- •1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •1. Теорема о среднем для определённого интеграла.
- •1. Определение интеграла Римана.
- •1. Теорема о среднем для определённого интеграла.
- •Билет №1
- •1. Формула интегрирования по частям для определённого интеграла.
- •2. Признак сравнения для ряда с неотрицательными членами.
- •3. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.
- •Билет №2
- •1. Теорема о среднем для определённого интеграла.
- •2. Формула замены переменной в определённом интеграле.
- •3. Интегральный признак сходимости числового ряда
- •Билет №3
- •1. Критериий Коши сходимости числового ряда.
- •2. Признак Даламбера.
- •3. Формула Ньютона-Лейбница.
- •Билет №4
- •1. Определение первообразной и неопределённого интеграла.
- •2. Подстановки Эйлера.
- •3. Формула интегрирования по частям для неопределённого интеграла.
- •Билет №5
- •1. Определение первообразной и неопределенного интеграла.
- •2. Интегрирование рациональной функции.
- •3. Обьём тела вращения.
- •Билет №6
- •1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •2. Схема исследования функции.
- •3. Первообразная и неопределенный интеграл.
- •Билет №7
- •1. Теорема о среднем для определённого интеграла.
- •2. Понятие суммы ряда. Необходимое условие сходимости.
- •3. Определение интеграла Римана.
- •Билет №8
- •1. Понятие длины кривой. Достаточное условие спрямляемости кривой.
- •2. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.
- •3 Определение обьёма тела.
- •Билет №9
- •1. Определение интеграла Римана.
- •3. Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора.
- •Билет №10
- •1. Определение первообразной и неопределённого интеграла. Вычисление интегралов
- •2. Формула замены переменной в неопределённом интеграле.
- •3. Интегралы от рациональной функции от sin X и cos X. Методы вычисления.
- •Билет №11
- •1. Теорема о среднем для определённого интеграла.
- •2. Формула замены переменной в определенном интеграле.
- •3. Подстановки Эйлера.
2. Понятие суммы ряда. Необходимое условие сходимости.
Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится. Элементы ряда an представляют собой либо вещественные, либо комплексные числа.
Пусть — числовой ряд. Число называется n-ой частичной суммой ряда .
Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм Sn, если он существует и конечен. Таким образом, если существует число , то в этом случае пишут . Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится.
Необходимое условие сходимости рядов:
Ряд может сходиться лишь в том случае, когда член un (общий член ряда) стремится к нулю:
Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.
3. Определение интеграла Римана.
Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс). Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка (см. рисунок). Если при «размельчении» разбиения существует предел, к которому сходятся площади таких фигур (интегральные суммы), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.
Определение через интегральные суммы:
Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f.
Рассмотрим разбиение отрезка — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок [a,b] на n отрезков . Длина наибольшего из отрезков δR =max(Δxi), называется шагом разбиения, где Δxi = xi − xi − 1 – длина элементарного отрезка.
Отметим на каждом отрезке разбиения по точке . Интегральной суммой называется выражение .
Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора , то это число называется интегралом функции f на отрезке [a,b], т.е. .
В этом случае, сама функция f называется интегрируемой (по Риману) на [a,b]; в противном случае f является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке [a,b].
Свойства:
-
Невырожденность:
-
Положительность: Если интегрируемая функция f неотрицательна, то её интеграл по отрезку [a,b] также неотрицателен.
-
Линейность: Если функции f и g интегрируемы, и , то функция αf + βg тоже интегрируема, и .
-
Непрерывность: Если интегрируемые функции fi равномерно сходятся на отрезке [a,b] к функции f, то f интегрируема, и . (Последняя формула может быть получена уже как формальное следствие свойств 1-3 и интегрируемости предельной функции.)
-
Аддитивность при разбиениях отрезка Пусть a < b < c. Функция f интегрируема на отрезке [a,c], тогда и только тогда, когда она интегрируема на каждом из отрезков [a,b] и [b,c], при этом .
-
Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману (следствие свойств 1-5). Разрывные функции могут быть интегрируемы, но могут и не быть; примером функции, не интегрируемой по Риману, является всюду разрывная функция Дирихле. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману: функция интегрируема по Риману на отрезке [a,b], если и только если на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интервалов со сколь угодно малой суммарной длиной).
-
Если функция F является первообразной непрерывной функции f, то интеграл функции f на отрезке [a,b] может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен F(b) − F(a). (Это - общее свойство любых интегралов, удовлетворяющих свойствам 1-5, а не только интеграла Римана.) Непрерывная на отрезке функция f всегда имеет первообразную, и каждая первообразная имеет вид: , где C - произвольная константа.