Розділ 5. Система рівнянь Максвела

§ 8. Електромагнітне поле

8.1. Вихрове електричне поле

Джерелами електричного поля можуть бути або електричні заря­ди, або змінні в часі магнітні поля. У першому випадку поле елект­ричних зарядів описується узагальненим законом Кулона . Це поле є потенціальним, й інтеграл по довільному замкненому контуру L дорівнює нулеві . Силові лінії електричних полів є незамкненими: вони виходять з позитивних зарядів і входять у негативні або простягаються в нескінченність. З цієї при­чини електростатичне поле не може забезпечити неперервний рух електричних зарядів уздовж замкнених провідників, тобто створити електричний струм. Щоб виник й існував тривалий час електричний струм у замкненому електричному колі, потрібна наявність сторон­ніх сил. Тоді . Електричне поле напруженістю Е, яке при цьому виникає в провіднику і зумовлює постійне напрямлене пе­реміщення електричних зарядів уздовж замкненого електричного ко­ла, докорінно відрізняється від електростатичного поля. Лінії напру­женості Е цього поля є замкненими вздовж провідного контуру, тому циркуляція вектора Е не дорівнює нулеві . Такі поля називають вихровими.

Електричні поля, які збуджуються змінними в часі магнітними полями, також є вихровими і для них циркуляція вектора напруже­ності Е по довільному замкненому контуру і не дорівнює нулеві, як в електростатичних полях, а дорівнює швидкості зміни магнітного потоку, який пронизує довільну поверхню, що спирається на контур інтегрування,

Такі вихрові електричні поля зумовлюють неперервний рух елек­тричних зарядів уздовж замкнених провідників, вміщених у це поле, тобто можуть спричинювати виникнення індукційних струмів, що вперше і спостерігалося в дослідах Фарадея.

За уявленнями Дж. Максвела, всяке змінне в часі магнітне поле збуджує в оточуючому просторі вихрове електричне поле. Існує істотна відмінність тлумачення електромагнітної індукції М. Фара­деєм і Дж. Максвелом. Якщо М. Фарадей уявляв електромагнітну індукцію як збудження електричного струму в замкненому провідни­ку під дією змінного магнітного поля, то, на думку Дж. Максвела, суть явища електромагнітної індукції зводиться до виникнення вих­рового електричного поля скрізь, де є змінне магнітне поле, і, отже, для прояву явища електромагнітної індукції наявність провідників є не обов'язковою. Виникнення індукційного струму в замкненому провідному контурі — це лише один із проявів виникнення вихрово­го електричного поля під дією змінного в часі магнітного поля. Вих­рове поле напруженістю Е може спричинювати й інші дії, напри­клад, поляризувати діелектрик, викликати пробій діелектрика між обкладками конденсатора, прискорювати або гальмувати заряджені частинки тощо. Вихрове електричне поле, що виникає при зміні магнітного поля, може збуджувати електричний струм у незамкненому електричному колі, наприклад у колі з повітряним плоским конден­сатором.

Отже, вихрове електричне поле виникає скрізь, де є змінне магнітне поле, силові лінії його є замкненими і воно здатне індукува­ти електричні струми. Закон електромагнітної індукції в узагальне­ному Дж. Максвелом вигляді записується так: . Та­кий запис закону свідчить про те, що скрізь, де є змінне магнітне по­ле , виникає вихрове електричне поле.

8.2. Електромагнітне поле

Електромагнітне поле є формою матерії, через яку здійснюється взаємодія між електричнозарядженими частинками. Поняття поля (електричного та магнітного) ввів М. Фарадей у 1830 р. Згідно з уявленнями Дж. Максвела заряджені частинки або струми створюють в усіх точках оточуючого їх простору особливий стан — поле, яке діє на всяку іншу заряджену частинку або струм, вміщені в довільну точку цього простору. Отже, поле заряджених електричних частинок або струмів зосереджене в усіх точках простору, що їх оточує. У кожній такій точці електро­магнітне поле характеризується енергією, імпульсом тощо.

Електромагнітне поле може існувати і вільно, незалежно від дже­рел, які його створили, у вигляді електромагнітних хвиль. У 1865 р. Дж. Максвел теоретично показав, що електромагнітні коливання за своєю внутрішньою природою мають властивість поширюватись у просторі зі швидкістю світла. Цей теоретичний висновок було підтверджено у 1888 р. дослідами німецького фізика Г. Герца, що відіграло вирішальну роль в утвердженні єдиної природи електрич­них, магнітних і світлових явищ.

