Билет №8

1. Понятие длины кривой. Достаточное условие спрямляемости кривой.

Длина кривой (или, что-то же, длина дуги кривой) в метрическом пространстве — числовая характеристика протяжённости этой кривой. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от лат. rectificatio, спрямление). Если длина кривой существует и конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае — неспрямляемая.

Для евклидова пространства длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань длин вписанных в кривую ломаных. Для наглядности рассмотрим трёхмерное пространство. Пусть непрерывная кривая γ задана параметрически:, (1)

где . Рассмотрим всевозможные разбиения интервала параметра [a,b] на m отрезков: . Соединив точки кривой отрезками прямых, мы получим ломаную линию. Тогда длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань суммарных длин всех таких ломаных.

Всякая непрерывная кривая имеет длину, конечную или бесконечную. Если все функции в (1) являются функциями ограниченной вариации, то длина кривой существует и конечна. В математическом анализе выводится формула для вычисления длины s отрезка кривой, заданной уравнениями (1), при условии, что все три функции непрерывно дифференцируемы: (2)

Формула подразумевает, что и длина отсчитывается в сторону возрастания параметра t. Если рассматриваются два разных направления отсчёта длины от точки кривой, то часто удобно приписать дуге на одном из этих направлений знак минус.

В n-мерном случае вместо (2) имеем аналогичную формулу:

2. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

Интегрирование по частям — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция представима в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

Для неопределенного интеграла:

Для определенного интеграла:

Предполагается, что нахождение интеграла проще, чем . В противном случае применение метода не оправданно.

Получение формул (для определенного интеграла):

3 Определение обьёма тела.

Понятие объема в пространстве вводится аналогично понятию площади для фигур на плоскости.

Тело называется простым, если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид.

В частности, любой выпуклый многогранник является простым телом.

Объемом тела называется положительная величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и обладающая следующими свойствами:

равные тела имеют равные объемы; при параллельном переносе тела его объем не изменяется;
если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей;
за единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины;

Пусть криволинейная трапеция D c границей вращается вокруг оси ОХ. Поперечными сечениями являются круги с радиусами у(х), поэтому и