Основное уравнение гидростатикитатики
В случае несжимаемой жидкости плотность жидкости нене зависитзависит отот давления, а если принять температуру постоянной, то можноможно записатьзаписать
ρ = const.
Разность давлений между двумя точками:
ð |
z |
|
|
|
|
|
|
|
∫2 |
dp = −ρg ∫2 |
dz |
|
p2 |
− p1` = −ρg(z2 |
− z1 ) |
или |
p1 + ρgz1 = p2 + ρgz2 = const |
ð1 |
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нами получено основное уравнение гидростатики в полее силысилы тяжеститяжести..
Если принять z1 − z2 = h , то p2 − p1 = ρgh .
Выводы:
1.В покоящейся жидкости давление увеличивается с увеличениемнием глубиныглубины..
2.В покоящейся жидкости любая горизонтальная плоскость представляетредставляет собой поверхность, на которой в любой точке давление будетт неизменнымнеизменным..
Такая поверхность называется поверхностью равного давленияления..
Три формы записи основного уравнениявнения гидростатики
|
p1 |
|
p2 |
|
|
|
ρg |
|
ρg |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
z1 |
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
z2 |
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Основное уравнение гидростатикиостатики вв формеформе давлений
p1 + ρgz1 = p2 + ρgz2 = const
Основное уравнение гидростатикиостатики вв формеформе напоров
p1 + z1 = p2 + z2 = const
ρg ρg
p1 p2
где ρg и ρg – пьезометрическиерические напорынапоры;;
z1 и z2 – геометрическиекие напорынапоры..
Основное уравнение гидростатики в форме удельной энергииэнергии
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
+ gz = |
p2 |
+ gz |
|
= const |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
p1 |
|
|
|
|
|
|
ρ |
1 |
ρ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
|
ρ |
|
и |
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– удельная энергия давления; |
|
|
|
и |
|
|
– удельная энергия |
||||||||||||
|
|
|
|
gz1 |
gz2 |
|||||||||||||||
положения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Закон Паскаля
p1 = p0 + ρgh
где p0 – давление на свободной поверхности; h – глубинабина,, нана которой находится точка 1.
Из этого уравнения следует, что изменение давления нана свободнойсвободной
поверхности на величину приведет к увеличению давлениявления вв точкеточке на ту же величину. Этот вывод и есть закон Паскаля.
FЗакон Паскаля используется в гидропрессах и гидроусилителях. При воздействии на
|
|
|
малый поршень площадью |
|
s = πd 2 |
|
с силой F |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
создается давление |
|
p = |
F |
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Согласно |
|
закона |
|||||||||
|
|
|
|
s |
||||||||||||
|
|
|
Паскаля это давление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
передается во все |
|||||||||||||
P |
d |
D |
точки жидкости и поршень площадью S |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
создает усилие |
P = |
F |
S = |
|
4F |
× πD2 = F |
D2 |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
Выводы: |
|
|
|
|
s |
|
πd 2 |
4 |
|
d 2 |
|
|||||
1.Сила P будет больше силы F во столько же раз, во сколько площадь S больше площади s.
2.В отличие от твердых тел жидкость передает не силу, а давление.
Абсолютное, манометрическоекое ии
вакуумметрическое давлениение
Давление можно измерить двумя способами:
1)если принять за начало отсчета атмосферное давлениеение;;
2)если принять за начало отсчета абсолютный вакуумм,, когдакогда давлениедавление
вобъеме отсутствует.
В первом случае давление называется избыточным илили
манометрическим, во втором – абсолютным.
