28. Линии напряженности. Поток вектора

НА­ПРЯЖЁННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА

Для того, чтобы описать электрическое поле, нужно задать Е в каждой точке поля . Это можно сделать аналитически, выражая зависимость Е(х,у,z) в виде формул. Однако, это можно сделать и графически с помощью так называемыхлиний напряженности или силовых линий.

Силовой линией, илилинией вектора напряженности поля, называют ли­нию, проведенную в электрическом поле, для которой направление каса­тельной в любой точке совпадает с направлением вектора напряженности поля

`E

Рис.2 `E

Т.к. касательная определяет два взаимно противоположных направления, то силовой линии приписывают определенное направление, отмечая его на чертеже стрелкой.

Густота силовых линий на чертеже отражает величину напряжен­ности поля, а именно, число силовых линий, проходящих через единицу поверхности, перпендикулярной к силовым линиям, равно величине напряженности поля в данном месте. Вследствие на­глядности графический способ представления полей широко применяют в электротехнике.

Отсюда следует, что силовую линию можно провести через всякуюточку поля. Далее, т.к. в каждой точке поля вектор напряженности имеет вполне определенное (одно!) положение, то силовые линии нигде не пересекаются.

рис.3

В качестве примера рассмотрим картину силовых линий точечного заряда. Для точечного заряда `E||`r и линии напряженности направлены по радиусам, проведённым из заряда. Для положительного заряда (q>0) эти линии исходят из заряда и уходят в¥. Для отрицательного заряда(q<0) `E направлен против радиус-вектора `r, а линии напряженности идут из¥и сходятся в точке нахождения заряда. Как видно из рисунка,густота линий убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от заряда, т.е. так же, как и напряженность поля.

Т.е. густота линий равна отношению полного числа линий N к ве­личине поверхности сферы радиуса r, т.е. N/4pr²~1/r².

На рис.4 показано электрическое поле между двумя равными по величине точечными зарядами одинаковых и противоположных знаков, расположенными на рас­стоянии l друг от друга.

Рис.4. Рис.5. (Дипольный момент Р = q l ).

Связь между электрическим полем и его источником может быть выражена до­статочно просто. Для этого введём понятиепотока вектора на­пряженности, которое используется при формулировке важнейших свойств электрического, магнитного и других векторных полей.

Рассмотрим в пространстве некоторое электрическое поле и замкнутую поверх­ность произвольной формы. Разделим всю поверхность на столь малые части, что поверхность каждой части мож­но считать практически плоской; на такой поверхности вектор напряженности электрического поля не будет заметно меняться. Направление элемента поверхности представим вектором нормали. За положительную нормаль к поверхности примем внешнюю нормаль, т.е. нормаль, направленную на­ружу. Способ разделения поверхности на элементы не имеет значения, пока элементы достаточно малы. Число силовых линий, равных скалярному произведению

N = (`E×`n)dS_i = Ф_i - наз потоком вектора напряженности через элемент поверхности dS_i.

Величина Ф может быть >0 и<0, т.к. нормаль может быть как поло­жительной, так и отрицательной.

Теперь сложим потоки через все элементы поверхности и получим поток через всю поверхность

Ф = ò (`E×`n)dS =ò (E_n ×dS,

где Е_n - проекция `Е на направление нормали к площадке dS, где интеграл берется по поверхности S.

Пусть Вас не пугает сложность вычисления таких интегралов для поверхностей сложной формы.

Теорема Остроградского-Гаусса.

1). Возьмём наиболее простой случай: предположим, что поле созда­но изолированным положительным точечным зарядом q и что поверх­ностью является сфера радиуса r, в центре которой расположен точечный заряд . Чему равен поток Ф через такую поверхность?

Рис.6.

Ответить на этот вопрос легко, т.к. в каждой точке поверхности E = (1/4pe₀)(q/r³)`r,

а поверхность сферы S=4pr², тогдаФ =E×4pr²= (q/4pe₀ r²) 4pr²=q/e₀.

Как мы видим из этой формулы, поток не зависит от размеров сфе­ры.

2). Покажем теперь, что поток не зависит и от формы поверхности, окружающей заряд q. Проведем две концентрические сферы разных радиусов. Мы увидим, что число линий напряженности электрического поля, пронизывающих сферы, одинаково. Между этими сферами линии вектора напряженности `Е идут непрерывно, нигде не заканчиваясь и не начинаясь вновь. Поэтому, если мы проведем между этими сферами замкнутую поверхность S₁ произвольной формы, тоже охватывающую заряд q, то поток вектора напряженности через эту поверх. также будет равен q/e₀.

Напомню, что линии напряженности электрического поля начинаются и заканчиваются только на электрических зарядах. Если замкнутая поверх­ность не охватывает заряда, то поток вектора электрического поля через эту поверхность равен нулю, т.к. число силовых линий, входящих в поверхность, рав­но числу выходящих из неё.

3) Пусть поле создается не одним точечным зарядом, а произволь­ной системой точечных зарядов q₁, q₂, q_3…q_n. По принципу суперпозиции на­пряжённость результирующего электростатического поля равна векторной сумме напряжённостей электростатических полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности : E=`E<sub>1</sub>+`E₂+`E<sub>3</sub>+…+`E_n=S`E_i.

поэтому проекция вектора `Е на на­правление нормали к площади dS равна алгебраической сумме проекций всех векторов `Е_i на это направление

Поток напряженности результирующего поля сквозь произвольную замкнутую поверхность S, охватывающую заряды q₁, q₂, …q_k , и не охватывающую заряды q_k+1…q_m, равен , но Ф_i=0, если i>kПоэтому ,т.е.

поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен отношению алгебраической суммы зарядов, охватываемых этой поверхностью, к электрической постоянной. Это и есть теорема Остроградского -Гаусса применительно к электростатическому полю в вакууме. Теорема Остроградского-Гаусса выведена нами как прямое следствие из закона Кулона. Она позволяет сравнительно просто рассчитывать электрические поля при симмет­ричных распределениях зарядов и окружающих их диэлектриков.

Для характеристики электрического поля наряду с `Е удобно ввести ещё одну векторную ве­личину `D , называемую электрическим смещением или электрической индукцией. Для поля в электрически изотропной среде связь`D и`E в СИ имеет вид`D = ee<sub>0</sub> `E

Тогда-теорема Остроградского-Гаусса.

Поток вектора электрического смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме электрических зарядов, охватываемых этой поверхностью.