2. Признак Даламбера.

Пусть при всех , где . Тогда ряд сходится. Если же при , то ряд расходится.

Доказательство. Из условий теоремы следует . Иными словами, и по первой теореме сравнения ряд сходится.

Если , то при и ряд расходится.

3. Формула Ньютона-Лейбница.

Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции , то .

Док-во. Мы установили, что функция - первообразная непрерывной f(x). Так как F(x) - тоже первообразная, то Ф(x) = F(x) + C. Положим в этом равенстве x = a. Так как , то . В равенстве переобозначим переменные: для переменной интегрирования t вернёмся к обозначению x , верхний предел x обозначим b. Окончательно, .

Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом: (здесь читается как "подстановка от a до b"), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: .

Пример применения формулы Ньютона-Лейбница: .

Билет №4

1. Определение первообразной и неопределённого интеграла.

Первообразная:

Функция F(x) называется первообразной для функции f (x) на данном промежутке, если для любого х из данного промежутка F'(x)= f (x).

Основное свойство первообразных:

Если F(x) – первообразная функции f(x), то и функция F(x)+ C , где C –произвольная постоянная, также является первообразной функции f(x) (т.е. все первообразные функции f(x) записываются в виде F(x) + С ).

Геометрическая интерпретация:

Графики всех первообразных данной функции f(x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу.

Первообразная - это величина, обратная производной. Т.е. если мы знаем, что , то для первообразной будет . Еще первообразная связана с определенным интегралами формулой Ньютона-Лейбница. Т.е. по сути первообразная есть интеграл, геометрический смысл которого - площадь под кривой.

Производная от функции скорости есть ускорение (быстрота изменеия скорости), а первообразная от функции скорости характеризует пройденное расстояние при данной скорости.

Правила нахождения первообразных:

Пусть F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x). Тогда:

1. F( x ) ± G( x ) – первообразная для f(x) ± g(x);

2. аF( x ) – первообразная для а f(x);

3. – первообразная для а f( kx + b ).

Примеры.

1. Выяснить, является ли функция первообразной для функции .

Решение: , т.е. F'(x) = f(x), следовательно, F(x)является первообразной для функции f(x).

Неопределенный интеграл:

Неопределенный интеграл данного выражения или данной функции называется наиболее общий вид его первообразной функции. Обозначается он . Постоянное слагаемое подразумевается включенным в это обозначение. Слово «неопределенный» подчеркивает, что в общее выражение первообразной функции входит постоянное слагаемое, которое можно взять по произволу.

Выражение называется подинтегральным выражением, а - подинтегральной функцией, переменная x – переменная интегрирования.

Более точное определение -

Пример:

;

;

Геометрический смысл неопределенного интеграла следует из геометрического смысла производной: уравнение y=F(x) +С на плоскости ХОY определяет семейство кривых (называемых интегральными кривыми), для которых в точке с абсциссой х угловой коэффициент касательных равен )

Физический смысл неопределенного интеграла: т.е. интеграл от скорости неравномерного прямолинейного движения дает зависимость пути от времени .

Свойства неопределенного интеграла:

Основные методы интегрирования:

1. Метод внедрения нового аргумента:

Если , то , где - непрерывно дифференцируемая функция

2. Метод разложения:

Если , то

3. Метод подстановки:

Если - непрерывна, то полагая , где непрерывна вместе со своей производной , получим

4. Метод интегрирования по частям:

Если u и v – некоторые дифференцируемые функции от x, то