Избыточное давление в точке p1 = ρgh
Абсолютное давление для этой точки p1 = p0 + ρgh |
||
pабс |
pман |
В общем случае абсолютное давление может |
|
|
|
|
|
быть больше или меньше атмосферного, если |
pатм |
|
ðàáñ < ðàòì , то разность между атмосферным |
0 |
давлением и абсолютным называется вакуумом |
|
|
|
ðâàê = ðàòì − ðàáñ. |
0 |
pвак |
|
Сила давления на плоскиее ии криволинейные поверхностисти
ds |
1. Сила давления на отдельный элементлемент |
||||||
|
поверхности. |
|
|
||||
M |
Сила давления на площадку ds будетудет равнаравна |
||||||
n |
|
|
|
JJG |
G |
|
|
|
|
|
|
||||
fGN |
|
|
|
dfN |
= pM dsn |
|
|
где |
n |
– единичный вектор |
, ориентированныйентированный попо |
||||
|
|||||||
нормали к площадке ds. Сила давления на элемент стенки ds
dfJG = ( p0 + ρgh)dsnG
Сила давления на плоскиее ии криволинейные поверхностисти
2. Результирующая сила давления на стенку.
p0 |
|
|
|
Весь резервуар испытывает воздействие |
||||||||||
|
|
|
двух результирующих сил: |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1. Равнодействующей сил давления |
||||||||||
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
JG |
|
JJG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
= ∑df |
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
|
2. Реакции материала стенки резервуара |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
df |
|
|
|
|
|
|
G |
|
JJJG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = ∑dfR |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
||||
|
|
|
G JG |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
JG |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
P + R = 0 |
|
|
P = − R |
|
|||||||
Сама жидкость в резервуаре находится в равновесии подпод воздействиемвоздействием двух сил:
•силы реакции материала стенки R;
•силы тяжести, направленной вертикально вниз G
|
G JG |
|
JG JG |
|
|
|
|
||
|
R = −G |
|
P = G |
|
Сила давления на плоскиее ии
криволинейные поверхностисти
3. Сила давления жидкости на дно резервуара.
p0
df |
h |
df ′
Таккакднорезервуараплоскоеигоризонтальное, токаждый элементлемент поверхностиповерхности днабудетиспытыватьдавление
ð = p0 + ρgh
инанеговоздействует элементарнаясиладавлениясостороны жидкостижидкости
dfJG = p dsnG
исила давлениясосторонынаружноговоздуха
dfJJG' = p0dsnG'
Сила давления на плоскиее ии
криволинейные поверхностисти |
|||||||||
|
|
|
|
JG |
JJG |
|
|
|
|
Всеэлементарныесилы |
dfи |
df ' |
|
|
|
|
|||
параллельнымеждусобой. |
|
|
|
|
|
||||
Равнодействующаясиладавленияводы |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
G |
JJG |
= ∫S |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
P1 |
= ∑df |
p dsn |
|
|
|
|
Таккак p = const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
G |
|
G |
|
|
|||
|
|
|
|||||||
|
|
P = pSn = ( p0 + ρgh)Sn |
|
|
|||||
.
Аналогичноравнодействующаясиладавления воздуха
PG0 = p0 SnJG'
Этидвесилывертикальныидействуютв разных направленияхениях..
Результирующаясиладавлениянаднорезервуара |
|
|||||
|
G JG |
JJG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
P = P1 |
+ P0 |
или |
P = P1 + P0 |
или |
P = ρghS |
СилаР– вертикальная, направленавнизиприложенапоцентрутруднаднарезервуарарезервуара (изсоображениясимметрии).
Сила давления на плоскиее ии
криволинейные поверхностисти
Гидростатический парадокс. Независимо от формы резервуаразервуара силасила давления на дно зависит только от площади S, глубиныы заполнениязаполнения hh ии плотности ρ и не зависит от количества жидкости, находящейсяходящейся вв резервуаре.
P |
P |
P |
h |
|
|
|
|
Опыт Паскаля. Резервуар рассчитан на определенноее давлениедавление жидкости. В него добавляют небольшое количество водыводы.. НичегоНичего не происходит. Вставляют тонкую трубочку и добавляютляют гораздогораздо меньшее количество воды – резервуар разрушается..
