Подпоследовательности числовой последовательности
Пусть
(1) x1, x2, x3, .., xn , ..
Рассмотрим возрастающ последов номеров k1< k2< k3< ..< kn < ..
(2)
,
,
,
..,
,
..
Числ послед (2) - это подпоследовательностью последовательности (1)
(3) x1, x3, x5, .., x2n-1 , ..
X2, x4, x6, .., x2n , ..
Заметим,
что k1
k2
> k1
k3
> k2
kn
Теорема о сходимости подпосл сходящихся последовательностей. Пусть последовательность Xn сходится к пределу a , тогда любая ее подпоследовательность сходится к пределу а.
Док-во:
Пусть {
}
любая подпосл сходящийся последовательности
{Xn},
т.к. Xn
сходится
к пределу а
при n
,
то по определение предела
такой, что
выполняется для любого
.
Если
⇒
kn
>
⇒
Отсюда
следует, что подпослед {
}
сход , причем
.
Следствие:
Отметим, что если из последоват можно извлечь 2 подпоследоват сходящиеся к разным пределам, то такая последоват расходится.
Действительно, если бы она сход к некотор пределу, то всевозможные её подпослед сход бы к одному и тому же пределу.
Монотонные последоват. Теорема Вейерштрасса о сходимости монотонной и ограниченной последоват.
Послед
{Xn}
наз-ся неубывающ если Xn+1
Xn
Послед
{Xn}
наз-ся невозрастающей если Xn+1
Xn
Послед {Xn} наз-ся монотонной если она либо невозраст либо неубыв.
Т-ма Вейерштрасса:
Если послед не убывает и ограниченна сверху то она сход.Если послед не возрастает и ограничена снизу то она сход. Д-во:
Рассмотрим
послед
,
.
⇒
{Xn}
невозрастающ.
при
,
то {Xn}
ограниченна снизу и следовательно по
т-ме Вейерштрасса она сходится.
=
Обозначим
;
;
;
⇒
.
Число е как предел последовательности.
Можно доказать что {Xn} не убывает и ограниченна сверх, по т-ме Вейерштрасса она сходится. Предел этой послед обазнач е
;
Фундаментальные последовательности. Критерии Каши сходимости числ послед
{Xn}
называется фундаментальной, если для
любого положительного числа
такой , что
-натур
справедливо нер-во
.
Т-ма:
Числ послед {Xn} сходятся тогда и только тогда, когда она фундаментальна.
Док-во:
(ограничимся док-вом необходимости)
Пусть послед {Xn} сходится, докажем что в этом случае она фундаментальная.
Положим
На
основании опр предела послед
справедливо нер-во
(1)
Пусть
n>N
,
тогда n+p>
N
для
-натур
(2)
для
-натур
Пусть
теперь n>
N
+
=
(для
-натур)
Определение предела функции по Каши и Гейне. Эквивалентность этих определений.
Опр 1(Каши):
Число
b
будет наз пределом функции f(x)
при
,
если для
такое, что нер-во
, удовлетворяющего условию
Опр 2 (Гейне):
Число
b
будет наз пределом функции f(x)
при
,
если для последоват значения аргумента
удовлетворяет условию {Xn},
,
,
Соответствующая
послед значения функции
сходится к пределу b.
По Каши:
По Гейне:
{Xn}
,
Опр пределов по Каши и по Гейне эквивалентны.
Теорема о пределе суммы, произведения и частного для функции.
Т-ма:
Пусть
,
, тогда
при
x
предел функции
,
.
Причем справедливы рав-ва
Если
доп-но
то сущ
Причем справедливо рав-во
Док-во:
Ограничимся случаем суммы функций.
Обозначим
через b=
и c=
.
Пусть {Xn}
произвольная последоват значений
аргумента, которая удовлетворяет усл-ям
,
,
.
Тогда
, а
c
, прия n
.
