Формула ТейлораТеорема. Пусть ф-я f(x) в некоторой окр. точка а имеет производные до (n-1) порядка включительно и кроме того в самой точке а сущ. производная n-го порядка f⁽ⁿ⁾(а) , тогда для рассматриваемой функции f(x)справедливо предст

Разложения

Правила Лопиталя 1)Пусть функции f(x) и g(x) определены и диф. В некоторой проколотой (∂-дельта) ∂ окрестности точки a у Ů∂ (а) (это проколотая ∂ окрестность точки а) при чем g’(x)≠ 0 для x Ů∂ (а)

Доказательство . Доопределим ф-ии f(x) и g(x) в а , положив f(a) = 0 и g(а) = 0, тогда f(x) и g(x) (после доопределения) становятся непрерывными в точке а. Обозначим теперь через . Пусть x_n произвольная посл-ость значений аргумента, уд. Условию x_nа, n и x_n а при любом n. Рассмотрим [а, x_n]. Функции f(x) и g(x) уд. условию на этом сигменте по т. Каши тогда ущ. Точка с_n (а, x_n) такая, что , отсюда следует . (1) = ,при => => , но тогда из (1) следует, что =>. На лсновании опр. Тейлора предела функции это означает, что ] 2)Пусть ф-ии f(x) и g(x) определены и диф. В некоторой проколотой (∂-дельта) ∂ окрестности точки a у Ů∂ (а) и кроме того в любой Ů∂ (а). пусть далее и , тогда если сущ. То сущ. и справедливо равенство =

Теорема Каши

Пусть ф-я f(x),g(x) непрерывны на [a;b] диф в (а,в) при чем тогда сущ. с (а,в) такая, что

=

Доказательство

Заметим, что g(b) ≠ g(a) ( действительно если бы g(b)=g(a), то нашлась бы точка x₀ в(а,в) такая, что g’(x₀)=0 по т.Ролля, а это противоречит условию).Введем в рассмотрение функцию . Ф-я F(x) непрерывна на [a,b] и диф. В (a,b), кроме того F(a)=0 и F(b)=0

f(b)-f(a) - * (g(b) – g(a)) => F(b) = 0. Ф-я F(x) на [a,b] уд. всем условиям т. Ролля, сл сущ. точка c (a,b) такая, что F’(c) = 0. (1) F(x) = . Из (1) получаем F’(x) = f’(x) -0-*g’(x) => F’(c) = 0 = f’(c) - * g’(c) => =

Условия монотонности ф-ии на интервале

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Т-ма об усл-ях монотонности ф-ии на интервале.

Пусть f(x) диф на (a,b), причем f’(x)>0 (f’(x)<0) в любом x (a,b), тогда f(x) монотонно возрастает(убывает) в (a,b).

Док-во. Пусть например f’(x) >0 в любом x (a,b). Введем и такие, что и лежат в (a,b), < , ф-я f(x) на [a,b] удовлетворяе усл-ям т.Лагранжа =Ю сущ. с (a,b) такая, что f() – f() = f’(0)(-). Т.к f’(c) > 0 , ->0 => f() – f()>0 => f()< f()

Теорема о постоянстве функции произведение которой тождественно равно нулю

Пусть ф-я f(x) диф в (a,b), причем f’(x)=0 при любом x (a,b), тогда f(x) постоянна в (a,b).

Док-во. Зафиксируем нек. точку (a,b). Пусть x – любая др. точка этого интервала. f(x) удовлетворяет всем усл-ям т-мы Лагранжа на сегменте []. По т. Лагранжа сущ с () такая, что f(x) – f() = f’(c) * ( - ). f’(c) = 0. f(x) – f()=0 , f(x) = f() для всех x(a,b)

Теорема Лагранжа

Пусть ф-я f(x) непрерывна на [a,b] и диф. В (a,b), тогда сущ. точка с (a,b) такая, что f(b) – f(a) = f’(c) * (b-a)

Док-во. Введем в рассмотрение функцию g(x), опр. Сл. Образом .

Ф-я g(x) непрерывна на [a,b] и диф в (a,b). g(a)=0 (если подставить точку a). G(b) ==f(b)-f(a)-(f(b)-f(a))=0. Сл. g(x) удовлетворяет на [a,b] всем условиямт.Ролля. Тогда сущ. точка с (a,b) такая, что g’(c)=0 (!1!). Из (1) следует: => g’(c)=0=

=f’(c)- , =f’(c) , f(b)-f(a)=

Теорема Ролля.

Эта теорема позволяет отыскать критические точки, а затем с помощьюдостаточных условий исследовать ф-ю на экстремумы.

Пусть ф-я f(x) непрерывна на [a,b], диф в (a,b) , при чем f(a) = f(b), тогда cущ. такая, что f’(c) =0

Доказательство

Обозначим через m и M точнюю нижнюю и точную верхнюю грань функции f(x) на сигменте [a,b], тогда

1 случай. m≤F(x) ≤M в любой точке x, рассматриваемого сигмента (m≤M). 1 случай m=M =>и из (1) , что f(x)=m=M в любой точке х, рассматриваемого промежутка (a,b) любого x . В этом случае в качестве точки с можно взять любую точку из (a,b) т.к рассматриваемая ф-я постоянна и произв. ее = о). 2 случай. Пусть m<M, тогда по 2 т. Вейерштрасса точные грани m и M достигаются на сигменте (a,b), при чем в силу условия f(a)=f(b) хотябф 1 из точных граней (пусть например M) достигается в интервале (a,b), сущ . такая, что f(c)=M => , что в точке с ф-я f(x) имеет локальный максимум => по т.Ферма f’(c) =0

Локальный экстремум.Необходимое ус-е локального экстремума.

Ф-я f(x) имеет локаьный экстремум в точке , если найдется такая окрестность в точке в пределах которой значения f( является максимальным. 1. Будем говорить, что ф-я f(x) имеет лок. Минимум в точке , если найдется такая окрестность в пределах которой знач.f(x) является мин. 2. Будем говорить, что ф-я f(x) имеет в локальный экстремум, если она имеет в этой точке либо локальный максимум, либо лок. минимум.

Теорема Ферма. (необходимое услоие лок. экстремума)

Пусть ф-я f(x) диф. В точке и имеет в этой точке лок. экстремум, тогда f’() = 0