4.1.2.В. Момент імпульсу матеріальної точки

Нехай матеріальна точка маси m рухається відносно т.О з швидкістю v. Момент імпульсу цієї матеріальної точки відносно т.О буде знаходитися аналогічно до моменту сили:

. (11)

Рис. 4

Модуль моменту імпульсу:

. (12)

Рис. 5

Момент імпульсу тіла, яке обертається навколо осі Z:

, (13)

. (14)

Візьмемо рівняння (11) і продиференціюємо за часом:

,

- дорівнює нулю, бо імпульс , тоді момент сили:

. (15)

Отримали рівняння аналогічне до 2-ого закону Ньютона:.

Якщо продиференціювати по часу рівняння (13), то:

. (16)

Напрямок моменту імпульсу і моменту сили знаходиться за правилом векторного добутку або за правилом буравчика: якщо ручку буравчика повертати по найкоротшому шляху в напрямку від вектора, який вказаний першим у векторному добутку до другого вектора, то напрям поступального руху кінця вкаже напрям векторного добутку.

4.1.3. Закон збереження моменту імпульсу

Розглянемо рівняння (15) залежно до системи, що складається з N матеріальних точок, які взаємодіють між собою. В загальному випадку для будь-якої матеріальної точки:

, (17)

де - результуючий момент внутрішніх сил, що діють на дану точку;

- результуючий момент усіх зовнішніх сил.

. (18)

Величину моменту імпульсів запишемо так:

. (19)

Цю величину називають імпульсом матеріальних точок.

Так само, як і в законі збереження імпульсу, перший доданок у рівнянні (18) дорівнює нулю і тоді:

. (А)

У випадку замкненої системи сума внутрішніх сил:

або . (20)

З рівняння (20) випливає, що момент імпульсу замкненої системи матеріальних точок залишається сталим . Дане твердження складає зміст закону збереження імпульсу.

Спроектуємо усі величини з рівняння (А) на напрямок Z. Якщо помножити на орт цього напрямку, отримаємо:

. (21)

З рівняння (21) випливає, що якщо результуючий момент зовнішніх сил відносно осі дорівнює нулю, то і момент імпульсу відносно осі залишається сталим.

Закон збереження моменту імпульсу так само як і закон збереження імпульсу можна довести, базуючись на ізотропності простору: якщо замкнену систему тіл повернути на будь-який кут, поставивши усі тіла в ній в ті самі умови, в яких вони знаходились в минулому стані, то це не відобразиться на ході усіх слідуючих явищ. На поворот системи без зміни швидкості матеріальних точок, що входять до неї не потрібно витрачати роботу, звідки витікає закон збереження імпульсу.

4.1.4. Основне рівняння динаміки обертального руху

Використаємо рівняння моментів відносно осі щоб розглянути даний обертальний рух.

Рис. 6

Тіло яке обертається навколо осі Z, розіб’ємо на елементарних об’ємів, що мають масу. Момент імпульсу і-того елементарного об’єму відносно осіZ буде дорівнювати

.

Враховуючи, що вектори таперпендикулярні і те, що , знаходимо, що:

Вектор моменту імпульсу напрямлений перпендикулярно до площини векторів таі складає кутз віссюZ. Проекція цього вектора на вісь обертання називається моментом імпульсу матеріальної точки відносно осі обертання. Проводячи послідовний векторний добуток знаходимо, що:

. (22)

Так як , то отримаємо:

.

Момент імпульсу усього тіла відносно осі Z дорівнює сумі моментів імпульсів відносно осі для N елементарних об’ємів, тобто:

. (23)

Величину, яка дорівнює

(24)

називають моментом інерції тіла відносно осі обертання. Якщо підставити у рівняння (23), то:

. (25)

У випадку, коли момент інерції не змінюється з часом згідно зі зміною миттєвої конфігурації системи, рівняння (25) приймає вигляд:

,

- момент усіх зовнішніх сил відносно осі обертання. Це і є основне рівняння динаміки обертального руху навколо нерухомої осі.

Момент імпульсу часто називають обертальним імпульсом системи.

Похідна обертального імпульсу системи по часу дорівнює моменту зовнішніх сил відносно осі обертання. Якщо момент зовнішніх сил відносно осі обертання дорівнює нулю, то обертальний імпульс:

.

Якщо на тіло не діє результуюча обертальна сила, то воно обертається без прискорення.

Лекція 6