Електромагнітне поле у вакуумі характеризується векторами на­пруженості електричного поля й індукції магнітного поля . Цими векторами визначаються сили, які діють з боку електромагнітного поля на рухомі й нерухомі електричнозаряджені частинки. У середо­вищі електромагнітне поле характеризують двома додатковими пара­метрами: вектором індукції (зміщення) електричного поля D і векто­ром напруженості магнітного поля Н.

Електромагнітне поле в будь-якому середовищі описується в макро­скопічній електродинаміці системою рівнянь Максвела, які дають можливість визначити силові характеристики поля і залежно від розподілу зарядів і струмів. Вихрове електричне поле збуджується змінним магнітним полем, а вихрове магнітне поле — змінним у часі електричним полем. Якщо в певній точці простору виникає змінне електричне поле, то в сусідніх точках виникає змінне магнітне поле, яке. у свою чергу, зумовлює появу в сусідніх точках змінного елек­тричного поля і т. д. Періодичні зміни електричного і магнітного полів становлять електромагнітне поле як форму матерії, через яку здійснюється електромагнітна взаємодія між матеріальними електричнозарядженими частинками. Оскільки до складу речовинного матеріального світу входять позитивні і негативні електричні заряди як структурні елементи атомів, то й електромагнітна взаємодія як між окремими електричними зарядами, так і їхніми сукупностями (рухомими або нерухомими) є невід'ємною властивістю матерії і, от­же, фундаментальною взаємодією поряд із сильною, слабкою та гравітаційною взаємодіями, які проявляються в природі. Електро­магнітна взаємодія є далеко діючою і може спричиняти як притяган­ня, так і відштовхування між зарядженими тілами або струмами. До електромагнітної взаємодії зводиться більшість макроскопічних явищ: сили пружності, тертя, поверхневий натяг. Електромагнітною взаємодією визначаються агрегатний стан речовини, хімічні перетво­рення, електричні, магнітні й оптичні явища, іонізація, різноманітні атомні процеси тощо.

Явища, які визначаються порівняно слабкими і повільно змінни­ми електромагнітними полями, описуються законами класичної електродинаміки за допомогою системи рівнянь Максвела. Для сильних і швидкозмінних полів визначальними є квантові ефекти, що описуються законами квантової електродинаміки.

8.3. Струм зміщення. Система рівнянь Максвела

Дамо загальну характеристику теорії Максвела. Вона розроблена способом послідовного теоретичного і математичного узагальнень основних експериментальних законів електричних і магнітних явищ: закону Кулона, узагальненого на основі теореми Гауса, закону повного струму та закону електромагнітної індукції. Теорія Максве­ла є феноменологічною, тобто такою, яка електричні і магнітні яви­ща не пов'язує із структурою речовини і заряду. В ній не розкри­вається внутрішній механізм явищ взаємодії поля і речовини. Вплив середовища характеризується макроскопічними параметрами: діелектричною ε і магнітною μ, проникностями та питомою електро­провідністю σ. Теорія Максвела розглядає поля, що створюються макроскопічними зарядами та струмами, рівномірно розподіленими в об'ємах, що є значно більшими від характерних об'ємів атомів і мо­лекул речовини, на відстанях від джерел значно більших за атомні розміри. Зміни полів розглядаються в часових інтервалах, значно більших від характерних часових інтервалів атомних процесів (наприклад, періоду обертання електронів на орбітах навколо ядер). Теорія Максвела розглядає макрополя, які є наслідком усереднення по фізично нескінченно малих об'ємах й інтервалах часу мікрополів. Ця теорія є теорією близькодії на противагу помилковим поглядам, які сформувалися на основі емпіричних законів електрики і магне­тизму, що допускали миттєве поширення у просторі електричних сигналів на будь-яку відстань без участі проміжного середовища (концепція далекодії). Концепція далекодії базувалася на ньютонівських уявленнях про характер сил всесвітнього тяжіння. Пізніше Дж. Максвел розвинув ідеї М. Фарадея, за якими електро­магнітні явища є проявом фізичних процесів у проміжному середо­вищі, що заповнює простір між зарядженими тілами або струмами. За Дж. Максвелом, електромагнітна взаємодія передається від однієї точки простору до іншої матеріальним агентом — електромаг­нітним полем — зі скінченою швидкістю, яка у вакуумі дорівнює швидкості світла с = 3∙10⁸ м/с. У теорії Максвела розкривається електромагнітна природа світла і, отже, електричні, магнітні та світлові явища розглядаються в єдності і зведені до однакової їхньої природи.

