11.Работа силы и мощность. Кинетическая и потенциальная энергия

Под действием постоянной силы FтелоВможет совершить некоторое перемещениеr. Очевидно, что изменение скорости по модулю и перемещение возможно лишь в том случае, если проекция силы на направление перемещения тела отлична от нуля.

Составляющая силы Fcosназываетсядвижущей силой. Нормальная составляющая не вызывает перемещения тела по путиS.

Для характеристики перемещающего действия силы вводится

В

В S

Fcos

r Рис.1.

понятие работы. Работа равна произведению движущей силы на перемещение:А = |F| |r|cos, т.е. (1)А = (Fr) -скалярное произведение векторов силыFи перемещенияr. Работа – величина скалярная. Из (1) видно, что при 0<<90⁰- работа положительна – сила вызывает перемещение тела; при 90⁰<<180⁰– работа отрицательна – сила препятствует движению тела; при= 90⁰– сила не совершает работы по перемещению тела. В частности,центростремительная сила, действующая на тело, равномерно вращающееся по окружности,работы не совершает, т.к.F_ц.с.V. ЕслиF||r, тоА =Fr.

Если тело перемещается под действием нескольких сил, то совершаемая ими работа равна сумме работ всех этих сил А =А_i=(F_i r) (2)

Чтобы найти работу переменной силына криволинейном пути, весь путь разбивают на достаточно малые элементы. Далее, для вычисления работы на каждом из элементов пути уже можно воспользоваться формулой (1). ТогдаА_i = F_i r_i cos_i .

Работа переменной силы на всем криволинейном пути: А = F_ir_icos_i.

Поскольку число слагаемых конечное, то получится лишь приблизительная величина работы на пути. Чтобы увеличить точность, необходимо nилиr_iи найти предел этой суммы, что практически сводится к операции интегрирования. Следовательно,

А = limF_i r_i = Fcosdr.

ro

F_s

Рис.2.

S

dS

Единицей работы является джоуль.1 Дж – работа, совершаемая силой 1Н при перемещении тела на расстояние 1м в направлении действия силы. 1Дж = 1 Нм.

Мощность Nизмеряется отношением работыА к промежутку времениt, за который она совершена:N=A/t. (3)

В случае движения тела с постоянной скоростьюVпод действием силыFмощность выражается формулойN=A/t=Fr/t=FV.

Если же процесс работы протекает с течением времени неравномерно, то мощность определяется как отношение величины элементарной работы dAк элементарно малому отрезку времениdt, за который эта работа совершаетсяN=dA/dt(мгновенная мощность)

В системе СИ единица мощностиватт (Вт). 1Вт – мощность, при которой за время 1с совершается работа 1 Дж. 1 Вт = 1 Дж/с. 1гВт = 100 Вт, 1кВт = 1000 Вт.

Рассмотрим еще одну физическую величину энергию, которая является количественной мерой движения материальных тел и систем, единой для всех форм движения материи. Процесс работы есть одна из форм передачи энергии от одного тела к другому. Поэтомуработа может служить количественной мерой передаваемой энергии, она определяет изменение энергии тела. Именно работа А, приложенной к телу внешней силы, равна изменению энергии этого телаА =Е = Е₂– Е₁. (4)

Энергия характеризует способность тела или системы тел совершать работу.Энергия измеряется максимальной работой, которую при определенных условиях может совершить эта система. Для измерения энергии служат те же величины, что и для измерения работы.

Кинетическая энергия.Если под действиемпостоянной силы F тело массыmперемещается наХ, то сила совершает работу и энергия движущегося тела возрастает на величину проделанной работы. Если телоперемещаетсяпо горизонтальной прямой, тоА =Fx

m

F X

Рис.3.

Используя 2-ой зак. Ньютона и выражение для перемещения при равноускоренном движении, получим А =mWx=mW(V₀t+Wt²/2 ). (5)

Определим время из уравнения V(t) =V₀+Wtt= (V – V₀)/W и подставим его в (5)

А = mW V₀(V – V₀)/W + (V – V₀)²/2W²  = mV²(t)/2 – mV₀²/2 (6)

Величину Е_к=mV²/2 - наз.кинетической энергией.

Т.о., работа, совершаемая телом, равна изменению его кинетической энергии.А = Е_к1– Е_к0.

Кинетическая энергия увеличивается, когда А > 0 и уменьшается, когда А<0. Например, силы трения совершают А<0.

Если в конце рассматриваемого перемещения тело останавливается (V(t) = 0), то совершенная максимальная работа равна кинетической энергии тела в начале перемещения. Значит, работа силы трения является мерой изменения кинетической энергии.

Второй вид механической энергии – потенциальная энергия Е_п– определяется взаимным положением тел или частиц, находящихся под воздействием сил взаимодействия. Потенциальная энергия запас работы, которую могут совершить действующие на тело силы взаимодействия при перемещении этого тела из данного положения в конечное положение из которого дальнейшее его перемещение под действием тех же сил уже невозможно. Потенциальная энергия тела, занимающего какое-либо положение в пространстве, обычно находится путем вычисления указанной работы действующих на него сил. Только при этом необходимо предварительно установить то конечное состояние тела, в котором его потенциальная энергия принимается равной 0.

Для примера определим: 1) потенциальную энергию упругодеформированного тела.Она равна максимальной работе А, совершаемой силами упругости, восстанавливающими первоначальный размер и форму стержня: Е_п= А. Сила упругости равнаF=ESl l.

Эта сила является переменной величиной: она линейно зависит от удлинения l, изменяясь от 0 приl= 0 доF. Поэтому можно считать, что при перемещенииlдействуетсредняя сила упругости <F> = ( 0 +F)/2 =F/2.

Тогда A= <F>l = Fl 2 =ES(l)²/2l₀, следовательно Е_п= к(l)²/2, (7)где к =ES/l- коэффициент пропорциональности в законе Гука.

2) Определим потенциальную энергию тела массой m, находящегося на небольшой высоте h над земной поверхностью. Е_п= -fMm/(R+h) = -f(Mm/R)/(1 +h/R), где М – масса Земли,R– радиус Земли. Так какh/R<<1, то пренебрегаяh²/R²по сравнению с 1, можно считать 1/(1 +h/R) = (1 –h/R)/(1 –h²/R²)1 –h/R.

Тогда Е_п= -fMm(1 –h/R)/R= -fMm/R+ (fM/R²)mh, ноfM/R²=g,

Тогда W_п= -fMm/R+mgh, гдеfMm/R– потенциальная энергия тела, находящегося на уровне земной поверхности, обычно принимают равной 0, тогда Е_п=mgh.