- •1. Загальні поняття фізики
- •1.1.3. Фундаментальні типи взаємодії у природі
- •1.1.4. Фундаментальні закони збереження
- •1.1.5. Основні розділи фізики
- •2. Основи кінематики
- •2.1. Кінематика поступального і обертального руху
- •2.1.2.Пoняття мaтepiaльнoї тoчки тa aбcoлютнo твepдoгo тiлa
- •2.1.4. Система вiдлiку. Положення матеріальної тoчки у просторі
- •2.1.5.Швидкість поступального руху. Закон додавання швидкостей
- •2.1.7. Кінематика обертального руху
- •3. Динаміка матеріальної точки
- •3.1. Динаміка поступального руху
- •3.1.1. Класична механіка та межі її використання
- •3.1.2. Поняття сили, маси, імпульсу. Перший, другий, третій закони Ньютона
- •3.1.3. Принцип відносності Галілея
- •3.1.4. Закон збереження імпульсу
- •3.1.5. Реактивний рух
- •3.2. Енергія і робота
- •3.2.1. Енергія, робота, потужність
- •3.2.2. Енергія кінетична. Енергія потенціальна
- •3.2.3.Закон збереження енергії
- •3.2.4. Зіткнення двох тіл
- •3.2.5.Рух тіла відносно неінерціальної системи відліку. Сили інерції. Відцентрова сила. Сила Коріоліса
- •4. Обертальний рух твердого тіла
- •4.1. Момент сили. Момент імпульсу
- •4.1.1. Тверде тіло як система матеріальних точок
- •4.1.2.А. Момент сили і пари сил відносно точки
- •4.1.2.Б. Момент сили відносно осі
- •4.1.2.В. Момент імпульсу матеріальної точки
- •4.1.3. Закон збереження моменту імпульсу
- •4.1.4. Основне рівняння динаміки обертального руху
- •4.2. Момент інерції. Гіроскоп
- •4.2.1. Вільні осі. Головні осі інерції
- •4.2.2. Моменти інерції різних тіл
- •4.2.3. Кінетична енергія обертального руху
- •4.2.4. Гіроскоп. Гіроскопічний ефект. Процесія гіроскопа
- •4.3. Всесвітнє тяжіння
- •4.3.1. Закон всесвітнього тяжіння. Вільне падіння тіл
- •4.3.2. Гравітаційне поле і його характеристики
- •4.3.3. Маса гравітаційна і маса інертна
- •4.3.4. Перша та друга космічні швидкості
- •5. Релятивістська механіка
- •5.1. Елементи релятивістської механіки
- •5.1.1. Зв’язок і відхилення від законів Ньютона
- •5.1.2. Постулати Ейнштейна
- •5.1.3. Перетворення Лоренца
- •5.1.4. Висновки з перетворень Лоренца
- •5.1.5.Основи релятивістської динаміки: імпульс, маса, зв’язок маси і енергії, частинка з нульовою масою
- •6. Коливальний рух
- •6.1. Вільні незгасаючі гармонічні коливання
- •6.1.1. Загальні відомості про коливання
- •6.1.2. Вільні незгасаючі гармонічні коливання
- •6.1.3. Енергія коливального руху
- •6.2. Складання коливань
- •6.2.1. Векторна діаграма. Складання коливань одного напрямку
- •6.2.2. Складання взаємно-перпендикулярних коливань
- •6.3. Згасаючі та вимушені коливання
- •6.3.1. Згасаючі коливання. Добротність
- •6.3.2. Вимушені коливання
- •6.3.3. Резонанс
- •1. Основні значення і поняття. Основи мкт газів і термодинаміки
- •1.1.2. Макроскопічні параметри і їх мікроскопічна трактовка
- •1.1.3. Закони ідеальних газів
- •1.1.4. Рівняння стану ідеального газу
- •1.1.5. Основне рівняння мкт газів
- •1.1.6. Температура. Поняття температури
- •1.2. Перший закон термодинаміки
- •1.2.1. Внутрішня енергія термодинамічної системи
- •1.2.2. Теплота. Робота. Теплоємність
- •1.2.2. Перший закон термодинаміки
- •1.2.4. Ізопроцеси в ідеальних газах
- •1.2.4.А. Ізотермічний
- •1.2.4.Б. Ізобарний
- •1.2.4.В. Ізохорний
- •1.2.4.Г. Адіабатичний
- •1.3. Другий закон термодинаміки
- •1.3.1. Кругові процеси
- •1.3.2. Цикли Карно
- •1.3.2.А. Прямий обернений цикл Карно
- •1.3.2.Б. Обернений рівновісний цикл Карно
- •1.3.2.В. Необернений цикл Карно
- •1.3.3. Нерівність Клаузіуса
- •1.3.4. Ентропія та її властивості
- •1.3.5. Другий закон термодинаміки