Рис. 8.1 Рис.8.2

Принципово важливою особливістю електричних і магнітних полів є наявність тісного взаємозв'язку між ними. Ще М. Фарадей експериментальне виявив, що зміна в часі магнітного поля спричи­няє виникнення вихрового електричного поля (явище електромаг­нітної індукції), а Дж. Максвел теоретично довів, що зміна в часі електричного поля має спричиняти виникнення вихрового маг­нітного поля. Теоретичний висновок Максвела пізніше, у 1888 р., було підтверджено дослідами Герца.

Закон електромагнітної індукції в інтегральній формі записують так:

. (8.1)

Зв’язок між зміною магнітного поля і напруженістю E вихрового електричного поля (або електрорушійною силою )схематично показано на рис. 8.1. Напрям ліній відповідає правилу Ленца. Цю закономірність відображає також і знак мінус у формулі (8.1). Гіпотеза Максвела полягала в тому, що існує аналогічне до (8.1) співвідношення між зміною в часі електричного поля і вихро­вим магнітним полем

. (8.2)

Зі зміною в часі індукції (зміщення) електричного поля виникаємагніторушійна сила . Це й було теоретично передбачено Дж. Максвелом.

Зв'язок між зміною індукції електричного поля і напрямом напруженості вихрового магнітного поля ілюструє рис.8.2. Звер­німо увагу на те, що зв'язок напряму H і визначається за прави­лом правого гвинта.

Вихрове магнітне поле, як відомо, створюється також струмами провідності (закон повного струму):

. (8.3)

Об'єднавши формули (8.2) і (8.3), можна записати

. (8.4)

З рівності (8.4) випливає, що в природі існує два джерела вихро­вого магнітного поля: струми провідності і змінне в часіелектричне поле . Оскільки змінне в часі електричне поле створює магнітне поле так само, як і струми провідності, то природ­но було вважати, що є також особливим струмом, який Дж. Максвел назвав струмом зміщення.

Перейдемо до диференціального запису рівняння (8.4). З цією метою застосуємо до лівої частини цього рівняння теорему Стокса і одержимо

. (8.5)

Тоді рівність (8.4) перепишемо так:

. (8.6)

Оскільки поверхня інтегрування в (8.6) є довільною, то від рівності інтегралів можна перейти до рівності підінтегральних ви­разів

. (8.7)

Рівності (8.4) і (8.7) виражають узагальнений Дж. Максвелом закон повного струму. З формули (8.7) видно, що вихрове магнітне поле створюється струмом провідності густиною j та струмом зміщення густиною .Густину струму зміщення вимірюють у тих самих одиницях, що й густину струму провідності, тобто в А/м². Термін «струм зміщення», введений Дж. Максвелом на основі уявлень про існування ефіру і його зміщення в електричному полі, за сучасними поглядами на природу електромагнітного поля не є вда­лим. Справді, взявши до уваги, що , можна записати

. (8.8)

Доданок називаютьполяризаційним струмом зміщення. Цей струм пов'язаний зі зміщенням під дією електричного поля зв'язаних зарядів в атомах діелектриків і, отже, він має певну аналогію зі струмом провідності. Складова , яку називаютьчистим струмом зміщення і яка може існувати не тільки в діелектриках, а й у вакуумі, ніяких аналогів струму не має (не відбувається зміщення зарядів). Отже, цю складову називають струмом зміщення формально. Вона має єдину спільність зі струмами, яка полягає в однаковому харак­тері збудження магнітного поля, що створюється струмами провідності і зміною електричного поля . Ця складова струму зміщення не переносить зарядів, не виділяє джоулевого тепла у ваку­умі, не проявляє хімічної дії.