Но в этом случае на основании т-мы о пределе суммы для послед
Отсюда,
на основании опр Гейне о пределах
функции, следует, что
и справедливо рав-во
Замечательные пределы.
Справедливы след соотношения
1)
2)
Бесконечно малые последовательности и функции
{Xn}
– будем наз бесконечно малой, если
-
наз бесконечно малой при
,
если
Опр сравнения беск мал:
Будем
говорить, что бесконечно малая
является бесконечно малой более высого
порядка, чем
при
, если
=0
Опр эквив беск мал:
Бескон
мал
и
, при
наз эквивалентн, если
,
.
Теорема о замене бесконечно малой на эквив при вычисления предела:
При вычислении пределов произведений и частных бесконечно малую можно заменить на ей эквивалентную.
Предположим,
что
и
рассмотрим выражения
и
Справедливы
соотношения
=
и
=
Если
стремится к некоторому пределу b,
то поскольку
из соотношения
=
следует, что
стремиться к тому же пределу b.
В сумме заменить бесконечно малую на эквивалентную НЕЛЬЗЯ.
Односторонние пределы.
Пусть
ф-ия
определена на множестве Е и точка а
обладает св-вом : для любого положит
числа
>0
(а;а+
)
Опр правого предела:
Число
b
будем называть правым пределом функции
в точке а
, если
что
неравенство
выполняется для любого х
Е такого что 0<x<a+
Пусть
теперь а
такова,
что для любого
на интервале (а-
;а)
содержит точки из Е.
Опр левого предела:
Число
b
называется левым пределом
т.к. если
так, что
выполняется
для любого х
Е удовл условию а-
<x<а.
Понятие непрерывной функции.
Опр 1:
Будем
говорить, что
непрерывна в точке a,
если
сущ
и справедливо
рав-во
Опр 2:
Будем
говорить, что
непрерывна в точке a,
если
0
такое, что
Опр 3:
Будем
говорить, что
непрерывна в точке a,
если
для любой последовательности значений
аргумента {Xn}
удовлетв условию Xn
при n
.
Теорема о непрерыв суммы, произвед и частного.
Т-ма:
Пусть
непрерывна в точке a,
тогда их сумма (
),
произведение (
),
и при дополн усл
,
частного
- непрерывна в точке а.
Док-во:
Ограничимся
случаем суммы. Т.к.
непрерывны в точке а , сущ
Тогда
по т-ме о пределе суммы сущ
⇒
непрерывна в точке а.
Понятие сложной ф-ии. Т-ма о непрерыв сложн ф-ии.
Пусть
y=f(t)
определена на множестве
и пусть функция t=g(x)
определена на множестве E
, причем все её значения на Е не выходят
за пределы множества
.
Тогда на множестве Е определена сложная ф-ия F(x)=f(g(x))
Т-ма:
Пусть ф-ия t=g(x) непрерывна в точке x=a и ф-ия y=f(t) непрерывна в соответствующей точке b=g(a), тогда сложная ф-ия F(x)=f(g(x)) непрерывна в точке х=а.
Док-во:
Пусть
{Xn}
–произвольная послед аргументов х
удовлетворяющая условию Xn
при n
.
Т.к. g(x)
непрерывна в точке а, то tn=g(Xn)
g(a)=b.
Т.к. tn
b
при n
и f(t)
непрерывна в точке b
⇒
f(tn)
,
n
⇒
f(g(Xn))
f(g(a)),
n
.
F(Xn)
F(a)
, n
Значит, F(x)
непрерывна в точке х=а.
Точки разрыва ф-ии. Классиф точек разрыва.
Опр разр 1 рода:
Говорят,
что в точке а
имеет разрыв 1-го рода, если в этой точке
сущ оба односторонн предела
,
Опр разрыв 2-го рода:
Говорят,
что в точке а
имеет разрыв 2-го рода, если хотя бы один
из односторон пределов в этой точке не
сущ.
Пример:
Понятие производной. Таблица производных основных элементарных ф-ий.