- •1.4. Термодинамічний потенціал. Теорема Нернста
- •1.4.1. Внутрішня енергія
- •1.4.2. Енергія Гальм-Гольца
- •1.4.3. Ентальпія
- •1.4.4. Потенціал Гіббса
- •1.4.4. Теорема Нернста. Третій закон термодинаміки
- •2.1. Кристали та їх властивості
- •2.1.1. Будова кристалу
- •2.1.2. Класи і типи кристалів
- •2.1.3. Дефекти в кристалах
- •2.1.4. Теплоємність кристалів
- •2.2. Рідини та їх властивості
- •2.2.1. Будова рідини
- •2.2.2. Поверхневий натяг
- •2.2.3. Явища на межі рідини і твердого тіла
- •2.2.4. Капілярні явища
- •2.3. Фазові переходи
- •2.3.1. Фаза, фазові переходи
- •2.3.2. Випаровування, плавлення, конденсація, кристалізація
- •2.3.3. Рівняння Клайперона-Клаузіуса
- •2.3.4. Потрійна точка. Діаграма стану
- •2.4. Розподіл молекул газу за енергіями
- •2.4.1. Закон розподілу Больцмана
- •2.4.2. Закон розподілу Максвела
- •2.4.3. Закон розподілу Максвела-Больцмана
- •Частина 1. Електростатика і магнетизм Розділ 1. Електростатичне поле у вакуумі
- •§1. Постійний електричний струм
- •§2. Опис векторного поля
- •§ 3. Обчислення напруженості поля на підставі теореми Гауса
- •Розділ 2. Діелектрик в зовнішньому електричному полі
- •§4. Діелектрик в зовнішньому електричному полі
- •Розділ 3. Провідник в зовнішньому електростатичному полі
- •§5. Провідник в зовнішньому електростатичному полі
- •Розділ 4. Енергія електростатичного поля
- •§6. Енергія електростатичного поля
- •Розділ 5. Постійний електричний струм
- •§7. Постійний електричний струм та його характеристики.
- •§8. Класична електронна теорія електропровідності металів
- •Розділ 6. Контактна і об’ємна різниця потенціалів
- •§9. Робота виходу електрона
- •Розділ 7.Електричний струм у рідинах
- •§10. Електричний струм у рідинах
- •Розділ 8. Електричний струм у газах
- •§11. Електричний струм у газах
- •Частина 2. Електромагнетизм Розділ 1. Магнітне поле у вакуумі
- •§1. Магнітне поле і його характеристики
- •§ 2. Закон повного струму
- •§ 3. Контур зі струмом в зовнішньому магнітному полі
- •Розділ 2. Магнітне поле в речовині
- •§ 4. Магнітне поле в магнетиках
- •§ 5. Класифікація магнетиків
- •Розділ 3. Електромагнітна індукція
- •§ 6. Електромагнітна індукція
- •Розділ 4. Електричні коливання
- •§ 7. Електричні коливання
- •Розділ 5. Система рівнянь Максвела
- •§ 8. Електромагнітне поле
2.4. Розподіл молекул газу за енергіями
2.4.1. Закон розподілу Больцмана
Розглянемо розподіл мікрочастинок за енергіями на прикладі ідеального газу, що знаходяться в полі тяжіння: нехай сили поля напрямлені вздовж осі z.
Рис. 1
Тиск газу в різних точках вздовж цієї осі буде різним. Виберемо дві площини , причому. Ці площини орієнтовані перпендикулярно до осіz і знаходяться на відстані dz одна від одної. Якщо тиск газу на обох площинах буде чисельно дорівнювати p i p+dp, то різниця тисків dp чисельно дорівнює сумарній силі, що діє на частинки газу, що знаходяться в об’ємі даного паралелепіпеда з основою S і висотою dz відносно до площі даної основи:
,
n – концентрація молекул в даному об’ємі;
- сила, що діє на 1моль в точці з координатою z.
Дана сила пов’язана з потенціальною енергією молекули співвідношенням:
.
Таким чином, додатковий тиск dp чисельно дорівнює:
.
Приймаючи температуру ідеального газу у всіх точках однаковою, на основі рівняння Менделєєва-Клайперона, знаходимо, що:
.
Співставляючи два останні рівняння:
.
Проінтегрувавши і пропотенціювавши даний вираз, отримаємо:
. (1)
Рівняння (1) називають законом розподілу Больцмана.
В даному рівнянні іn- концентрації молекул газу в стані з відповідно прийнятою нульовою потенціальною енергією і деякою в стані 1.
