2. Интегрирование рациональной функции.

Для интегрирования рациональной функции , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

1. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

2. Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

4. Вычислить интегралы от простейших дробей.

Интегрирование простейших рациональных дробей:

У дробей с квадратичным знаменателем сначала надо выделить полный квадрат:

, где . Затем применяются следующие формулы:

Интеграл может быть вычислен за k шагов с помощью редукции:

Примеры:

Вычислить ;

Разложим подинтегральное выражение на простейшие дроби:

Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:

Следовательно

Тогда

Теперь легко вычислить исходный интеграл:

Вычислить интеграл

Сначала выделяем правильную рациональную дробь, разделив числитель на знаменатель:

Получаем:

Вычислить интеграл

Решение:

3. Обьём тела вращения.

Понятие объема в пространстве вводится аналогично понятию площади для фигур на плоскости.

Тело называется простым, если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид.

В частности, любой выпуклый многогранник является простым телом.

Объемом тела называется положительная величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и обладающая следующими свойствами:

• равные тела имеют равные объемы; при параллельном переносе тела его объем не изменяется;

• если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей;

• за единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины;

Пусть криволинейная трапеция D c границей вращается вокруг оси ОХ. Поперечными сечениями являются круги с радиусами у(х), поэтому и

Пусть криволинейная трапеция D с границей вращается вокруг оси OY, тогда и

Пример:

Определить объем тела, образованного вращением фигуры D с границей

а) вокруг оси ОХ;

б) вокруг оси OY.

При вращении фигуры D вокруг оси ОХ получим параболоид (рис а), объем которого

При вращении фигуры D вокруг оси OY получаем тело, изображенное на рис. б. Его объем

Билет №6

1. Формула Ньютона-Лейбница.

Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции , то .

Док-во. Мы установили, что функция - первообразная непрерывной f(x). Так как F(x) - тоже первообразная, то Ф(x) = F(x) + C. Положим в этом равенстве x = a. Так как , то . В равенстве переобозначим переменные: для переменной интегрирования t вернёмся к обозначению x , верхний предел x обозначим b. Окончательно, .

Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом: (здесь читается как "подстановка от a до b"), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: .

Пример применения формулы Ньютона-Лейбница: .