- •1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •1. Теорема о среднем для определённого интеграла.
- •1. Определение интеграла Римана.
- •1. Теорема о среднем для определённого интеграла.
- •Билет №1
- •1. Формула интегрирования по частям для определённого интеграла.
- •2. Признак сравнения для ряда с неотрицательными членами.
- •3. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.
- •Билет №2
- •1. Теорема о среднем для определённого интеграла.
- •2. Формула замены переменной в определённом интеграле.
- •3. Интегральный признак сходимости числового ряда
- •Билет №3
- •1. Критериий Коши сходимости числового ряда.
- •2. Признак Даламбера.
- •3. Формула Ньютона-Лейбница.
- •Билет №4
- •1. Определение первообразной и неопределённого интеграла.
- •2. Подстановки Эйлера.
- •3. Формула интегрирования по частям для неопределённого интеграла.
- •Билет №5
- •1. Определение первообразной и неопределенного интеграла.
- •2. Интегрирование рациональной функции.
- •3. Обьём тела вращения.
- •Билет №6
- •1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •2. Схема исследования функции.
- •3. Первообразная и неопределенный интеграл.
- •Билет №7
- •1. Теорема о среднем для определённого интеграла.
- •2. Понятие суммы ряда. Необходимое условие сходимости.
- •3. Определение интеграла Римана.
- •Билет №8
- •1. Понятие длины кривой. Достаточное условие спрямляемости кривой.
- •2. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.
- •3 Определение обьёма тела.
- •Билет №9
- •1. Определение интеграла Римана.
- •3. Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора.
- •Билет №10
- •1. Определение первообразной и неопределённого интеграла. Вычисление интегралов
- •2. Формула замены переменной в неопределённом интеграле.
- •3. Интегралы от рациональной функции от sin X и cos X. Методы вычисления.
- •Билет №11
- •1. Теорема о среднем для определённого интеграла.
- •2. Формула замены переменной в определенном интеграле.
- •3. Подстановки Эйлера.
2. Схема исследования функции.
1. Область определения
2. Исследование функции на четность, нечетность и периодичность
Если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения выполнено равенство , то – четная функция; если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения выполнено равенство , то – нечетная функция; в противном случае, – общего вида. График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
3. Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат
Точки пересечения с осью ОХ: , где – решение уравнения .
Точки пересечения с осью ОY: .
4. Нахождение промежутков знакопостоянства функции
Промежутки знакопостоянства функции – промежутки из области определения функции, где функция принимает положительные или отрицательные значения, т.е. или .
5. Нахождение производной функции, области определения производной, критических точек
Критические точки функции – внутренние точки области определения функции, в которых производная не существует или равна нулю.
6. Нахождение промежутков возрастания, убывания, точек экстремума и экстремумов
Критические точки функции разбивают область определения функции на промежутки. Для нахождения промежутков возрастания, убывания и точек экстремума нужно определить знак производной на каждом из полученных промежутков. Если производная функции положительна на некотором промежутке I, то функция возрастает на этом промежутке; если производная функции отрицательна на некотором промежутке I, то функция убывает на этом промежутке. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то данная точка является точкой экстремума.
7. Нахождение промежутков выпуклости функции и точек перегиба
Для нахождения промежутков выпуклости используется вторая производная функции. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции на промежутки. Если вторая производная на полученном промежутке положительна, то график функции имеет выпуклость вниз, если – отрицательна, то график функции имеет выпуклость вверх. Если при переходе через точку, в которой вторая производная равна нулю или не существует, вторая производная меняет знак, то данная точка является точкой перегиба.
8. Исследование поведения функции на бесконечности и в окрестности точек разрыва
Для исследования поведения функции в окрестности точки разрыва необходимо вычислить односторонние пределы: и . Если хотя бы один из данных пределов равен бесконечности, то говорят, что прямая – вертикальная асимптота.
При исследовании поведения функции на бесконечности необходимо проверить, не имеет ли график функции наклонных асимптот при и . Для этого нужно вычислить следующие пределы: и . Если оба предела существуют, то – уравнение наклонной асимптоты при . Частный случай наклонной асимптоты при – горизонтальная асимптота. Аналогично ищется наклонная асимптота при .
9. Построение графика (при необходимости нужно найти значения функции в дополнительных точках)