2. Движение материальной точки по окружности. Нормальное и тангенциальное ускорения. Связь угловых и линейных характеристик движения

Рассмотрим абсолютно твердое тело с закрепленной осью ОО, изображенное на рис.3. Проведем через эту ось две плоскости:QиP.

O



rr rrr

M

P

O Рис.3.

Неподвижная плоскость Q будет являться телом отсчета.Подвижная же плоскость Р скреплена с телом и вращается вместе с ним. Мгновенное положение этой плоскости будет характеризоваться величиной двугранного угла. Задание угла поворотав этом случае целиком определяет положение тела; тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет лишьодну степень свободы.Уголсчитается положительным, если вращение происходит таким образом, что при наблюдении вдоль оси сверху вниз уголотсчитывается по часовой стрелке. При вращении в обратном направлении<0. При совершенииnоборотов угол= 2n.

Зависимость =(t) - наз.уравнением вращательного движения тела.

При вращении всего твердого тела в целом отдельные его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения.

Кинематические характеристики различных движущихся точек (S,V,W) связаны друг с другом и с кинематическими характеристиками движения всего тела в целом.

Рассмотрим произвольную точку М, лежащую в подвижной плоскости Р. Угол поворота всего тела и путьS, пройденный точкой М, будем отсчитывать от плоскостиQ. Еслиизмерять в радианах, тоSисвязаны известным равенствомS=r

За промежуток времени tтело повернется наи точка М пройдет путьS=r.

Делим обе части равенства на tи перейдем к пределу

Lim S/t = r lim /t; (1)

tt

 lim/t=d/dt- угловая скорость

t

1 об/мин = 2/60 (рад/с) =/30 (рад/с), Т- период обращения – время в течение которого тело поворачивается вокруг неподвижной оси вращения на угол= 2. Из (1) следуетV=r.

Угловую скорость вращения тела условились считатьвектором, направление которого определяется известнымправилом винта: если головку винта вращать в направлении вращения тела, то направление движения оси винта совпадает с направлением вектора угловой скорости. Очевидно, что векторвсегда направлен || ООв ту или другую сторону в зависимости от направления вращения. В векторном видеV=r, откудаV =rsin(,r) =r, т.к.sin90⁰= 1.

Угл скор вращ тела счит вектором, направл кот определ известн правилом винта: если головку винта вращ в направл вращ тела, то направл движ оси винта совпад с направл вектора угл скор. Вектор всегда направл || ООВ вект виде:V=r,V=rsin(,r) =rУгл скор будет одинак у всех точек вращ тела, а лин скор различ точек тела по велич будут пропорц расстоян их до оси вращr.

Очевидно, что угловая скорость будет одинаковой у всех точек вращающегося тела, а линейные скорости различных точек тела по величине будут пропорциональны расстоянию их до оси вращения r.

При неравномерном вращении изменяется и заtполучает приращение; приращение линейной скорости произвольной точки МVбудет равноVrr, т.к.r=соnst.

Разделив обе части этого равенства на tи переходя к пределу, получим

Lim Vt  r lim t = r d/dt = r,

tt

где - угловое ускорение.= рад/с²

 = d/dt(d/dt) =d²/dt²

Угловое ускорениесчитается векторной величиной. Вектор углового ускорения направлен ||, если вращение ускоренное и, если движение замедленное.

Линейное ускорениеWкакой-либо точки вращающегося тела связано с угловыми характеристиками его движения.

М W_

V W_ = dV/dt, но V = r, тогда

W_ = d/dt (r) = r d/dt = r.

W_n = V²/r = ²r²/r = ²r.

W_n Полное ускорение точки

W W =  W_² + W_n² = r ² + ⁴.

tg   W_/W_n = r²r  /².

При равномерном вращении твердого тела ,constи=₀+t.

При равноускоренном вращении const,=₀ t₀+₀t+t²/2

Часто вместо выражения вектора ускорения через три его проекции на оси координат удобнее представлять его в виде геометрической суммы двух составляющих, направленных по касательной к траектории и по нормали к траектории. Первая составляющая W_-тангенциальное или касательное ускорениехарактеризует быстроту изменения только величины скорости, втораяW_n– наз.центростремительным или нормальным ускорениемхарактеризует быстроту изменения скорости только по направлению.

W =W_ +W_n. W_= dV/dt; W_n=V²/r, а

W W_² + W_n² =  (dV/dt)² + (V²/r)²

Для равномерного криволинейного движ.V = const, W_= 0 иW=W_n.

Для неравномерного прямолинейного движения(r=)W_n=0 иW=W_. Если при этомW=const, тодвижение равноускоренное. 1.Если острый, тоtg=W_n/W_ > 0. Это значит, чтоdV/dt> 0, т.к.V²/r> 0, т.е. величина скорости возрастает с течением времени,движениеравноускоренное. Если- тупой–движение равнозамедленное.