F(x)
(a;b)
x0
(a;b)
Дадим аргументу приращение
⇒
x0+
считать
столь малым, что x0+
(a;b)
–приращение
аргумента в точке
, отвечающее прирощению аргумента
Предел
разностного отношения
при
(если он существует) называется
производной рассматриваемой ф-ии
в точке
.
Таблица производных основных эл ф-ий:
С’=0
Понятие дифференцируемой ф-ии. Критерии диф-сти.
Опр:
Будем
говорить , что ф-ия у=
диффир-ма в точке
, если ее приращение
в этой точке, отвечающее приращению
аргумента
представимо в виде
=А*
+а(
, где А=const,
a(
0 при
0
Т-ма Критерии диф-сти:
у=
дифф-ма в точке х0
тогда и только тогда, когда сущ производная
.
Д-во:
Пусть
диф-ма в точке х0
тогда для её приращения
справедливо представление
=А*
+а(
;
a(
0;
0.
Верно
на основании определения
a(
.
Правая
часть рав-ва стремящаяся к пределу А,
при
0 ⇒
существует
=А
⇒
сущ
и кроме того доказано что
=А.
Предположим
теперь, что сущ
.
Обозначим
a(
=
-
Т.к. при
0
, то правая часть соотношения a(
=
-
стремится к 0, при
0 ⇒
a(
0,
0.
а(
=
-
=
+
а(
=
+
а(
при а(
)
0 и
0
A=
⇒ у=
диф-ма в точке
. Если
диф-ма в точке
ее приращ
в этой точке отвечающие прирощению
аргумента
ровняется
=
+
а(
при а(
)
0 и
0
⇒
явл
бесконечно малой более высокого порядка
чем
=
.
=
+
,
если
-диф-ма в точке
.
Из
рав-ва
=
+
следует
Это
означает, что
,
.
;
при
⇒ Если
диф-ма в точке
, то она непрерывна.
Обратное неверно.
Т-ма о диф-ии суммы, произведения и частного.
Пусть
u(x),
v(x)
диф-мы в точке
, тогда u(x)+v(x),
u(x)*v(x)
и при условии (v(x0)
)
частное
так же диф-мо в точке
. Причем справедливы соотношения
(u+v)’(
=u’(
+v’(
)
(uv)’(
)=
u’(
v(
)+
u(
v’(
)
Док-во(для суммы):
y=u(x)+v(x)
=u(
)+v(
)-u(
)-v(
)=
+
Т.к.
u(x)
и v(x)
диф в точке
, то
),
v’(
),
Отсюда
и из
⇒
что сущ предел правой части рав-ва
⇒
и левой.
Значит
y=u(x)+v(x)
диф в точке
.
Переходя теперь в
к пределу при
получаем (u+v)’(
)=u’(
)+v’(
).
Док-во(для произв):
y=u(x)v(x)
=u(
)v(
)-u(
)v(
)=
u(
)v(
)-
u(
)
v(
)+
u(
)
v(
)-
u(
)v(
)=
v(
)
+
u(
)(
v(
)-
v(
))=v(
)
+
u(
)
Т.к.
ф-я v(х)
диф в точке
, то
v(
)
,
.
Т.к.
у= u(x)v(x)
диф ⇒
она непрерывна в точке
⇒
Сущ предел правой, а следовательно и левой части рав-ва
у=
u(x)v(x)
диф в точке
переходя в рав-ве к пределу получаем
(uv)’(
)=
u’(
v(
)+
u(
v’(
).
Док-во(для частного):
y=
;
=
=
y=
;
Т.к.
u(x)
и v(x)
диф в точке
, то
),
v’(
),
Т.к.
ф-я v(х)
диф в точке
v(
)
,
.
⇒ Сущ предел правой, а следовательно и левой части рав-ва
⇒ y=
диф в точке
Переходя теперь в рав-ве
К пределу, получаем