Рівняння може бути отримане з більш загальних міркувань. Воно має універсальний характер, бо використовується для будь-яких систем з мікрочастинок, що знаходяться в різних потенціальних полях. Наприклад, для поля тяжіння Землі на великій висоті:
. (2)
Для двох різних станів з потенціальними енергіями , отримаємо:
. (3)
Так як тиск газу пов’язаний з концентрацією молекул рівнянням p=nkT, то на основі рівняння (2), запишемо:
. (4)
Тиск p і тиск :
- тиск на поверхні Землі;
p - на висоті z над Землею;
- молярна маса газу.
Рівняння (4) – барометрична формула.
2.4.2. Закон розподілу Максвела
Рис. 2
Теплова або середня квадратична швидкість представляє собою середню характеристику теплового руху усієї сукупності мікрочастинок. В дійсності, всі мікрочастинки рухаються з різними швидкостями і можна поставити питання про розподіл мікрочастинок за швидкостями.
Максвел вирішив цю задачу про розподіл молекул ідеального газу за швидкостями постійного руху в стані теплової рівноваги. Він показав, що вірогідність того, що деяке число молекул dN із загального числа молекул N володіє швидкостями, що лежать у інтервалі від до. Виражається дана вірогідність відношенням:
, (5)
f(v) - функція розподілу молекул за швидкостями;
dv - інтервал швидкостей, що розглядається.
Вигляд функції можна встановити на прикладі руху молекул ідеального газу в однорідному полі тяжіння. Спочатку розглянемо закон розподілу молекул по значенням вертикальної складової швидкості. Число молекул , що знаходяться в безкінечно тонкому шарі газу на висоті z, товщина dz:
,
n(z) – концентрація молекул газу на висоті z.
Рухаючись як вільні, дані молекули через деякий інтервал часу перейдуть на висоту і займуть шар. При цьому, їх швидкості будуть лежати в інтегралі віддо, але одне і те ж число молекул. Якщо прийняти, що, то незмінність числа цих молекул виражається:
, (6)
- концентрація молекул газу на висоті .
При русі в полі тяжіння горизонтальні складові швидкості не будуть змінюватись, а змінавизначається законом збереження енергії, згідно якого:
.
Якщо продиференціювати це рівняння, при вибраних сталих значеннях , отримаємо:
.
За час dt молекула на висоті z пройде шлях , а на висоті, пройде шлях.
Якщо виключимо елементарний час dt, то:
. (7)
Перемножимо почленно рівняння (6) і (7) і знайдемо:
.
Із урахуванням останнього виразу, рівняння (5) спрощується і приймає вигляд:
.
Використовуючи закон Больцмана у вигляді рівняння (2), отримаємо:
.
На основі закону збереження і перетворення енергії, знаходимо, що:
.
Тоді:
Звідси слідує, що:
. (8)
В стані теплової рівноваги рух молекул газу буде рівновигідним по всіх напрямках.
Так як вірогідність складної події, яка складається з незалежних подій, рівна добутку вірогідностей цих подій, то повні функція розподілу молекул за швидкостями буде мати вигляд:
.
Тоді:
. (9)
З урахуванням рівняння (9), запишемо рівняння (5):
, (10)
- об’єми нескінчено малого паралелепіпеда, що побудований в координатній системі простору швидкостей навколо точки з векторною координатою .
Так як тепловий рух молекул газу рівновірогідний у всіх напрямках, для визначення відношення необхідно просумувати усі елементарні об’єми, що знаходяться на відстаніі ці об’єми заповнять шаровий прошарок між 2 нескінчено-близькими сферами з радіусамиv i v+dv.
Об’єм такого шару:
.
Таким чином, число молекул з швидкостями в інтервалі від v до v+dv буде чисельно дорівнювати:
, (11)
- деяка стала, що не залежить від швидкості молекул.
Знайдемо вираз величини А. Так як інтервал швидкостей від нуля до нескінченності охоплює всі молекули, то очевидно, що інтеграл:
,
тоді:
.
Якщо зробити заміну змінних і скористатися значенням, що, то знайдемо:
.
З урахуванням цього, закон розподілу Максвела:
. (12)
Графік функції рівняння (9) представляє собою Гаусову криву розподілу випадкової кривої:
Рис. 3
Густина вірогідності розподілу молекул по швидкостям буде мати вигляд:
Рис. 4
Як слідує з даного рівняння, при кожній температурі є деяка швидкість, яка має найбільше число молекул (цю швидкість називають найбільш вірогідною). Знайдемо вираз для цієї швидкості з урахуванням рівняння (12), дослідивши дане рівняння на екстремуми. Скоротивши в рівнянні (12) сталі величини і проінтегрувавши, отримаємо:
.
Звідси знаходимо вірогідну швидкість:
. (13)
Середня арифметична швидкість молекул:
.
Стан газу можна характеризувати однією з трьох швидкостей:
- вірогідною;
- середньою арифметичною;
- середньою квадратичною.
Наприклад:
p,V – тиск і об’єм.
Співвідношення між цими швидкостями:
.