10.Закон сохранения и изменения количества движения.

Второй закон Ньютона позволяет найти ускорение движущейся точки в каждый данный момент времени, т.е. F=md²r/dt^2,, откудаr=Fdt/m=r(t),

V=Fdt/m=V(t).

На практике чаще всего бывает необходимо найти изменение движения тела за какой-либо определенный промежуток времени. Для этого используется закон количества движения.

Запишем 2-ой закон Ньютона F=mWв виде

F=mlimV/t(1)

t

Рассмотрим конечный, но малый промежуток времени t, в течение которого действующая на материальную точку силаFне успевает заметно измениться ни по величине, ни по направлению. Заменяя в (1) величиныFиWих средними значениями за промежуток времениt, получим

F_ср=mV/t. (2)

Для постоянной силы (F=constиW=F/m=const) среднее значениеF_сриW_ср=V/tв точности равны их мгновенным значениямFиWв каждом промежуткеt. В случае переменной силы это равенство будет выполняться тем точнее, чем меньше интервалt.

Обозначим скорость мат. точки в начале промежутка tчерезV₁, а в конце его – черезV₂. ТогдаV =V₂-V₁и из (2) имеемF_срt=m(V₂-V₁) =mV₂-mV₁. (3)

M₁ V₁

F M₂ Рис.1.

V₂

Вектор F_срt называется элементарным импульсом силы.

Вектор mV называется вектором количества движения точки. РазностьmV₂-mV₁представляет собой приращение вектора количества движения за времяt. Обозначим это приращение через(mV), получим математическую формулировку закона изменения количества движения:

F_срt=(mV). (4)

Элементарный импульс силы, действовавший на материальную точку в течение промежутка времени t, равен изменению ее количества движения за тот же промежуток времени.

В случае переменной силы, действующей в течение достаточно большого промежутка времени, последний следует разбить на достаточно малые элементарные интервалы t_kтак, чтобы на каждом интервале можно было заменить силу ее средним значением в этом интервалеF_k.

Пронумеровав все последовательные положения движущейся точки на ее траектории как на рис., применим (4) последовательно к каждому интервалу. Для 1-го интервала t₁=t₁–t₀получим:

F₁t₁=mV₁-mV₀,

Аналогично далее:

F₂t₂=mV₂ -mV₁

_{__}- - - - - - - - - - - - - - - -

F_k t_k = mV_k - mV_k-1

- - - - - - - - - - - - - - - -

F_n t_n = mV_n – mV_n-1 .

Сложим все эти равенства. Тогда промежуточные значения вектора количества движения попарно сократятся, и мы получим : F₁t₁+F₂t₂+ ….+F_kt_k+ ….+F_nt_n =mV_n -mV₀ (5)

F_kt_k– наз. полным импульсом переменной силы за времяt_n–t₀.

F_kt_k=mV_n -mV₀ , (6)

т.е.полный импульс переменной силы равен полному изменению количества движения за все время действия силы.

Закон изменения количества движения (6) позволяет по начальной скорости V₀и известному полному импульсу силы находить сразу конечную скоростьV_nбез вычисления всех промежуточных скоростей.

Вычисление полного импульса F_kt_kв общем случае произвольных сил также представляет собой довольно сложную задачу, решаемую методами интегрального исчисления.

Закон изменения количества движения является непосредственным следствием 2-го закона Ньютона. Используя наряду с ним и 3-ий закон Ньютона, получим так называемый закон сохранения количества движения.

Для этого рассмотрим две взаимодействующие материальные точки массами m₁иm₂. Обозначим скорости движения этих точек в данный момент времени соотв.V₁ иV₂ (рис. 2.)

F₂₁ m₁ m₂ F₁₂

V₂

V₁ Рис.2.

Если первая из этих точек действует на вторую с F₁₂, то 2-я по 3-му закону Ньютона, действует на 1-ю с силойF₂₁= -F₁₂. Под действием этих сил за промежуток времениtскорости точек получают приращенияV₁ иV₂и их количества движения изменяются соответственно на величину(m₁V₁) и(m₂V₂). Применяя закон изменения количества движения (4) к движению каждой точки в отдельности, можно написать:F₂₁t=(m₁V1),F₁₂t=(m₂ V₂) (7)

Складывая эти два равенства и учитывая, что F₁₂= -F₂₁, получаем:

0 = (m₁V1) +(m₂ V₂) =(m₁ V₁ +m₂ V₂) . (8)

Рассматриваемые две материальные точки, взаимодействующие только друг с другом, образуют систему, изолированную от действия всех остальных тел.

Геометрическая сумма количества движения обеих точек m₁V₁+m₂V₂наз.количеством движения системы. Из (7) и (8) следует, что за время движения количество движения каждой точки в отдельности может изменяться, но количество движения системы остается постоянным:

m₁V₁ + m₂V₂ = const (9)

Аналогичным способом может быть выведен закон сохранения количества движения для системы, состоящей из любого числа материальных точек или тел, взаимодействующих только между собой.

В изолированной системе материальных тел количество движения всей системы в целом остается неизменным: m_iV_i=const.

При механическом движении увеличение количества движения одного тела равно уменьшению количества движения всех остальных взаимодействующих с ним тел. Взаимодействующие тела обмениваются количеством движения; количество движения переносится от одного тела к другому. Скорость передачи количества движения определяет величину силы взаимодействия. Для каждого из тел в соответствии с (4) можно записать(mV)/t=F.

примеры: человек прыгает с лодки