Система рівнянь Максвела є узагальненим математичним запи­сом основних експериментальних законів електромагнітних явищ у довільному середовищі. Ці рівняння встановлюють співвідношення між векторами електромагнітного поля Е, В, D і Н та розподілом у просторі їх джерел: електричних зарядів і струмів. Обмеження, які накладаються на застосовність цих рівнянь, такі: тіла, вміщені в поле, є нерухомими; параметри ε, та σ, які характе­ризують властивості речовини в кожній точці, є незмінними в часі і не залежать від температури та напруженості зовнішнього поля; в полі немає постійних магнітів, сегнетоелектриків та феромагне­тиків. В інтегральній формі система рівнянь Максвела записується так:

; (8.9)

; (8.10)

; (8.11)

; (8.12)

а у диференціальній –

; (8.13)

; (8.14)

; (8.15)

. (8.16)

Перше рівняння Максвела – це узагальнення закону Біо-Савара-Лапласа і є більш загальною формою закону повного струму, який відображає той експериментальний факт, що джерелами вихро­вого магнітного поля можуть бути струми провідності і струми зміщення.

Друге рівняння Максвела є математичним записом експеримен­тального закону електромагнітної індукції Фарадея. Узагальнений фізичний зміст його полягає в тому, що всяка зміна в часі магнітного поля спричиняє збудження вихрового електричного поля.

Третє рівняння Максвела відображає експериментальний факт відсутності в природі магнітних зарядів, тобто відсутність джерел магнітного поля, подібних до джерел електричного поля (зарядів).

Четверте рівняння Максвела є узагальненням на основі теореми Гауса закону Кулона і фізично вказує на існування в природі джерел електричного поля у вигляді електричних зарядів, розподілених у просторі з об'ємною густиною ρ.

Як видно, рівняння Максвела не є симетричними відносно елек­тричного і магнітного полів. Це зумовлено наявністю в природі дже­рел електричного поля (електричних зарядів) і відсутністю подібних джерел магнітного поля (магнітних зарядів, монополів). Рівняння Максвела в інтегральній формі частіше використовують для розра­хунків характеристик поля. Ці рівняння застосовують і тоді, коли є поверхні розриву, де характеристики поля і середовища змінюються стрибкоподібне. Разом з тим ці рівняння в диференціальній формі передбачають неперервність усіх характеристик поля і речовини в просторі й часі. Диференціальну систему рівнянь доповнюють гра­ничними умовами

; ;

; .

Система рівнянь Максвела разом із граничними умовами не є замкненою системою рівнянь електромагнітного поля, оскільки вони не містять ніяких констант, що характеризують властивості середовища, в якому збуджується електромагнітне поле. Ці рівняння треба доповнити так званими матеріальними рівняння­ми, які для випадку слабких полів, що порівняно повільно зміню­ються в просторі і часі для ізотропних не феромагнітних і не сегнетоелектричних середовищ, можуть бути записані у вигляді

; ; ,

де σ — питома провідність провідника.

Константи ε, та σ вводяться в теорію феноменологічно без зв'язку з атомно-молекулярною структурою речовини, їх визнача­ють експериментально.

Рівняння Максвела разом з матеріальними рівняннями і гра­ничними умовами становлять повну замкнену систему рівнянь, яка дає можливість розв'язати будь-яку задачу макроскопічної електродинаміки: відшукати вектори поля в кожній точці просто­ру в довільний момент часу за відомим розподілом електричних зарядів і струмів у функції координат і часу або ж, навпаки, визна­чити розподіл зарядів і струмів за відомими значеннями векторів поля. Для стаціонарних полів система рівнянь Максвела розпадається на дві незалежні системи: на систему рівнянь електростатичного поля

; ; ;

;

і систему рівнянь магнітостатичного поля

; ; ;

; .

Статичні електричні й магнітні поля є незалежними між собою. У цьому разі джерелами електричних полів є лише електричні за­ряди, а джерелами магнітних — лише струми провідності.

Для вакууму (;) рівняння Максвела для електричного і магнітного полів стають симетричними

; ;

; .

У цьому разі джерелами вихрового магнітного поля є лише змінні в часі електричні поля, а джерелами вихрового електричного поля — лише змінні в часі магнітні поля.

Система рівнянь Максвела описує величезну область фізичних явищ. Ці рівняння лежать в основі розрахунків задач електро- і радіотехніки, теорії і практики магнітної гідродинаміки, нелінійної оптики, вони відіграють велику роль у розвитку фізики плазми та у вирішенні проблем термоядерного синтезу, їх застосовують при роз­рахунках прискорювачів елементарних частинок, в астрофізиці тощо.

120