 % годовых. Определите наращенную сумму кредита и сумму уплаченных процентов.
3. Банк принимает вклады на срочный депозит на следующих условиях: процентная ставка при сроке 35 дней – 14.5 %; при сроке 65 дней – 16 %; при сроке 90 дней –18 %. Рассчитайте доход клиента при вкладе 10 000 грн. на указанные сроки. Год не високосный. Методика расчета: точные проценты с точным числом дней.
4. Клиент внес в банк на депозитный счет 2000 грн на срок с 12 апреля по 26 июня на условиях простой процентной ставки 16 % годовых. Рассчитайте доход клиента по трем методикам. Год не високосный.
5 Коммерческий банк привлекает средства населения под простые проценты 20 % годовых. Клиент внес 6 000 грн. на депозит с 12 февраля по 24 апреля. Определите величину коэффициента наращения и наращенную сумму для случая: а) точных процентов с точным числом дней; в) обыкновенных процентов с приближенным числом дней. Год не високосный.
6. Клиент внес на депозитный счет в банк сроком на 6 месяцев 3000 грн. Согласно условиям договора, процентная ставка может быть изменена банком в одностороннем порядке. Вклад внесен 3 апреля под 24 % годовых, 22 апреля процентная ставка, согласно решению Правления банка, установлена в 22 % годовых, а 1 сентября – 21,5 % годовых. Определите сумму на счете и процентный доход при закрытии счета, если расчет процентов производится по точным процентам с точным числом дней в году.
7. Найти, в течении какого количества лет вклад в размере 1500 грн. возрастет до 3000 грн. при начислении процентов по простой ставке 15 % годовых.
8. Вкладчик собирается положить в банк сумму 15000 грн. с целью накопления 16500 грн. Ставка процентов будет составлять 21 % годовых. Найти срок в днях, за который вкладчик сможет накопить требуемую сумму. Необходимо учесть, что банк использует при расчетах фактическое значение количества дней в году и временная база 365 дней.
9. Клиент, решивший внести на депозит 2000 грн., хочет накопить через год не менее 2700 грн. Необходимо найти требуемую простую ставку процентов, на основании которой он может выбрать банк для размещения своих средств.
10. Имеются две суммы денег, одна больше другой на 500 грн. большая сумма вложена на 6 месяцев при ставке 12 % годовых. меньшая сумма внесена на 3 месяца при ставке 15 % годовых. процентный доход за большую сумму вдвое больше процентного дохода за меньшую сумму. Необходимо найти величину этих денежных сумм.
11. На какой временной период должен быть вложен капитал при 12 % простых годовых, чтобы процентный доход был равен тройной сумме капитала?
12. Ссуда в размере 15 000 грн. выдается на полгода под 20 % годовых. Найти сумму начисленных процентов по простой ставке декурсивным и антисипативным методами. Сделать вывод, какой метод более выгоден заемщику, кредитору.
13. Вкладчик внес 5000 грн. с целью накопления 7000 грн. Определить срок в днях, за который вкладчик накопит требуемую сумму по декурсивному и антисипативному методу начисления простых процентов. Процентная ставка банка – 14 % годовых.
14. Заполните в таблице пропущенные клетки, если используется вариант начисления точных процентов, год не високосный
|
Проценты, грн. |
Первоначальная сумма, ден.ед.. |
Ставка процентов, % |
Срок |
|
23,6 |
? |
15,50 % |
18.02-27.05 |
|
960,17 |
? |
16 % |
17.02-11.04 |
|
370,6 |
? |
18 % |
6.05-10.10 |
|
45,6 |
1450 |
? |
28.02-11.04 |
|
30,2 |
960 |
? |
9.09-17.12 |
|
70,5 |
1410 |
? |
11.05-4.11 |
|
11,73 |
1360 |
16 % |
? |
|
28,6 |
1970 |
20 % |
? |
|
9,13 |
680 |
17 % |
? |
15. При открытии счета 10.12.2007 г. клиентом была внесена сумма в размере 5000 грн. под 16,5 % годовых. 1.02.2008 г. на счет добавлено 1500 грн., 10.02.2008 г. еще внесено 1400 грн. Вкладчик хочет закрыть счет 7.10.2008 г. Сколько денег получит вкладчик при закрытии счета, если календарная база определяется по французской практике?
16. При уровне инфляции 5 % банк выдает кредит 25 000 грн.. на 100 дней. Простая процентная ставка – 18 %. Определить процентную ставку, которая учитывает инфляцию, и сумму погашающего платежа с учетом инфляции, используя французскую практику расчетов.
