Вопрос 41. Умозаключения из суждений с отношениями.

Умозаключение, посылки и заключение которого являются суждениями с отношениями, называется умозаключением с отношениями. Например: Петр — брат Ивана, Иван — брат Сергея, Петр — брат Сергея. Посылки и заключение в приведенном примере — суждения с отношениями, имеющие логическую структуру xRy.

Логическим основанием умозаключений из суждений с отношениями являются свойства отношений, важнейшие из которых — 1) симметричность, 2) рефлексивность и 3) транзитивность.

1. Отношение называется симметричным, если оно имеет место как между предметами х и у, так и между предметами у и х. Иначе говоря, перестановка членов отношения не ведет к изменению вида отношения. Симметричными являются отношенияравенства(если а равно b, то и b равно а),сходства(если с сходно с d, то и d сходно с с),одновременности(если событие х произошло одновременно с событием у, значит, и событие у произошло одновременно с событием х), различия и некоторые другие. Отношение симметричности символически записывается: xRy —> yRx.

2. Отношение называется рефлексивным, если каждый член отношения находится в таком же отношении к самому себе. Таковы отношенияравенства(если а=b,то а=а и b=b) иодновременности(если событие х произошло одновременно с событием у, значит, каждое из них произошло одновременно с самим собой). Отношение рефлексивности записывается: xRy —> xRx ^ yRy.

3. Отношение называется транзитивным, если оно имеет место между х и z тогда, когда оно имеет место между х и у и между у и z. Иначе говоря, отношение является транзитивным (переходным) тогда и только тогда, когда из отношения между х и у и между у и z следует такое же отношение между х и z. Транзитивными являются отношенияравенства(если а равно b и b равно с, то а равно с),одновременности(если событие х произошло одновременно с событием у и событие у одновременно с событием z, значит, событие х произошло одновременно с событием z), отношения «больше», «меньше» (а меньше b, b меньше с, значит, а меньше с), «позднее», «находитьсясевернее(южнее, восточнее, западнее)», «быть ниже, выше» и т.п. Отношение транзитивности записывается: (xRy ^ yRz) —> xRz.

Для получения достоверных заключений из суждений с отношениями необходимо опираться на правила, вытекающие из свойств отношений. Из свойства симметричности (xRy—>yRx) вытекает правило: если суждение xRy истинно, то суждение yRx тоже истинно. Например:

А подобно В

В подобно А.

Из свойства рефлексивности (xRy-> xRx ^ yRy) вытекает правило: если суждение xRy истинно, то истинными будут суждения xRx и yRy. Например: а=b а=а и b=b.

Из свойства транзитивности (xRy ^ yRz—>xRz) вытекает правило: если суждение xRy истинно и суждение yRz истинно, то суждение xRz также истинно. Например: К. был на месте происшествия раньше Л., Л. был на месте происшествия раньше М., К. был на месте происшествия раньше М.

Таким образом, истинность заключения из суждений с отношениями зависит от свойств отношений и регулируется правилами, вытекающими из этих свойств. В противном случае заключение может оказаться ложным. Так, из суждений «Сергеев знаком с Петровым» и «Петров знаком с Федоровым» не следует необходимого заключения «Сергеев знаком с Федоровым», так как «быть знакомым» не является транзитивным отношением.