Сила давления на плоские
икриволинейные поверхностии
4.Сила давления на вертикальную прямоугольнуюdfJGстенку= pdsnG.Элемент испытывает давление
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
df |
Давление на глубине z: |
|
ð = ρgz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
C′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JG |
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
D |
Площадь ds = ldz. Тогда |
|
df = ρgzdzln |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
h |
z + dz |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
C |
|
O l |
|
|
Сила давления |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P = ∫z=h ρgzldznG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
P = ρglh2 |
|
P = ρgS h |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим точку приложения силы Р. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
2/3h |
|
|
|
|
Для PG момент силы MO (PG) |
= |
P×OC |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Для силы |
d fG , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z: |
|||||
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
приложенной в точкеке ММ нана глубинеглубине z: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
M |
P |
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
MO (d f ) = df × OM , гдеОМ= z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Такимобразом P× Î Ñ = ∫z=h ρglz2dz |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρglh |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
P × Î Ñ = |
|
или |
ρglh |
|
× Î Ñ = |
ρglh |
|
, |
откудаткуда |
Î Ñ = |
h |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
3 |
|
3 |
|
||||||||||||||||||||
Сила давления на плоские
икриволинейные поверхностии
5.Сила давления на криволинейную поверхность.
θ nG
p2 j
dS
p1
Каждый элемент поверхности площадьюлощадью dsds испытывает воздействие силы давленияавления сс
внешней стороны |
JG |
G |
|
|
|
||
|
df1 |
= p1dsn |
|
где n единичный вектор, направленныйаправленный
по нормали к ds, ориентированныйный вв сторонусторону внешней жидкости.
Равнодействующая от суммы всех элементарных сил, действующихющих нана |
||||||||||
|
|
|
G |
JJG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
поверхность изнутри |
P1 |
= ∑df 1 |
|
JG |
G |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Ð1 = p1 ∫ |
dsn. |
|
|
|
|
JG |
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Проекциясилы P1 , понаправлениюединичноговектора jбудетет |
||||||||||
ÐJGG1 j = p1 ∫ nGGjds
S
Сила давления на плоские
икриволинейные поверхностити
5.Сила давления на криволинейную поверхность (продолжение).
|
GGЕсли θ |
– угол между направлением |
и нормалью к поверхностиоверхности dsds,, тото |
|||||||||
|
, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n j = cos θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ÐJGG1 j |
= p1 ∫ ds × cos θ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
В то же время |
|
ds × cosθ = ds |
′ |
, тогда |
Ð1 j = p1 ∫ ds' |
ли |
Ð1 j = p1dS' |
|
|||
|
|
|
|
|
|
, или |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где dS' – проекция поверхности S на поверхность, перпендикулярнуюпендикулярную выбранному направлению .
Таким образом, можно записать Ð1 j = Ð1 , как произведениеведение двухдвух
векторов и
Ð1 = p1dS'
Такой же результат мы получим для равнодействующейей силысилы PP22
Ð2 = p2 dS'
Сила давления на плоские
икриволинейные поверхностии
6.Сила давления на цилиндрическую поверхность.
R1 R2
l
Равнодействующаяая силсил внутреннего давленияения
Ð1 = p1dS'
где S ' – проекция поверхностиповерхности SS нана
плоскость, перпендикулярнуюдикулярную направлению . Поверхностьоверхность SS '' является прямоугольникомольником,, площадь которого 22RR11ll,, тогдатогда
Ð1 = p1 2R1 l
Аналогичный результат можно получить для силы внешнегошнего давлениядавления
Ð2 = p2 2R2 l
Для второй части трубы мы получим тот же результат.
Величина, характеризующая способность материала сопротивлятьсяопротивляться его разрыву обозначается σ. Сила сопротивления материалаериала
F = σSñîïð
где Sсопр. – площадь сопротивления.
Сила давления на плоские
икриволинейные поверхностии
6.Сила давления на цилиндрическую поверхность (продолжение).
Таким образом, разрыв произойдет в случае, если Ð1 − Ð2 ≥ F , или p1 2R1 l − p2 2R2 l ≥ σSñîïð , или p1 2R1 l − p2 2(R1 + e)l ≥ σSñîïð , или
p1 2R1 l − p2 2R1l − p2 2el ≥ σ2el , или p1 R1 − p2 R1 ≥ σe + ð2å,
откуда следует, что при
e ≤ R1 ( p1 − p2 )
σ + p2
произойдет разрыв трубы.