17. Уровень инфляции – 10 %. Банк выдает кредит 60000 грн. на 120 дней с простой процентной ставкой – 25 %. Определить процентную ставку, которая учитывает инфляцию и сумму погашающего платежа с учетом инфляции, используя английскую практику расчетов.
18. Имеются два обязательства. Условия первого: по окончанию срока операции 4 месяца - сумма 3000 грн., условия второго: по окончанию срока операции 9 месяцев - сумма 3600 грн.. Определить: а) ставку простого процента, при которой эти обязательства равноценны; б) какое из этих обязательств выгоднее для получателя денег при ставке простых процентов 20 %.
Тесты
Возможно несколько вариантов ответов
1. Наращение – это:
a) процесс увеличения капитала за счет присоединения процентов;
b) базисный темп роста;
c) отношение наращенной суммы к первоначальной сумме долга;
d) движение денежного потока от настоящего к будущему.
2. Коэффициент наращения – это:
a) отношение суммы процентных денег к величине первоначальной суммы;
b) отношение наращенной суммы к первоначальной сумме;
c) отношение первоначальной суммы к будущей величине денежной суммы;
d) отношение процентов к процентной ставке.
3. Если число дней финансовой операции определяется исходя из того, что в каждом месяце 30 дней, то такой метод начисления называется:
a) точные проценты с точным числом дней операции;
b) обыкновенные проценты с точным числом дней операции;
c) обыкновенные проценты с приближенным числом дней.
4
.
Формула наращения по простой учетной
ставке
5. Формула наращения простых процентов:
a) FV = PV * i * n
b) FV = PV*(1 + i)n
c) FV = PV*(1 + i*n)
d) FV = PV*(1 + i)
6. Точное число дней финансовой операции можно определить:
a) по специальным таблицам порядковых номеров дней года;
b) используя прямой счет фактических дней между датами;
c) исходя из продолжительности каждого целого месяца в 30 дней;
d) считая дату выдачи и дату погашения ссуды за один день.
7. Французская практика начисления процентов:
a) обыкновенный процент с приближенным числом дней финансовой операции;
b) обыкновенный процент с точным числом дней финансовой операции;
c) точный процент с точным числом дней финансовой операции;
d) точный процент с приближенным числом дней финансовой операции.
8. Германская практика начисления процентов:
a) обыкновенный процент с приближенным числом дней финансовой операции;
b) обыкновенный процент с точным числом дней финансовой операции;
c) точный процент с точным числом дней финансовой операции;
d) точный процент с приближенным числом дней финансовой операции
9. Английская практика начисления процентов:
a) обыкновенный процент с приближенным числом дней финансовой операции;
b) обыкновенный процент с точным числом дней финансовой операции;
c) точный процент с точным числом дней финансовой операции;
d) точный процент с приближенным числом дней финансовой операции
10. Какой из ниже перечисленных способов измерения времени при расчете процентного дохода не используется на практике?
a) год - 360 дней, месяц - 30 дней;
b) год - 365 дней, месяц - 30 дней;
c) год - 360 дней, месяц - точное число дней;
d) год -365 дней, месяц - точное число дней.
11. Расчет наращенной суммы в случае дискретно изменяющейся во времени процентной ставки по схеме простых процентов имеет следующий вид:
a) FV = PV *(1 + Σnкiк);
b) FV = PV *Σ (1 + nкiк);
c) FV = PV* (1 + n1i1)*(1 + n2i2)*….* (1 + nкiк);
d) FV = PV* (1 + n iк).
12. Срок финансовой операции по схеме простых процентов определяется по формуле:
a) n = I / (PV*• i);
b) n = [(FV - PV) / (FV * t)]* i ;
c) t = [(FV - PV) / (PV * i)] * K;
d) n = [(FV - PV) / (FV * t)]* K ;
13. Если в условиях финансовой операции отсутствует простая процентная ставка, то:
a) этого не может быть;
b) процентную ставку можно определить по формуле
i = [(FV - PV) / (PV * t)]*K;
c) алгебраического определения процентной ставки не существует;
d) процентную ставку можно определить по формуле
i = Σ процентных чисел / процентный делитель
14. Процентная ставка финансовой операции по схеме простых процентов определяется по формуле:
a) i = I / (PV*• n)
b) i = [(FV - PV) / (PV * n)]
c) i = [(FV - PV) / (PV * t)] * K
d) i = [(FV - PV) / (FV * t)]* K
15. Если номинальная процентная ставка составляет 10%, а темп инфляции определен в 9% в год, то реальная процентная ставка составит:
a) 19 %;
b) 18 %;
c) 19,9 %;
d) – 6 %;
e) 24 %.