1.5.4. Преобразования Хинчина - Винера.

Корреляционные и спектральные характеристики случайного процесса связаны соотношениями Хинчина - Винера :

(54)

(55)

где - спектральная плотность случайного процессе.

Эти соотношения являются преобразованиями Фурье для случайных процессов. Особенность их в том, что в интегралах фигурируют не процессы, а их корреляционные функции. Из (54), (55) следует, что дисперсия процесса

(56)

Интегральной характеристикой спектральной плотности процесса служит ширина спектра

, (57)

где - максимальное значение . Интеграл (57) - это основание прямоугольника с высотой , площадь которого равна площади под кривой .

1.5.5. Взаимно - корреляционные функции и взаимные спектральные плотности сигналов используют наряду с корреляционной функцией и спектральной плотностью. Взаимно - корреляционная функция двух процессов X₁(t) и X₂(t)

(58)

где m₁ и m₂ - математические ожидания этих процессов.

Взаимная спектральная плотность

(59)

Если взаимные характеристики полученные усреднением по множеству, совпадают с таковыми, полученными усреднением по времени, то процессы называют совместно - эргoдическими.

1.6. Модели случайных сигналов и помех.

1.6.1. Телеграфный сигнал.

Так называют случайную последовательность прямоугольных положительных и отрицательных импульсов со случайными длительностями ₁ и ₂ и детерминированными амплитудами + и -. Если длительности импульсов распределены по показательным законам и с параметрами ₁ и ₂ , то телеграфный сигнал является стационарным случайным процессом, который имеет показательную корреляционную функцию

(60)

где ² - дисперсия процесса, =₁+₂ - параметр, значения которого полностью определяют корреляционные и спектральные свойства телеграфного сигнала.

Телеграфный сигнал обладает важным свойством. Изменением  можно в широком диапазоне изменять корреляционные и спектральные характеристики процесса. Характеристики телеграфного сигнала при 0 приближаются к характеристикам постоянной составляющей, при  - к характеристикам белого шума.

Определим интервал корреляции, спектральную плотность и ширину спектра телеграфного сигнала. Интервал корреляции определим по формуле (50) :

(61).

Из (61) следует, что чем больше , тем меньше время корреляции процесса. При   процесс вырождается в детерминированный, а при   - в белый шум, у которого все сечения, в том числе и соседние, не коррелированы.

Спектральную плотность телеграфного сигнала определим с помощью (54) :

(62)

Графики функций K() и S() имеют вид :

В соответствии с (57) ширина спектра телеграфного сигнала

(63)

При 0 0 процесс вырождается в постоянную составляющую, при   - в белый шум, у которого спектральная плотность постоянна в широком диапазоне частот. Для телеграфного сигнала

F₁=1 (64)

Отсюда следует важный вывод, что спектр случайного процесса тем шире, чем меньше интервал корреляции процесса.