Предел числовой последовательности. (пчп)

Пусть каждому натуральному числу n поставлено ненатуральное вещественное число X_n , тогда говорят, что задана последовательность n с числом X_n .

X_n==1+ 1 , n ; ==; ; ; n; ;.; ∀;; ; 1;

В качестве N() можно взять любое натуральное число больше .

ПЧП —число a будем называть пределом последовательности X_n при n стремящемся к бесконечности, если для любого положительного числа существует N() такой, что справедливо неравенство

-окрестности точки a будем называть интервал (а- ; а+)

2-Опр. ПЧП:

Число а называется пределом последовательности X_n при n, если любая окрестности а содержит все числа рассматриваемой последовательности, начиная с некоторого номера.

Числовую последовательность X_n называют сходящийся, если существует число а, являющаяся пределом этой последовательности, в противном случае последовательность является расходящейся.

Теорема: Предел сходящейся последовательности единственен.

{X_n} , a≠b, a= ,

N₀n_max {N₁;N₂} n₀N₁ n₀N₂ Док-во: Предположим противное, предел последовательности X_n не единственен, тогда существует 2 числа a≠b такие что a= и (для определенности будем считать, что аb).(1) Выберем окрестности точек a и b так, чтобы они не пересекались, т.е. чтобы .(Для этого очевидно надо подобрать так, чтобы ; )Из условия следует, что существуют такие номера N₁ и N₂, что X_n,Когда nN₁, и X_n , когда nN₂ .n₀max{N₁,N₂}, тогда ; Что противоречит (1)Получаем противоречие доказывающие теорему.

Теорема о пределе суммы, произведения и частного сходящихся последовательностей.

Пусть {X­_n} и {Y_n} – числ. последовательности.

(1) x₁, x₂, x₃, .., x_n , ..

(2)y₁, y₂, y₃, .. , y_n , ..

Последовательности

(3) x₁+y₁ , x₂+y₂, x₃+y₃, .. , x_n+y_n , ..

(4) x₁y₁ , x₂y₂, x₃y₃, .. , x_ny_n , ..

(5), , , .. , , ..

будем называть суммой, произведения и частным.

Т-ма:

1.Пусть X_n и Y_n – сходящиеся последовательности, тогда их сумма и произведение также являются сходящимися последовательностями, причем

2.Если , то последовательность сходятся, причем

Д-во:

Ограничимся случаем суммы последовательности.

Пусть , .

На основании определения предела последовательностей сущ. N такие, что (1) Обозначим через N=max{N₁,N₂}

(2) тогда для выполняется одновременно неравенства (1) и (2).

Далее получаем, если n>N, то

, n>N.

Переход к пределу в неравенстве.

Теорема:Пусть {X_n} и {Y_n} –сходящиеся последовательности, причем для n>m, тогда , .

Док-во:Обозначим a= и b=. Надо доказать, что .Предположим противное a>b. Зафиксируем число столь малым, чтобы выполнилось неравенство (чтобы окрестности не пересекались)Тогда на основании определения предела сущ N₁, N_2­ такие, что

, n>N₁ и , n>N₂

Выберем n₀>max(N₁,N₂,m), тогда очевидно ;

.

=> - противоречит условию.

Отметим, что для сход последовательностей и из строгого неравенства

< ; n>m не следует строгое неравенство между пределами этих последовательностей. Следовательно при переходе к пределу в строгом неравенстве надо заменить знак строго нер-ва на знак не строгого нер-ва.

Пусть последовательность {X_n}, {Y_n}, {Z_n} таковы, что X_n Y_n Z_n ; n>m.

Тогда, если при n

Y_n при n , то в этом случае

Z_n при n