3. Первообразная и неопределенный интеграл.

Первообразная:

Функция F(x) называется первообразной для функции f (x) на данном промежутке, если для любого х из данного промежутка F'(x)= f (x).

Основное свойство первообразных:

Если F(x) – первообразная функции f(x), то и функция F(x)+ C , где C –произвольная постоянная, также является первообразной функции f(x) (т.е. все первообразные функции f(x) записываются в виде F(x) + С ).

Геометрическая интерпретация:

Графики всех первообразных данной функции f(x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу.

Первообразная - это величина, обратная производной. Т.е. если мы знаем, что , то для первообразной будет . Еще первообразная связана с определенным интегралами формулой Ньютона-Лейбница. Т.е. по сути первообразная есть интеграл, геометрический смысл которого - площадь под кривой.

Производная от функции скорости есть ускорение (быстрота изменеия скорости), а первообразная от функции скорости характеризует пройденное расстояние при данной скорости.

Правила нахождения первообразных:

Пусть F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x). Тогда:

1. F( x ) ± G( x ) – первообразная для f(x) ± g(x);

2. аF( x ) – первообразная для а f(x);

3. – первообразная для а f( kx + b ).

Примеры.

1. Выяснить, является ли функция первообразной для функции .

Решение: , т.е. F'(x) = f(x), следовательно, F(x)является первообразной для функции f(x).

Неопределенный интеграл:

Неопределенный интеграл данного выражения или данной функции называется наиболее общий вид его первообразной функции. Обозначается он . Постоянное слагаемое подразумевается включенным в это обозначение. Слово «неопределенный» подчеркивает, что в общее выражение первообразной функции входит постоянное слагаемое, которое можно взять по произволу.

Выражение называется подинтегральным выражением, а - подинтегральной функцией, переменная x – переменная интегрирования.

Более точное определение -

Пример:

;

;

Геометрический смысл неопределенного интеграла следует из геометрического смысла производной: уравнение y=F(x) +С на плоскости ХОY определяет семейство кривых (называемых интегральными кривыми), для которых в точке с абсциссой х угловой коэффициент касательных равен )

Физический смысл неопределенного интеграла: т.е. интеграл от скорости неравномерного прямолинейного движения дает зависимость пути от времени .

Свойства неопределенного интеграла:

Основные методы интегрирования:

1. Метод внедрения нового аргумента:

Если , то , где - непрерывно дифференцируемая функция

2. Метод разложения:

Если , то

3. Метод подстановки:

Если - непрерывна, то полагая , где непрерывна вместе со своей производной , получим

4. Метод интегрирования по частям:

Если u и v – некоторые дифференцируемые функции от x, то

Задача.

Билет №7

1. Теорема о среднем для определённого интеграла.

Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка , такая что .

Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда . Число заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка , такая что .

Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка такая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием [a,b] и высотой f(c) (на рисунке выделен цветом).