1.6.3. Гауссовский процесс.

Случайный процесс, для которого n - мерная плотность распределения

(73)

называют гауссовским. Здесь

- определитель;

²- дисперсия ; m=0; R_ik=K/(t_i,t_k); A_ik - алгебраическое дополнение R_ik в А. Для стационарного процесса R_ik= R_ki , где =t_k-t_i. Поэтому для гауссовского процесса по корреляционной функции можно определить плотность распределения любого порядка. Первые два значения плотности распределения

(74)

(75)

1.6.4. Гауссовский белый шум.

Если гауссовский процесс является белым шумом, все n сечений его не корреляционны, A_ik=1, A=1, R_ik=R_ki=_ik², (_ik - символ Кронепера ). Поэтому плотность распределения N-го порядка определяют как произведение из n одномерных плотностей распределения

(76)

Распределенное по закону Гаусса колебание образуется в результате сложения большого числа независимых или слабокоррелированных случайных колебаний.

Л 9

1.7. Узкополосные и аналитические сигналы.

1.7.1. Определение узкополосного процесса.

Узкополосные и аналитические сигналы широко используют как модели реальных сигналов и помех. Процесс называют узкополосным, если

/₀<<1, (77)

где =₀-₁ - ширина спектра ; ₀=(₂+₁)/2 - средняя частота.

Узкополосные процессы могут быть реализованы на выходе устройств, работающих на высоких и промежуточных частотах. На экране осцилографа эти реализации имеют вид синусоиды с медленно меняющимися амплитудой и частотой. ( см. рис.)

1.7.2.Формы математических моделей.

Используют две равноценные формы аналитического представления узкополосных процессов в виде : амплитудно-частотно-модулированного колебания

X(t)=A(t)cos[₀t+Ф(t)], (78)

где A(t) - огибающая, Ф(t) - фаза ;

суммы двух амплитудно-модулированных колебаний

X(t)=A(t)cos₀t+b(t)sin₀t (79)

где a(t)=A(t)cosФ(t), b(t)=A(t)sinФ(t), (80)

A(t)= Ф(t)=arctg[b(t)/a(t)]. (81)

Выбор формы представления связан с выбором системы координат : в полярной применяют представление (80) и (81) устанавливают связь между характеристиками узкополосного процесса в полярной и декартовой системах координат.

Представление (79) можно рассматривать и как частный случай ортогонального разложения (используется всего одна гармоника). В то же время введение зависимости коэффициентов разложения от времени позволяет получить ряд полезных для описания модулированных сигналов свойств. Составляющую a(t) называют синфазной, а b(t) - квадратурной (говорят, что a(t) и b(t) находятся в квадратуре ). Функции a(t), b(t), A(t) и Ф(t) - медленно меняющиеся по отношению к гармоническому колебанию с частотой ₀. Функции a(t) и b(t) можно рассматривать и как ортогональные составляющие комплексной огибающей

(82)

а в более общем случае узкополосный процесс X(t) - как вещественную часть комплексной функции :

(83)

где

(84)

Комплексная форма записи узкополосного процесса (83) - обобщение символической записи гармонических колебаний, в которой А и Ф рассматривают не как постоянные величины, а как функции времени.