3. Построение модели линейного программирования

Алгоритм построения модели:

• Определите переменные решения. Например, Х₁ - количество изделия1. Обычно переменные связаны с прибылью, затратами, сроками и т.д.

• Ограничения – это требования к одной или нескольким переменным, они относятся к доступному количеству ресурсов или к минимальным требованиям (изготовить не более 10 единиц изделия 1).

• Могут быть ограничения, относящиеся к одной или нескольким переменным

• . Ограничения могут также определять соотношение, например, отношение Х₁ к Х₂ должно быть не менее чем 3:2, то есть 2 Х₁  3 Х₂ или 2 Х₁ - 3 Х₂  0

• ограничение, определяющее процентное соотношение одной или более переменных относительно другой или других переменных. Например, Х₁ не может составлять более 20% от общего, то есть Х₁  0,20(Х₁ + Х₂) или Х₁ - 0,20(Х₁ + Х₂) 0

Когда модель построена, её необходимо решить.

4. Графическое решение модели.

Порядок действий при этом методе выглядит следующим образом:

• Математически представить целевую функцию и ограничения

• Выстроить на графике ограничения

• Определить область возможного решения

• Найти оптимальное решение.

Рассмотрим пример

Два изделия могут производиться на определённом оборудовании. На производство этих изделий имеется 12 часов времени. Для изготовления единицы изделия 1 требуется 1 час, для изготовления единицы изделия 2 требуется 3 часа. Оба изделия изготавливаются из одинакового сырья. На производство изделия 1 требуется 4 кг материала, а для производства изделия 2 требуется 3 кг. Для производства обоих изделий имеется в наличии 24 фунта сырья. Изделие один приносит прибыль 4 рубля с единицы. Изделие 2 приносит прибыль 5 руб с единицы. Если цель – получение максимальной прибыли от этих изделий, то какое количество каждого изделия следует произвести?

Решение:

1. Построение целевой функции

• Определим переменные решения.

Х₁ –количество изделия1; Х₂ –количество изделия2.

• Запишем формулу целевой функции.

Максимизировать Z= 4Х₁ +5 Х₂

• Определим ограничения и запишем их формулу.

Имеется два ограничения – машинное время и сырьё.

Машинное время: Х₁ +3 Х₂ 12

Сырьё: 4Х₁ +3 Х₂24

• Добавим требование неотрицательности

Х₁ , Х₂ 0

Итак, модель выглядит следующим образом:

maxZ= 4Х₁ +5 Х₂

Ограничения:

Машинное время: Х₁ +3 Х₂ 12

Сырьё: 4Х₁ +3 Х₂24

Неотрицательность Х₁ , Х₂ 0

2. Построение графика ограничений

• Заменяем знаки неравенства на знаки равенства - получаем уравнение прямой линии

• Строим график полученного уравнения. Если переменная только одна, то графиком будет прямая вертикальная линия или прямая горизонтальная линия.

• Указываем штриховкой или стрелками на концах линии ограничений направление неравенства – больше или меньше.

Решение:

Материалы Х₁ +3 Х₂ =12 находим координаты точек пересечения с осями - (0, 4); (12, 0)

Сырьё: 4Х₁ +3 Х₂₌24 находим координаты точек пересечения с осями – (0,8); (6, 0)

Неотрицательность Х₁ , Х₂  0

Х₂

											Х1