12. Гармоническое колебание и его характеристики. Математический, физический и пружинный маятники

Среди явлений природы мы часто наблюдаем периодические процессы. Пример: морские приливы и отливы, морские ветры. В периодическом процессе изменение какой-либо величины повторяется в точности через совершенно определенное время – период. Математич функцияf(t) является периодич с периодом Т,если для любого момента времени выполняется равенство:F(t+T) =f(t). (1)

Движение такого рода, когда тело поочередно многократно раз смещается то в одну то в другую сторону, наз. колебательным движением или колебанием.Периодические процессы представляют частный случай колебательных процессов. Их можно представить как наложение гармонических колебаний.

Гармоническимиколебания представляют собой периодический процесс, в котором изменение какой-либо величины происходит по закону синуса или косинуса.

Ознакомимся с этими колебаниями на примере равномерного движения материальной точки по окружности. Предположим материальная точка Адвижется по окружности радиусаRcугловой скоростью. Смещение ее вдоль оси Ох будет определяться проекцией радиуса на ось Ох .

Рис.1. Y

A

X

R_x(t) = R cos ( t +  ). (2)

Эта формула описывает колебательное движение проекции точки Авдоль оси Ох около точки О, которую будем наз.«положением равновесия». Период изменения проекции такой же, как и время одного оборота точкиА. Он равен Т = 2t- фаза колебания. Она определяет состояние колебательной системы в любой момент времени. Приt= 0₀– начальная фаза.

Максимальное значение проекции точки Авдоль оси Ох от положения равновесия, наз амплитудой колебаний. В данном случаеR_xmax.=R. Очевидно, фазам, различающимся между собой на величину кратную 2, соответствуют одинаковые смещения. Изменение фазы на 2рад. соответствует промежутку времени в период Т. Обычно смещение обозначаютXи тогдаX(t) =Asin(t+₀) (2).

Определим скорость точки, совершающей гармоническое движение

V=dx/dt=Acost=Asin(t+/2). (3)

Из (3) видно, что V = V(t), следовательно, колебательное движение совершается с ускорениемW,W=d²x/dt²=dV/dt=²Acos(t+/2)=²Asin(t+)= -²Asint= -²x. (4).

Отсюда следует дифференциальное уравнение гармонических колебанийd²x/dt² +²x= 0.

Решением этого уравнения является уравнение (2).

Т о, смещение X, скоростьVи ускорениеWточкиА совершают гармонические колебания с одинаковыми круговой частотой и периодом Т = 2.

В качестве примера гармонических колебаний рассмотрим движение математического маятника, т.е. небольшого тела, подвешенного на столь длинной нити, что размерами тела по сравнению с длиной нити можно пренебречь. Нить нерастяжима и невесома.



T

A

A^

 O

mg mg Рис.2.

Если отклонить тело от положения равновесия и отпустить, оно начнет совершать колебательные движения. На тело действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Составляющая силы тяжести mgsin, направлена вдоль касательной к траектории, меняет величину скорости тела. Маятник движется вниз с нарастающей скоростью.

По 2 закону Ньютона - mgsin=mW_(*)

Cчитаем:0 и х0 при отклонениии вправо от вертикали.

В положении равновесия касательное ускорение W_=0, однако скорость тела не равна нулю, и оно по инерции движется дальше, поднимаясь вверх. Слева от положения равновесия тангенциальная составляющая силы тяжести направленапротивскорости, следовательно, движение маятника замедляется. В момент остановки скоростьV = 0,aускорениеW_ =maxи маятник начнет двигаться направо в сторону положения равновесия.

Если угол отклонения мал, то отклонение тела от положения равновесиях, отсчитываемое вдоль дуги окружности, по которой движется маятник, равнох =l. Уравнение Ньютона (*) тогда будет иметь видg= -W_.

Знак «-» означает, что угол и ускорение направлены в разные стороны. Т.к.=х/l, тоW_ = - gx/l(5)

Сравниваем (5) и (4) и видим, что ²=g/l, т.е. движение маятника происходит по гармоническому закону, а его смещение в любой момент времени определяется выражениемX(t) =Asin(g/l+₀),

Математический маятник колеблется с частотой g/l, а его период

Т = 2g/ll/gf(m) !g!

Аналогично рассматриваются колебания пружинного маятника и получают: X(t) =Asin(k/mt+₀)

а период T= 2= 2m/k, где к – жесткость.

При гармоническом колебании происходит взаимное превращение кинетической энергии колеблющегося тела Е_ки потенциальной энергии Е_п, обусловленной действием квазиупругой силы. Полная энергия: Е = Е_к+ Е_п, но Е_k =mV²/2 = (m/2)²A²sin²(t+/2) = (m/2)²A²cos²t,

E_п=kx²/2 = (k/2)A²sin²t, но изF=mW= -m²x= -kxимеем к=m²

Поэтому Е_п= (m/2)²A²sin²t.

Полная механическая энергия колеблющегося тела

Е = Е_п+ Е_к= (m/2)²A²(cos²t+ sin²t) =m²A²²/2

не изменяется с течением времени и равна ее запасу, сообщенному телу в начальный момент времени, при выведении его из положения равновесия. В процессе колебаний происходит только превращение видов энергии из кинетической в потенциальную и обратно с частотой, вдвое большей частоты колебаний, Е ~²и Е ~ А². (Е = кХ²/2, Т = 2m/k).

В реальных свободных затухающих колебаниях их энергия, как и амплитуда, с течением времени непрерывно уменьшаются, расходуясь на преодоление сил тяжести.