17.Уравнение бернулли и его применения для определения статического и динамического давлений

Пусть по наклонной трубе переменного сечения движется жидкость слева направо. Мысленно выделим область трубки, ограниченную сечениями S₁иS₂, в которых скорости теченияV₁ и  V₂.

Определим изменение полной энергии, происходящее в этой области за малый промежуток времени t. За это время масса жидкости, заключенная между сечениямиS₁иS₁втекает в рассматриваемую область, а масса, заключенная междуS₂иS₂вытекает из нее. Иных изменений в данной области не происходит. Поэтому изменение полной энергииЕ равно разности полных энергий вытекающей и втекающей масс:Е = ( Е_к+ Е_п)₂– ( Е_к+ Е_п)₁или (1)Е =mV₂²/2 +mgh₂-mV₁²-mgh₁(2)

В соответствии с законом сохранения энергии найденное изменение энергии равно работе А внешних сил по перемещению массыm:Е =А. (3)

Определим эту работу. Внешняя сила давления F₁совершает работуА₁по перемещению втекающей массы на путиV₁t, в то же время вытекающая масса на путиV₂tсовершаетА₂против внешней силы F₂. ПоэтомуА₁=F₁V₁t;A₂= -F₂V₂t(«-» т.к. сила направлена против перемещения), а искомая работаА =А₁+А₂=F₁V₁t-F₂V₂t.

Учитывая, что F₁=p₁S₁иF₂=p₂S₂, получимА =p₁S₁V₁t-p₂S₂V₂t, ноS₁V₁t=S₂V₂t=V, т.к. жидкость не сжимается.

Поэтому А = р₁V–p₂V(4)

Объединяя (2) и (4), получим mV₂²/2 +mgh₂+p₂V=mV₁²/2 +mgh₁+p₁V|:V

V₂²/2 + gh₂ + p₂ = V₁²/2 + gh₁ + p₁ . (m/V =)

Поскольку сечения S₁иS₂выбраны произвольно, можно окончательно написать

V²/2 +gh+p=const- уравнение Бернулли (5)

V²/2 –удельная кинетическая энергия жидкости

gh– удельная потенциальная энергия жидкости

р - удельная энергия жидкости, обусл. силами давления

При установившемся движении идеальной несжимаемой жидкости сумма удельной энергии давления и кинетической и потенциальной удельных энергий остается постоянной на любом поперечном сечении потока.

Единицей давления 1 Па = 1Н/м²= 1 Н м/м³= Дж/м³.

Следовательно, уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии.

Все члены (5) можно рассматривать как давления, причемр наз.статическим, V²/2 –динамическим,gh–гидравлическимдавлением (напором).

Следовательно, В установившемся потоке идеальной несжимаемой жидкости полное давление , слагающееся из динамического, гидравлического и статического давлений , постоянно на любом поперечном сечении потока (уравнение Бернулли).

Для горизонтальной трубки тока (h₁=h₂) уравнение Бернулли примет видV²/2 +p=const.

Из уравнений Бернулли и неразрывности следует, что в местах сужения трубопровода скорость течения жидкости возрастает, а статическое давление понижается. Уравнения (1) – (5) применимы и для газа, поскольку, как показывает теория и опыт, при скоростях движения газа, меньших скорости распространения звука в нем, сжимаемостью газа можно пренебречь.

Уравнение Бернулли является одним из основных законов механики движения жидкости и газов, имеющих большое прикладное значение. Примеры: 1) гидротурбина 2)аэрация почвы, 3)карбюратор двигателей, 5)сталкивание двух пароходов, близко идущих одним курсом.

Давление в движущейся жидкости можно измеритьс помощью неподвижной манометрической трубки, если ее соприкасающееся с текущей жидкостью отверстие площадиSориентировано параллельно направлению движения жидкости.

- -

- S - h

-- -F^ - - - -

V - - - - - - -

Рис.1.

Действительно, элементарно тонкий слой жидкости в манометрической трубке, примыкающий к ее отверстию, находится в покое. Значит, сила давления F=pS, действующая со стороны текущей жидкости, уравновешивается силой, с которой столб жидкости в трубке высотойhдействует на него в противоположном направлении и которая равна весу столба жидкостиF=ghS. Т.о., Р =gh, т.е. давлениерв той точке потока жидкости, на уровне которой находится отверстие в манометрической трубке, равно весу столба жидкости, находящейся в трубке, площадь сечения которого равна единице.

Давление в движущейся жидкости в соответствии с законом Бернулли связано со скоростью ее частиц. В более широких участках трубки, где скорость жидкости мала, давление жидкости

будет по величине большим, чем в более узких участках той же трубки тока, где скорость жидкости больше (трубка Вентура).

Совсем другое давление будет измерять в движущейся жидкости неподвижная манометрическая трубка, изогнутая под прямым углом, так что ее отверстие, находящееся в жидкости, ориентировано навстречу потоку и его площадь перпендикулярна к линиям тока (трубка Пито).

h h

-- - - - - - - - - - - -

V P^ P - - - - -

- - - - - - - - - - -

Рис.2.

Пусть вдали от манометрической трубки давление и скорость жидкости равны риV. В сечении же, совпадающем с отверстием манометрической трубки, скорость жидкостиV= 0, т.к. жидкость, достигшая отверстия, здесь затормаживается. Обозначим давление в сечении отверстия р, то в соответствии с законом Бернулли для двух данных сечений трубки тока получим:

Р + V²/2 =p, т.к. (hиhравны). (6)

Возрастание давления у отверстия изогнутой трубки обусловливается сжатием затормаживаемой здесь жидкости. Из (6) можно определить VжидкостиV =2(р- р)/(7)