3.2.2. Енергія кінетична. Енергія потенціальна

Визначимо роботу рівнодійної сили F зовнішніх сил при переміщенні точки М на скінченому шляху між т.і т.деякої кривої траєкторії. Обчислимо криволінійний інтеграл (3), підставивши:

,

- імпульс цієї матеріальної точки.

Оскільки маса не залежить від швидкості, то і в цьому випадку робота А між точками 1 і 2:

. (10)

Рис. 3

В загальному випадку вектори імають різні напрями і модуль вектора:. В цьому разі скалярний добуток, тоді рівняння (10) буде мати вигляд:

.

Таким чином, робота між т.1 і т.2:

. (11)

Величину, яка дорівнює , позначаютьW.

W – кінетична енергія матеріальної точки:

. (12)

Використовуючи (12), рівняння (11) запишемо:

. (13)

З рівняння (13) випливає теорема 1:

робота усіх зовнішніх сил, що діють на матеріальну точку дорівнює приросту кінетичної енергії цієї точки. Кінетична енергія – енергія, яка є мірою механічного руху, вимірюється роботою, яку може здійснити точка при її гальмуванні до повної зупинки (проти тормозної сили).

Якщо , то над матеріальною точкою виконується робота зовнішніх сил і її кінетична енергія збільшується.

Якщо , то матеріальна точка віддає свою кінетичну енергію, здійснюючи роботу проти зовнішніх сил.

Кінетична енергія системи матеріальних точок дорівнює сумі кінетичних енергій кожної точки окремо:

. (14)

теорема 2:

робота усіх зовнішніх сил, що діють на систему матеріальних тіл дорівнює приросту кінетичної енергії в цій системі.

Усі сили в механіці:

1. консервативні – сили, робота яких не залежить від шляху переходу системи матеріальних точок від початкового положення до кінцевого, а визначається тільки координатами цих положень. Наприклад, сила тяжіння, пружності, сили Кулона, гравітації.

Обчислимо роботу в колі центральних сил:

. (15)

Отже залежить від відстанііточок 1 і 2 до силового центра і не залежить від форми шляху, по якому точка перейшла із положення 1 в положення 2.

Робота консервативних сил має знак „-”.

Рис. 4

Робота консервативних сил по замкненому шляху(початкове і кінцеве значення збігаються) дорівнює нулю:

.

2. неконсервативні – усі сили, які не є консервативними, називаються неконсервативними. Наприклад, сила тертя, опору, Лоренца, гіроскопічні сили.

Систему матеріальних точок можна характеризувати потенціальною енергією, якщо на неї діють тільки консервативні сили.

Потенціальна енергія – частина механічної енергії системи, яка визначається взаємними положеннями матеріальних точок(конфігурацією системи) і характером сил взаємодії між ними.

Рис. 5

Якщо розглядати переміщення матеріальної точки в полі консервативних сил між положенням 1 і 2, які задані радіус-векторами і, то очевидно, що робота між цими точками:

. (16)

Сума робіт у правій частині рівняння не залежить від положення проміжної т. тільки у одному випадку: коли функціябуде мати вигляд різниці значень у точках 1 і 2 однієї і тієї ж самої функціїU, що залежить від положення точки в просторі, тобто:

.

Потенціальна енергія – функція U, яка залежить від положення точки. Різниця її значень між початковим і кінцевим положенням дорівнює роботі матеріальної точки між цими положеннями, тобто:

, (17)

. (18)

Покажемо, при якому зв’язку між силою і потенціальною енергією силове поле буде вважатися потенціальним. В консервативному полі сила при нескінчено малому переміщенні:

, (19)

dU – функція U=U(x,y,z).

Векторне рівняння у проекціях на вісі:

.

Звідси за властивістю повного диференціала:

. (20)

Оскільки вектор сили , то консервативна сила пов’язана з потенціальною енергією слідуючим відношенням:

. (21)

Вираз у дужках – вектор, який називається градієнтом скаляра U і позначається символом:

. (22)

В даних позначеннях рівняння (21) матиме вигляд:

. (23)

Мінус у рівнянні вказує на те, що сила в довільній точці поля завжди має такий напрям, в якому потенціальна енергія зменшується; в тих точках, де потенціальна енергія – мінімальна або максимальна, сила дорівнює нулю, тобто сума частинних похідних дорівнює нулю, і тоді:

. (24)

Повна механічна енергія системи дорівнює сумі енергій:

. (25)