8.7. Синтез цифровых фильтров.

Большое практическое значение имеют методы синтеза ЦФ с требуемым видом импульсной или частотной характеристик ЦФ. Рассмотрим некоторые приемы синтеза ЦФ по заданным характеристикам их аналоговых прототипов.

8.7.1. Синтез по заданной импульсной характеристики аналогового прототипа g(t).

ЦФ строится с импульсной характеристикой, которая является результатом дискретизации g(t), т.е. ее k-й отсчет g(k)=g(kΔ). Если в импульсной характеристике Цф ограничится конечным числом слагаемых, получаем реализацию в виде трансверсального фильтра. При неограниченном числе компонент g(k) следует реализация в виде рекурсивного фильтра.

8.7.2. Синтез цф по заданной частотной характеристике ќ(ω) (или операторного коэффициента передачи k(p)).

Принципиально нельзя создать ЦФ, частотная характеристики которого ќцф(ω) повторяла бы частотную характеристику аналогового прототипа ќ(ωа), т.к. ќцф(ω) является периодической функцией частоты дискретизации ω_g. Однако, можно потребовать, чтобы весь интервал частот ωа, характеризующий аналоговую цепь, был преобразован в отрезок частот ωц ЦФ, на котором сохраняется форма характеристики ќ(ωа), причем

Е сли для перехода от р-плоскости (отображающей аналоговый прототип) к z-плоскости (отображающей цифровой фильтр) воспользоваться соотношением

то формально мы от частотной характеристики аналогового эквивалента переходим к системной функции ЦФ. Однако, если подставить в выражения для передаточной функции аналогового прототипа ќ(р), которая для цепей с сосредоточенными параметрами представляет собой отношение двух полиномов от Р (дробно-рациональную функцию), получим физически нереализуемую системную функцию ЦФ, т.к. она не выражается отношение двух полиномов от z.

Надо найти такое преобразование Р в Z, которое привело бы к реализуемому фильтру, но вместе с тем сохраняло бы основное свойство преобразование (69): т.е. переводило бы точки мнимой оси на плоскости Р (точки jω) в точки единичной окружности в z-плоскости.

Д ля синтеза ЦФ получило широкое распространение билинейное преобразование:

Д ля выяснения сущности преобразования (70) положим , т.е. комплексно-значные точки z лежат на единичной окружности и характеризуются аргументом (угловым сдвигом) ωцΔ. Тогда правая часть (70) принимает вид:

В оспользовавшись формулами ,(71) можно представить так:

П оследнему соотношению, согласно (70) соответствует мнимая аналоговая часть вида jωа, следовательно,

П ри выполнении неравенства

следует, что:

В более общем случае надо учесть изменение масштаба по оси частот ЦФ.

8.8. Учет погрешности цифровой фильтрации из-за квантования сигнала по уровням.

Появление быстродействующих многоразрядных процессоров цифровой обработки сигналов самых различных типов сделало возможным производить цифровую обработку сигналов не только речи и вещания, но и телевидения. Однако, даже при такой совершенной технике необходимо учитывать погрешности работы ЦФ, обусловленную квантованием уровней сигналов.

П усть х_max и x_min – наибольшее и наименьшее значение уровня сигнала на выходе аналого-цифрового преобразователя (АЦП). Если для квантования сигналов используется Q уровней, то при равномерном квантовании шаг квантования определяется соотношением

К вантованные отсчеты х_кв(k) описывают мгновенные значения аналогового дискретного сигнала x(k) с определенной погрешностью (с шумом квантования): ε(k)=x_кв(k)-x(k). Эта погрешность уменьшается (по модулю) с уменьшением Δх. Будем считать, что квантователь работает по следующим правилам: в качестве дискретного принимается уровень, ближайший к истинному. Если действительный входной уровень x(k) находится в середине между дискретными номерами q и (q+1) – выбирается любой из них. При оговоренных условиях погрешность ε_вх(k) лежит в пределах

Чаще всего считается, что случайная погрешность E_вх (при

различных k) равномерно распределена на отрезке . Тогда

ее математическое ожидание (МО) равно нулю, а дисперсия

Определим погрешность работы линейного с тационарного фильтра, обусловленную шумом квантования ε_вх(k). Дискретный входной отсчет ЦФ, обусловленный шумом квантования ε_вх(k), согласно (41) равен

 

Математическое ожидание выходного шума E_вых=0. Для нахождения дисперсии выходного шума предположим, что отдельные отсчеты входного шума E_вх(k) – независимые случайные величины с

равномерным распределением и дисперсией . Тогда

.

Выходной шум ЦФ, обусловленный квантованием сигнала, тем меньше, чем быстрее убывают отсчеты импульсной характеристики фильтра. Относительную погрешность ЦФ, обусловленную шумом квантования, можно определить так

Оценим влияние шума квантования на работу цифрового перемножителя. Из-за шума квантования квантованные отсчеты входного и опорного сигналов можно записать в виде

Тогда

Схема цифрового

перемножителя

Ошибка цифрового перемножителя из-за шума квантования будет такой

E_вых(k)=x(k)E_f(k)+f(k)E_x(x)+E_x(k)E_f(k)

П ри сделанных ранее предположениях о шуме квантования математическое ожидание . Предполагая шумы квантования сигналов x(t) и f(t) независимыми стационарными случайными процессами, получаем для дисперсии выходного шума перемножителя следующее выражение

Если сигналы x(t) и f(t) квантуются с одинаковым шагом _x=_t=p, то

Относительная погрешность работы цифрового перемножителя, обусловленная шумом квантования, будет такой